Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 19. Излучение при переходах между дискретными уровнями

Основные характеристики поля излучения в квантовой механике можно получить. исходя из аналогии с классической электродинамикой. Величина электрического и магнитного векторов волны пропорциональна экспоненте

(1) exp[i (kr – ωt )],

в аргументе которой угловая частота ω и волновой вектор k связаны соотношением

ω = kс.

Возможно излучение электрического и магнитного типов, каждый их которых имеет дипольную и квадрупольную составляющие. Существуют также октупольная и более высокие типы симметрии, но первых двух в теории излучения обычно достаточно. Важную роль играет малая величина постоянной тонкой структуры . Она обеспечивает относительно долгое время жизни возбуждённого атома по сравнению с периодом обращения электрона по классической орбите, а также доминирующий вклад излучения электрического дипольного типа.

19.1 Электрическое дипольное излучение

Рассмотрим электрический диполь, совершающий гармонические колебания. Его момент равен произведению заряда на вектор r — смещение от положения равновесия. Формулу для дипольного момента запишем сразу применительно к электронам:

,

так как именно они, в силу малой массы, светят ярче других частиц. Далее всюду мы будем рассматривать случай монохроматических колебаний, когда смещение определяется гармонической функцией времени:

Мощность излучения классического диполя равна

.

Учитывая формулы (1.1) и (1.2), получаем:

.

В применении к атому частота ω = ω_mn определяется через энергию перехода между двумя уровнями:

.

В квантовой механике наряду с мощностью W принято пользоваться вероятностью перехода:

.

Она равна числу излучаемых за секунду квантов. Оценим численное значение вероятности перехода для атома водорода:

В множителе kr₀ радиус орбиты r₀ примем равным a₀ — размеру иона или атома в теории Бора, а частоту ω выражаем через энергию перехода:

.

Таким образом

Для переходов оптического диапазона величина ω_mn составляет около 10¹⁵ c^–1, следовательно, A_mn ~ 10⁹ с^–1.

Выясним зависимость A_mn от заряда Z ядра водородоподобного иона. Как следует из формул (13.5.1), в случае водородоподобных ионов справедливы соотношения

(1.6) , .

Согласно (1.5) вероятность переходов пропорциональна кубу частоты обращения электрона и квадрату радиуса атома:

.

Подставляя сюда (1.6), получим:

.

Таким образом, вероятность спонтанного излучения быстро растёт при переходе к многозарядным ионам.

19.2 Типы излучения при переходах между дискретными уровнями

Электрическое дипольное излучение, обозначаемое Е1, имеет место при выполнении определённых условий, Они называются правилами отбора и будут выведены ниже. В случае переходов, не удовлетворяющих правилам отбора по каналу Е1, необходимо учитывать другие, менее вероятные процессы. В астрофизических приложениях наиболее часто встречаются дипольные переходы магнитного типа М1 и электрическое квадрупольное излучение Е2.

Размеры атомов значительно меньше длины волны, то есть, величина kr значительно меньше единицы. Это позволяет разложить в ряд пространственную часть экспоненты (1)

Единица в правой части отвечает дипольному приближению. Следующие два слагаемых описывают излучение по каналам М1 и Е2. Мощность электрического квадрупольного излучения выражается через квадрупольный момент Q:

,

представляющий собой матрицу второго порядка:

(2.2) .

Индексы  и β пробегают значения 1, 2, 3, соответствующие проекциям радиус-вектора r на оси координат.

Мощность дипольного излучения магнитного типа определяется аналогично (1.3), но через вектор магнитного момента μ:

Второе равенство справа справедливо для монохроматического излучения μ ~ exp(–iωt).

Сравним вероятности электрических квадрупольных и дипольных переходов. Поскольку

d ~ er, Q ~ er², r ~ e^iωt,

то их мощности (2.1) и (1.4) относятся как

(2.4)

Следовательно, при одной и той же энергии кванта переход по каналу Е2 по крайней мере на четыре порядка величины менее вероятен, чем Е1:

Отметим, что малая величина произведения kr ~  соответствует малому размеру атома r ~ a₀ по сравнению с длиной волны излучаемого им света:

a₀ : λ ~ .

