Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 10. Барьер и яма конечной глубины

Выше мы познакомились с теми свойствами частиц, которые не наблюдаются в классической механике. К ним относятся: вырождение энергетических уровней в отсутствие внешних полей, дискретный спектр энергии в потенциальной яме и «просачивание» частицы в классически недоступную область потенциального порога.

В этой главе будет продолжено обсуждение чисто квантовых явлений, имеющих отношение к атомной физике. Мы познакомимся с туннельным эффектом — прохождением частицы сквозь потенциальный барьер конечной ширины. Далее убедимся, что в потенциальной яме не всегда есть дискретные уровни энергии, если глубина ямы ограничена. Наконец, в связи с эффектом Рамзауэра будут решены задачи о рассеянии на потенциальном барьере и потенциальной яме.

10.1. Потенциальный барьер

Потенциальный барьер, в отличие от рассмотренного в предыдущей главе потенциального порога, имеет конечную ширину. График зависимости U(x) изображён синим цветом на рис. 10.1.1.

Потенциальная энергия равна своему пороговому значению U₀ внутри промежутка [0, L], а снаружи обращается в нуль. Энергия налетающей частицы E отмечена зелёной линией, как и на рис. 9.4.1.

В предыдущей главе мы установили, что квантовую частицу можно обнаружить и в области, запрещённой для классического движения. Хотя вероятность обнаружения экспоненциально уменьшается по мере удаления от порога, тем не менее, в точке x = L она имеет некоторое отличное от нуля значение. Следовательно, частица может проникнуть сквозь потенциальный барьер. Такое явление называют «туннельным эффектом».

Здесь мы напишем основную формулу туннельного эффекта в её простейшем варианте, исходя из решения задачи о потенциальном пороге. А именно, будет рассмотрен случай сильного затухания проходящей волны на правой границе барьера:

.

Если это условие выполнено, то амплитуда отражённой волны невелика, и в первом приближении её можно не учитывать. Тогда ответ получается сразу. В области частица снова движется свободно, следовательно, вероятность похождения барьера в принятом приближении можно оценить как

(обозначения соответствуют разделу 9.4 предыдущей главы). Подставляя сюда выражение для k₂ из (9.4.7), получим окончательно

.

Условие (1.2) выполняется, если показатель экспоненты велик по абсолютной величине.

Формулу (1.3) можно обобщить на случай потенциального барьера произвольной формы. Если функция U(x) меняется от точки к точке, как это показано на рис. 10.1.2, то

поступаем следующим образом. Интервал разбиваем на участки длиной Δx_i, в пределах каждого из которых потенциальную энергию U_i можно считать постоянной. Вероятность W_i того, что частица пройдёт элементарный участок, получается из (1.3), заменой U₀ на U_i и L на Δx_i:

.

В силу независимости отдельных элементарных событий, вероятность прохождения через весь барьер равна произведению

.

В пределе разбиваем весь интервал на бесконечно малые промежутки dx и заменяем сумму интегралом:

.

Перейдём к изложению физических явлений, в которых имеет место туннельный эффект.

Примеры туннельного эффекта

Самыми известными проявлениями туннельного эффекта являются ядерные реакции и холодная эмиссия металлов.

1. Синтез ядер.

Впервые задачу о слиянии двух ядер решил Гамов. Примером такой реакции является слияние двух ядер дейтерия в –частицу:

d(n, p) + d(n, p)  He(2p, 2n).

Реакция синтеза — экзотермическая. График потенциальной энергии взаимодействия ядер схематически приведён на рис. 10.1.3 синим цветом.

Внутри ядра радиуса находится глубокая потенциальная яма, а снаружи расположен барьер переменного профиля, обусловленный кулоновским отталкиванием:

В точке потенциал терпит разрыв. Высота E₀ порога составляет около 100 кэВ. Именно такую энергию должны иметь ядра дейтерия в классической механике, чтобы преодолеть барьер и образовать –частицу. В действительности имеет место туннельный эффект, и в ядро способны проникнуть частицы с меньшей энергией. Расчёты показывают, что термоядерные реакции могут эффективно протекать при температуре всего 10 кэВ.

2 Распад ядра.

Примером процесса, обратного синтезу ядер, может служить –распад:

(1.4) (Z, A)  He(2p, 2n)+(Z–2, A – 4).

Здесь А — массовое число химического элемента (суммарное число протонов и нейтронов в ядре), а Z — число протонов. Реакция (1.4) заключается в проникновении a–частицы сквозь потенциальный барьер из ядра в область действия кулоновских сил.

3 Холодная эмиссия металлов.

Энергетические уровни электронов в металле ограничены сверху так называемой энергией Ферми E_F. Электроны не покидают металл, так как находятся перед потенциальным барьером U₀, обладающим практически бесконечной протяжённостью. Этот барьер на правом чертеже рис.10.1.4 нарисован синей линией. Зелёным цветом помечена энергия Ферми, а чёрные линии изображают уровни энергии.

В электрическом поле с напряжённостью E потенциальная энергия U(x) линейно зависит от координаты x, отсчитываемой от поверхности проводника:

U = U₀ – eEx.

На правом рисунке зависимость U(x) обозначена синим цветом. Эффективная толщина барьера становится конечной, и, как следствие, с поверхности металла начинает выходить поток электронов.

Аналогии из классической механики

Товарный поезд на рис.10.1.5 преодолевает сортировочную горку. Точечный объект был бы

вынужден развить большую скорость, так как он весь сразу должен пересечь вершину. Но локомотив въезжает сначала сам, потом первый вагон, затем — второй и так далее. Таким образом, поезд «перетекает» через горку по частям, как гусеница. Решение нестационарного уравнения Шредингера показывает, что эта аналогия частично соответствует картине преодоления барьера волновым пакетом, представляющим частицу. Первоначальный пакет разбивается на более мелкие, часть из них проходит через потенциальный барьер, а остальные — отражаются.

10.2. Потенциальная яма конечной глубины

Потенциальная яма прямоугольной формы схематически изображена на рис.10.2.1.

Зависимость U(x) выражается функцией

Метод решения аналогичен применённому в предыдущих задачах, однако расчёты в данном случае более громоздки. Отличие волновой функции и энергетических уровней от тех, которые получаются в задаче о бесконечно глубокой потенциальной яме, мы получим с помощью качественных рассуждений. Для этого мы сначала уточним некоторые свойства одномерного уравнения Шредингера. Переписав его в форме

,

убеждаемся, что знак (x) совпадает со знаком при U> E и что их знаки противоположны при U < E. В первом случае функция имеет положительную кривизну, во втором — отрицательную. Рассмотрим сначала случай U > E. Ему соответствуют четыре разных варианта соотношения между знаками функции, её первой и второй производных:

Все они могут быть описаны экспонентой

с действительным параметром k, положительным или отрицательным. Как видно на рис.10.2.2, первый и четвёртый варианты не годятся для физических приложений, так как они описывают

функции с бесконечно возрастающим модулем при увеличении x.

Выясним поведение волновой функции при E > U. На рис.10.2.3 приведены все варианты кривых с отрицательной кривизной.

Они же перечислены в следующей таблице:

Теперь для описания всех кривых подходит функция

.

Таким образом, при условии E > U реализуются осциллирующие решения, если же E < U, то волновая функция экспоненциально затухает. Учёт граничных условий — непрерывность волновой функции вместе с её первой производной — всё это соответствует одновременной подгонке амплитуды b в экспоненциальной форме и фазы  в представлении гармонической функции.

Вернёмся к рассматриваемой задаче. Построим качественно решение для случая E < U₀. В центре, 0 < x < L, решение описывается гармонической функцией, а по краям оно экспоненциально затухает. График волновой функции схематически изображён на рис.10.2.4. Меняя фазу осцилляций и амплитуды экспонент, мы сшиваем

все три участка области изменения волновой функции. Все эти операции аналогичны тем, что были выполнены в предыдущей главе, когда мы решали задачу о частице, налетающей на потенциальный порог. Рис. 10.2.4 аналогичен рис. 9.4.2. Сшивка возможна лишь в том случае, если внутри ямы укладывается целое число полуволн. Таким образом, снова получаем квантование энергетических уровней.

Особенности решений для ямы конечной глубины

Яма конечной глубины объединяет в себе свойства бесконечно глубокой ямы и потенциального барьера. Внутри ямы имеет место осциллирующее решение, а при x < 0 и x > L волновая функция «просачивается» наружу. Выше мы получили, что величина просачивания растёт с уменьшением модуля разности |U₀ – E|. Просачивание вызывает растягивание узлов и, как следствие — снижение уровней энергии. Чем выше лежит уровень, тем дальше за пределы отрезка (0, L) уходит волновая функция. Это означает, что с увеличением квантового числа n в бóльшей мере возрастает расстояние между узлами, а вместе с ним — и длина волны. Напомним, что энергия обратно пропорциональна квадрату дебройлевской длины волны:

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций