4.5. Турбулентные потоки скалярной величины (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013)

5.Турбулентные потоки скалярной величиныВ предыдущих разделах мы, в основном, рассматривали вопросы,связанные с моделированием динамических характеристик турбулентности:напряжений Рейнольдса, турбулентной вязкости и т.д.Однако в основную систему уравнений входят и другие параметры,связанные с турбулентным переносом. В частности, в уравнении энергии(2.6) присутствует член ρ u j′′h′′ , имеющий физический смысл турбулентногопотока энтальпии.На практике мы сталкиваемся и с другими подобными параметрами,например, стурбулентным потоком массы того или иного компонентагазовой смеси.И энтальпия, и внутренняя энергия, и концентрация газового компонентаявляются скалярными величинами.

Поэтому их турбулентные потокиназываются потоками скалярной величины. Для общности обозначим этувеличину через f.Чаще всего для этих потоков используются формулы, основанные наградиентной гипотезе:ρ u j′′ f ′′ = −µT ∂ f,σ f ∂x j(5.1)где σ f - некий числовой коэффициент.Для потока энтальпии это так называемое турбулентное число Прандтля.В практических расчетах это число полагают обычно константой, равной 0.7для свободных течений, и 0.9 для пристеночной области.Тем не менее, многочисленные экспериментальные данные показывают,что на самом деле турбулентное число Прандтля, введенное формулой (5.1),может меняться в весьма широком диапазоне: от 0.1 до 2.

В данном разделебудут рассмотрены некоторые аспекты, которые позволят более корректноопределять турбулентные потоки скалярных величин.5.1. Уравнение для потока скалярной величины.Общий вид уравнения переноса скалярной величины:∂∂∂( ρ f ) + ( ρu j f ) + ( J j ) = ω∂t∂x j∂x j(5.2)- в консервативной форме,ρ∂f∂f∂+ ρu j=ω −(J j )∂t∂x j∂x j(5.3)- в неконсервативной форме.Уравнение энергии, записанное через энтальпию h , получается из (2.5) иимеет вид:∂u ∂q∂∂∂p∂p( ρ h ) + ( ρ u j h ) = + ui + τ ij i − j∂t∂x j∂t∂xi∂x j ∂x j(5.4)Таким образом, для уравнения энергии получается:ω=∂u∂p∂p+ ui+ τ ij i ,∂t∂xi∂x jJ j = q j = −λ(5.5)∂Tλ ∂h=−∂x jCP ∂x j(5.6)Уравнение переноса потока скалярной величины u j′′ f ′′ выводитсяаналогично выводу уравнения переноса напряжений Рейнольдса.Очевидно, что∂∂∂∂  ρ ui′′ f ′′ +ρ u jui′′ f ′′ =  ρ ui′′ f ′′  + ρ u j + u j′′ ui′′ f ′′  =∂t∂x j∂t  ∂x j ())(()∂∂   ∂  ρ u ′′u ′′ f ′′ =  ρ ui′′ f ′′  + ρ u j ui′′ f ′′  + j i∂t  ∂x j  ∂x j С другой стороны:∂∂∂∂ ′′ ′′∂∂ρ ui′′ f ′′ +ρ u j ui′′ f ′′ = ρui f + ρ u jui′′ f ′′ + ui′′ f ′′  ( ρ ) +ρ u j ) =(∂t∂x j∂t∂x j∂x j ∂t()()()()=0 ∂u ′′ ∂f ′′∂u ′′ ∂f ′′ = ρ ui′′ + uj + ρ f ′′  i + u j i ∂x j ∂x j  ∂t ∂t(5.7)∂ui′′∂u ′′ ∂u∂u ∂u∂u∂u+ u j i = i + u j i − i − uj i − u j′′ i∂t∂x j∂t∂x j ∂t∂x j∂x j∂f ′′∂f ′′ ∂f∂f ∂ f ∂ f∂ f+uj=+uj−−uj− u j′′∂t∂x j ∂t∂x j ∂t∂x j∂x j ∂f∂∂∂f ∂ f∂ f∂ f− ρ ui′′− ρ ui′′ ujρ ui′′ f ′′ +ρ u j ui′′ f ′′ = ρ ui′′  + u j− ρ ui′′u j′′ ∂t∂t∂x j∂x j ∂t∂x j∂x j)()( ∂u∂u ∂u∂u∂u+ ρ f ′′  i + u j i  − ρ f ′′ i − ρ f ′′ uj i − ρ f ′′u j′′ i ∂t∂x j∂x j∂x j ∂tТ.