Теперь мы можем расширить ряд (1.3.3) пропорций, связывающих масштабы длины r_e, _C, и a₀:

(2.5) r_e : _C : a₀ : λ ~ ² :  :1 :^–1.

Вероятность дипольного излучения магнитного типа также относительно невелика. Магнитный момент электрона μ по порядку величины сравним с магнетоном Бора μ₀. Следовательно

(2.6)

Итак, оценки (2.4) и (2.6) показали, что из трёх рассмотренных типов радиационных переходов (Е1, E2 и M1) самым интенсивным является электрическое дипольное излучение. Перейдём к описанию излучения в квантовой теории. Мы получим оценки для вероятностей переходов, а также выясним, когда следует учитывать каналы Е2 и М1.

19.3. Матричные элементы оператора дипольного излучения

Вероятность спонтанного излучения в квантовой механике отличается от (1.5) тем, что. множитель «2/3» заменяется на «4/3», а радиус–вектор электрона — на матричный элемент r_mn:

.

Вектор

имеет три компоненты:

При анализе поляризованного излучения удобно использовать сферические компоненты радиус–вектора:

Составляющая ξ₀ описывает линейно поляризованное излучение, а координаты ξ_±1 — круговую поляризацию: вращение электрического вектора в двух разных направлениях.

Ниже для матричных элементов мы часто будем применять правила записи по Дираку. В них начальное и конечное состояния записываются не в поле индекса, а прямо в строке. Волновая функция ψ_n и её комплексное сопряжение ψ*_n по Дираку обозначаются как

ψ_n ≡ | n>, ψ*_n ≡ < n | ,

а матричный элемент произвольного оператора Ĝ выглядит следующим образом:

< k |Ĝ| n > =  ψ*_k Ĝψ_n dr .

Запись индексов в строке удобнее в случае сложных и длинных выражений.

19.4 Ортогональность волновых функций

Важную роль в теории излучения играет ортогональность волновых функций: если квантовые состояния k и n имеют разные собственные значения энергии, то для соответствующих им волновых функций ψ_n и ψ_k справедливо равенство:

Здесь интегрирование выполняется по всему пространству, а dr, как обычно, обозначает элемент объёма. Выведем (4.1) для одномерного случая. По условию задачи, обе функции, ψ_k и ψ_n, являются решениями уравнения Шредингера с разными собственными значениями, E_k и E_n:

Уравнение (4.2a) умножим на , а (4.2b) сначала запишем в комплексно сопряжённой форме

после чего умножим на ψ_n. Вычтем второе преобразованное уравнение из первого и проинтегрируем результат по всей области изменения аргумента:

После интегрирования по частям разность двух интегралов справа приобретает вид:

Легко убедиться, что последнее выражение равно нулю: интегралы взаимно уничтожаются, а волновая функция вместе с её производной на бесконечности исчезают. Таким образом, мы приходим к равенству

из которого в силу первоначального предположения

вытекает (4.1). Ортогональность и нормировка объединяются в условие ортонормированности волновых функций связанных состояний:

Например, ортонормированными являются рассмотренные выше сферические функции (13.6.2):

.

При различных значениях l и m они автоматически оказываются ортогональными как собственные векторы оператора квадрата момента:

.

По аналогичной причине ортонормированны функции Φ_m(φ) как собственные векторы проекции l_z:

Но функции Θ_lm(θ) сами по себе не являются собственными функциями какого–либо из операторов момента; они взаимно–ортогональны при различных l, но не при различных m.

Условиям ортогональности и нормировки удовлетворяет также спиновая волновая функция (18.3.5). Спиновая переменная σ принимает ровно два значения, σ = ±½, поэтому в данном случае условие нормировки выражается в виде сумм

для обоих значений m_s = ±½. Вычислим эти суммы:

Аналогичным образом выводятся соотношения ортогональности для разных состояний — m_s и m_s'.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций