Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 18. Тонкая структура

Проблема атома водорода и водородоподобных ионов не исчерпывается моделью кулоновского поля. Различные физические факторы приводят к частичному снятию вырождения по орбитальному квантовому числу. В этой главе мы рассмотрим два из них: спин–орбитальное взаимодействие и увеличение массы движущегося электрона. Для учёта первого процесса необходимо ввести понятие внутреннего магнитного момента электрона, тесно связанного с его собственным механическим моментом, или спином. Внутренний момент был открыт в специально поставленных опытах по исследованию магнитомеханических явлений. По своим проявлениям он значительно отличается от рассмотренного в двенадцатой главе орбитального момента.

18.1. Магнитомеханические явления

Движущийся по замкнутой орбите электрон, подобно электрическому току, возбуждает в окружающем пространстве магнитное поле, равное полю магнита с моментом

,

где S — площадь, охватываемая орбитой электрона, а  — период обращения. Энергия взаимодействия атома с магнитным полем определяется напряжённостью поля Н и магнитным моментом атома . Перепишем формулу (1.3.3) первой главы:

.

В силу пропорциональности магнитного и механического моментов это означает зависимость энергии от проекции орбитального момента, или, иными словами, — снятие вырождения по магнитному квантовому числу. Перейдём к количественному описанию в рамках классической механики.

Площадь кеплерова эллипса можно выразить через момент вращения

,

откуда следует связь между модулями механического и магнитного моментов электрона:

.

Магнитный момент любой заряженной частицы направлен вдоль той же прямой, что и механический, причём у частицы с отрицательным зарядом — в противоположную сторону. Величина

называется гиромагнитным отношением. Из (1.1) следует, что в случае орбитального движения электрона его гиромагнитное отношение равно

Все полученные здесь результаты могут быть кратко изложены в векторной форме:

Знак перед множителем  определяется зарядом частицы. Например, у электрона он отрицательный. Отметим, что (1.4) непосредственно получается из общих определений механического и магнитного моментов:

Здесь m — масса частицы, q — её заряд (для электрона m = m_e, q = –e).

Наличие связи между механическим и магнитным моментами неоднократно проверялось в разных экспериментах. На рис.18.1.1 схематически изображён опыт Эйнштейна и де Гааза.

Стержень из вещества с парамагнитными свойствами подвешивался на кварцевой нити с прикреплённым к ней зеркальцем. Стержень помещался внутри катушки, по которой пропускали переменный ток. Зеркало освещается узконаправленным пучком света, который отражается на экране в виде светового пятна. Если частота тока совпала с частотой крутильных колебаний, то пятно расплывается в полоску света. Этот опыт показал, что электроны обладают одновременно магнитным и механическим моментами.

Барнетт выполнил в некотором смысле обратный эксперимент. В нём раскручивался, а потом быстро останавливался проводящий цилиндр. В момент остановки в образце появлялся электрический ток.

Магнитный момент квантуется аналогично механическому. Подставляя в (1.1) условие квантования (15.1.7) и меняя обозначение n_φ на m_l, получим

Знак здесь, в отличие от (1.4), не имеет значения, так как m_l принимает равные по модулю положительные и отрицательные значения.

Таким образом, магнитный момент стационарной орбиты является целым кратным от магнетона Бора (1.3.4). В силу (1.4) связь между абсолютной величиной и проекцией момента (12.3.5), распространяется и на магнитный момент атома. Следовательно, проекция вектора  на направление внешнего магнитного поля может иметь 2l+1 значение.

Сказанное иллюстрирует рис.18.1.2.

Важную роль в развитии атомной физики сыграли опыты Штерна и Герлаха по исследованию отклонения атомных пучков в неоднородном магнитном поле. Схема опыта приведена на рис.18.1.3. В сосуде, где создан глубокий вакуум, печка K испускает атомы некоторого химического элемента. С помощью диафрагм B и B' создаётся резко ограниченный

пучок. Прежде чем попасть на фотопластинку P, пучок проходит через неоднородное магнитное поле, создаваемое электромагнитом со специально профилированными наконечниками N и S. Сила, действующая на атом,

.