е. ∂f∂∂∂f ∂ fρ ui′′ f ′′ +ρ u jui′′ f ′′ = ρ ui′′  + u j− ρ ui′′u j′′ ∂t∂t∂x j∂x j ∂x j)(()(5.8) ∂u∂u ∂u+ ρ f ′′  i + u j i  − ρ f ′′u j′′ i ∂t∂x j ∂x jПриравнивая (5.7) и (5.8) и подставляя (5.3) и уравнение количествадвижения, получаем:∂  ∂  ρ u u ∂  ρ u ′′u ′′ f ′′  = ρ ui′′ f ′′  + j i′′ f ′′  + j i∂t  ∂x j  ∂x j ∂τ ij∂∂ f∂p∂u= ui′′ω − ui′′J j ) − ρ ui′′u j′′− δ ji f ′′+ f ′′− ρ f ′′u j′′ i(∂x j∂x j∂x j∂x j∂x j(5.9)Учитывая что∂p∂p∂p′∂p∂ ∂f ′′, (5.10)−δ ji f ′′= −δ ji f ′′− δ ji f ′′= −δ ji f ′′− δ ji p′f ′′  + p′∂x j∂x j∂x j∂x j ∂x j ∂xiполучаем уравнение переноса потока скалярной величины в виде:∂ ∂  ∂  ρ u u ρ u j′′ui′′ f ′′ + δ ji p′f ′′  ρ ui′′ f ′′  + j i′′ f ′′  = −∂t ∂x j  ∂x j ∂u  ∂τ ij∂ f∂∂f ′′∂p (5.11)− ρ ui′′u j′′− ρ f ′′u j′′ i +  f ′′− ui′′J j )  + p′+ ui′′ω − f ′′(∂x j∂x j ∂x j∂x j∂xi ∂xi (I )( II )( III )( IV )(V )В левой части этого уравнения стоит производная по времени иконвективный член, первый член правой части – диффузионный член.Физический смысл и моделирование членов, входящих в источниковую частьуравнения (5.11):( I ) - генерация осредненным течением;( II ) - вязкая диссипация; согласно книге [4] в случае локальнойизотропности этот член равен нулю.( III ) - корреляция пульсаций давлений с градиентом скалярной величины.( IV ) - корреляция пульсаций скорости и источника ω ; как правило, этойвеличиной можно пренебречь(V ) - член, включающий градиент давления; этим членом с достаточнойточностью можно пренебречь.Как и в случае корреляции скоростей деформаций с пульсациямидавления корреляция пульсаций давлений с градиентом скалярной величиныразбивается на сумму двух физически разнородных частей: турбулентнойчасти Π if ,1 и средних деформаций Π if ,2 .Первая часть имеет смысл тенденции к изотропности и моделируется какΠ if ,1 = −C1ϕ ρui′′ f ′′(5.12)τгде τ - характерное время пульсаций.

Обычно в качестве этого временииспользуется отношение K / ε , которое на самом деле характеризует толькопульсацию скорости. Более правильно было бы учесть временной масштабпульсаций скалярной величины - отношениеf ′′2εf.Предлагается использование среднего геометрического между этимидвумя временными масштабамиτf =K f ′′2ε εf,где ε f - диссипация скалярной величины f ′′2 .(5.13)Для части Π if ,2 при малых скоростях потока предполагается, что онапропорциональна генерации за счет средней деформации [4]:Π if ,2 = C2ϕ ρ f ′′u j′′∂ui∂x j(5.14)Учитывая результаты, полученные в параграфе 4 настоящей главы,резонно предположить по аналогии с формулой (4.16) следующую формулудля Π if ,2 при больших скоростях:∂ui− CΠ 2Ρ if∂x j(5.15)∂u∂ fΡif = − ρ ui′′u j′′− ρ f ′′u j′′ i ∂x j∂x j(5.16)Π if ,2 = CΠ1C2ϕ ρ f ′′u j′′гдегенерация.Таким образом, член ( III ) уравнения (5.11) моделируется какui′′ f ′′∂u∂f ′′∂ fp′= −C1ϕ ρ+ CΠ 2 ρ ui′′u j′′+ ( CΠ 2 + CΠ1C2ϕ ) ρ f ′′u j′′ i∂xi∂x j∂x jτf(5.17)В результате источниковый член в правой части уравнения (5.11)моделируется как:∂uiui′′ f ′′∂ f′′′′′′′′Si = − (1 − CΠ 2 ) ρ ui u j+ ( CΠ 2 + CΠ1C2ϕ − 1) ρ f u j− C1ϕ ρ∂x j∂x jτf(5.18)Для турбулентного потока концентраций компонентов можно такжеприменить алгебраическую модель.

Простейшая модель получается, еслиположить Si 0 :  ∂ f ∂u  τui′′ f ′′ =  − (1 − CΠ 2 ) ui′′u j′′+ ( CΠ 2 + CΠ1C2ϕ − 1) f ′′u j′′ i  f∂x j∂x j  C1ϕ(5.19)Рассмотрим, как и в предыдущем разделе, случай тонкого сдвиговогослоя. Полагаем, что индекс «1» относится к координате, направленной вдольосновного движения жидкости (например, вдоль струи), а индекс «2» - ккоординате,направленнойперпендикулярнокэтомунаправлению.Справедливы следующие соотношения:∂ f∂ f,∂x1∂x2u2 u1 ,∂ u1∂u 1∂x1∂x2В этом случае поперечный поток скалярной величины равен:u ′′u ′′ τ f∂ fu2′′ f ′′ = − (1 − CΠ 2 ) 2 2K,K C1ϕ ∂x2(5.20)Сравнение этого выражения с формулой (5.1)ρ u2′′ f ′′ = −µT ∂ fσ f ∂x2(5.21)Позволяет получить следующее соотношениеu2′′u2′′ τ fµK= Tρ (1 − CΠ 2 )K C1ϕσf(5.22)Если использовать, как и в разделе 4, в качестве u2′′ пульсацию скорости,направленную по нормали n к линии тока Vn′′ , то(5.23)Вкачествеформулыдлякоэффициентатурбулентнойвязкостииспользуем (4.29) и с учетом (5.13) получаем формулу для турбулентногочисла Прандтля-Шмидта σ fσf =(1 − CΠ1C2 − CΠ 2 ) C1ϕ K ε fε C1 (1 − CΠ 2 )f ′′2(5.24)Константа C1ϕ = 3.0 [4].При малых скоростях ( CΠ1 = 1, CΠ 2 = 0 ) получаем:σf =(1 − C2 ) C1ϕC1K εfε f ′′2Если положить, что характерные масштабы пульсаций скоростискалярной величиныf ′′2εf(5.25)Kεиравны, то для малых скоростей получаем:σf =(1 − C2 ) C1ϕ (1 − 0.6 ) 3.0== 0.67C11.8(5.26)Это значение хорошо согласуется с обычно используемым для свободныхтечений значением PrT = 0.7 .Однако для более правильного описания турбулентного переноса следуетучесть возможность того, что характерные масштабы пульсаций скорости искалярной величины могут сильно отличаться.

Для этого необходимо решатьf ′′2 и ε f .дополнительные уравнения: для 5.2.Уравнение для квадрата пульсаций скалярной величины(дисперсии) f ′′2Очевидно, что∂∂∂∂ρ f ′′ f ′′ =  ρ f ′′ f ′′  =  ρ f ′′ f ′′  =  ρ f ′′2 ∂t∂t  ∂t  ∂t )(2  ∂ ∂∂ ∂ 22ρ u j f ′′2 = ρ u j f ′′  + ρ u j′′ f ′′  ρ u j + u j′′ f ′′  =∂x j∂x j  ∂x j  ∂x j )()(То есть,2  ∂ ∂∂∂∂ 2ρ f ′′2 +ρ u j f ′′2 =  ρ f ′′2  + ρ u j f ′′  + ρ u j′′ f ′′ ∂t∂x j∂t  ∂x j  ∂x j ()()С другой стороны:∂∂∂∂ ′′2∂∂ρ f ′′2 +ρ u j f ′′2 = ρf+ ρu jf ′′2 + f ′′2  ( ρ ) +ρ u j ) =(∂t∂x j∂t∂x j∂x j ∂t()()( )( ) ∂f ′′∂f ′′ = 2 ρ f ′′ + uj,∂x j  ∂t∂f ′′∂f ′′ ∂f ∂ f∂f ∂ f∂ f+ uj=−+ uj− uj− u j′′∂t∂x j ∂t ∂t∂x j∂x j∂x j ∂f ∂ f∂∂∂f ∂ f∂ f + uj− uj− u j′′ρ f ′′2 +ρ u j f ′′2 = 2 ρ f ′′  −=∂x j ∂t∂x j∂x j∂x j ∂t ∂t()( ∂f∂f= 2 ρ f ′′  + u j ∂t∂x jТ.е.)∂ f∂ f∂ f′′′′′′′′−2ρf−2ρfu−2ρfujj∂t∂x j∂x j(5.27) ∂f∂∂∂fρ f ′′2 +ρ u j f ′′2 = 2 ρ f ′′  + u j ∂t∂t∂x j∂x j()()∂ f − 2 ρ f ′′u j′′∂x j(5.28)Приравниваем (5.27) и (5.28) и получаем: ∂f2  ∂ ∂ ∂ ∂f22+ ρu j ρ f ′′  + ρ u j f ′′  + ρ u j′′ f ′′  = 2 f ′′  ρ∂t ∂x j ∂x j  ∂x j  ∂t∂ f′′′′−2ρfuj∂x j(5.29)Подставляем в это выражение уравнение (5.3):2  ∂ ∂ ∂ ∂∂ f22J j ) − 2 ρ f ′′u j′′(5.30)( ρ f ′′  + ρ u j f ′′  + ρ u j′′ f ′′  = 2 f ′′ω − 2 f ′′∂t ∂x j∂x j ∂x j  ∂x j Преобразуем некоторые члены этого уравненияf ′′∂∂∂f ′′∂∂f ′′∂f ′′Jj)=f ′′ J j − J j=f ′′ J j − Jj− J j′′(∂x j∂x j∂x j ∂x j∂x j∂x j()()В результате уравнение (5.30) принимает вид:∂ ∂2 ρ f ′′  +∂t  ∂x j ρ u 2 j f ′′  =∂  −2 ρ f ′′u ′′ ∂ f + 2 J ∂f ′′ + 2 f ′′ω2′′′′′′−ρuf−2fJjj jj∂x j ∂x j∂x j  ( IV )(I )( II )(5.31)( III )Физический смысл членов, входящих в правую часть этого уравнения:I - диффузия пульсаций скалярной величины,II - генерация,III - диссипация,IV - член, учитывающий влияние источника ωДиффузионный поток скалярной величины представляется в видеJ j = −ρ D f∂f∂x j(5.32)Тогда диссипация в уравнении (5.31) представляется как∂f ′′∂f ∂f ′′∂f ′′ ∂f∂f ′′ ∂f ′′∂f ′′ ∂f ′′(5.33)ρε f ≡ − J j= ρ Df= ρ Df+ ρ Df≅ ρ Df∂x j∂x j ∂x j∂x j ∂x j∂x j ∂x j∂x j ∂x jДиффузионные члены моделируются какµ∂f ′′2T,− ρ u j′′ f ′′ =σ T , f ∂x j2−2 f ′′ J j = 2 f ′′ ρ D f∂f∂f∂f ′′2∂f ′′2µ ∂f ′′2= 2 f ′′ ρ D f+ ρ Df≅ ρ D f=∂x j∂x j∂x j∂x jσ f ∂x j(5.34)(5.35)Турбулентная диффузия моделируется по градиентному закону (5.1):ρ f ′′u j′′ = −µT ∂ fσ f ∂x j(5.36)Окончательно уравнение переноса квадрата пульсаций скалярнойвеличины имеет вид:∂ ∂ ∂  µTµ  ∂f ′′2 22′′′′ρρfuf+=+ j∂t  ∂x j  ∂x j  σ T , f σ f  ∂x j µ  ∂ f+2 T σ f ,T  ∂x j2 − 2 ρε f + 2 f ′′ω(5.37)Имеет смысл ввести обозначение генерации:µΡf = Tσ f ,T ∂ f ∂x j2(5.38)Здесь σ f ,T - турбулентное число Шмидта-Прандтля, σ f - число ШмидтаПрандтля5.3.