согласно (1.3.3), зависит от угла между H и . Следовательно, пучок должен расщепиться на 2l+1 компоненту.

Опыты Штерна и Герлаха действительно обнаружили расщепление атомного пучка и, тем самым, подтвердили квантование момента. Они же показали, что атомы иногда проявляют свойства, необъяснимые в модели орбитального момента. В экспериментах с водородом, щелочными металлами, серебром, золотом отсутствовала несмещённая компонента, и число пучков оказывалось равным двум, то есть, чётным. У всех перечисленных элементов собственный орбитальный момент равен нулю, поэтому следовало ожидать только одной — несмещённой компоненты. Кроме того, расстояние между следами пучков на фотопластинке в этих случаях становилось вдвое больше.

На рис. 18.1.4 приведены два случая. Слева — расщепление, объясняемое в модели орбитального момента при l=2: видно пять компонент с несмещённым пучком в центре. Справа — расщепление на два пучка, причём тому же самому значению магнитного поля отвечает вдвое бóльшее расстояние между ними, чем на левом рисунке.

18.2 Внутренний момент электрона

Чётное число проекций момента возможно только в том случае, если его абсолютная величина имеет полуцелое значение. В 1925 г. Уленбек и Гаудсмит предложили гипотезу спина, или внутреннего момента электрона. По аналогии с l введём безразмерный вектор s, абсолютная величина которого может быть равна нулю и положительному целому либо полуцелому числу:

(2.1) s = 0,1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, 3, …

Целому значению s, как и l, соответствует нечётное число проекций, среди которых обязательно присутствует компонента, равная нулю. В случае полуцелого спина набор проекций получается чётным, и нулевой компоненты нет. Результаты опытов Штерна и Герлаха для перечисленных выше элементов получают своё объяснение при s = ½.

Гиромагнитное отношение электрона _e в случае внутреннего момента вдвое больше, чем для орбитального:

(2.2) μ = –2μ₀s.

Спин — новая характеристика частицы, наряду с массой и зарядом. Он является более фундаментальной величиной, чем орбитальный момент, который может принять разные значения, в зависимости от условий эксперимента. Спин любой частицы всегда сохраняет своё значение, меняться может лишь его проекция на выбранное направление.

Итак, внутренний механический момент системы выражается через безразмерный вектор s:

M =  s,

квадрат модуля которого равен

|s|² = s(s+1).

Для электрона

(2.3) s = ½.

Спину s соответствует набор проекций, аналогичный (12.3.5):

но s может принимать полуцелое значение и тогда среди чисел ряда (2.4) отсутствует нуль.

В отличие от орбитального момента, спин любой системы частиц ограничен. Поэтому при переходе в классическую область он стремится к нулю вместе с постоянной Планка. Таким образом, спин является чисто квантовым понятием, не имеющим аналога в классической механике.

18.3 Волновая функция с учётом спина

Полное определение состояния частицы подразумевает указание не только её координат, но и направления спина. Последнюю задачу выполняет переменная спина σ. Она пробегает весь возможный набор проекций s_z при заданном значении s. Таким образом, волновая функция зависит от четырёх переменных:

(3.1) ψ = ψ(r, σ).

Ниже для простоты мы будем измерять величины σ, s и s_z в единицах ћ. Так, спин электрона в единицах ћ, согласно (2.3), равен половине. Поскольку его проекция в этом случае может принимать только два значения, а именно, ±½, то волновую функцию удобно записать в виде столбца с двумя строчками:

Квадрат модуля верхнего элемента |ψ₁|² dV равен вероятности того, что электрон находится в элементе объёма dV, а проекция его спина на ось z равна +½. Соответственно, |ψ₂|² dV есть вероятность того, что у электрона, находящегося в том же элементе объёма dV, проекция спина равна –½. Волновая функция (3.2) предполагается нормированной:

Суммирование ведётся по всем возможным проекциям спина. Если вероятность частице иметь то или иное значение s_z не зависит от её координат, то волновую функцию (3.2) можно представить в виде произведения:

Здесь ψ(r) — координатная волновая функция (только её мы и рассматривали во всём предыдущем материале), а столбец

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций