Глава 18. Тонкая структура (1121338), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Далее, выразим зависимость спин–орбитального взаимодействия от j в явном виде. Для этого возведём (4.1) в квадрат

j² = l² + s² + 2(sl)

и усредним его. В результате среднее значение скалярного произведения (sl) определяется собственными значениями операторов j², l² и s²:

<(sl)> = ½{j(j+1) – l(l+1) – s(s+1)}.

Формула (5.5) в своей квантовомеханической форме лишь множителем ½ (поправкой Томаса–Френкеля) отличается от корректного разложения по малому параметру  точного решения уравнения Дирака. Без вывода приведём выражение для поправки к энергии , обусловленной спин–орбитальным взаимодействием:

Эта формула справедлива для атома водорода или водородоподобного иона. Но спин–орбитальное взаимодействие играет настолько важную роль в теории атомных спектров, что существует специальная константа, описывающая его величину в сложных атомах.

Константа спин–орбитального взаимодействия

Перепишем формулу (5.3) в виде, справедливом не только для кулоновского поля, но и для любого потенциала φ(r), обладающего центральной симметрией:

Здесь, U — центрально–симметричная часть потенциальной энергии электрона в поле ядра и других атомных электронов. Подставляя (5.8) в (5.2) получим новое выражение для магнитного поля в системе координат электрона:

Соответственно, формула (5.4) заменится на

а формула (5.5) с учётом поправки Томаса–Френкеля принимает вид

Здесь мы воспользовались формулами (1.3.1) для комптоновской длины волны _С, (1.3.5) для магнетона Бора и отношением (1.3.3) между _С и радиусом первой боровской орбиты a₀. Усредняя (5.11) по волновым функциям нулевого приближения, получим общее выражение для энергии спин–орбитального взаимодействия для произвольного атома в модели центрально–симметричного поля:

Скалярное произведение (ls), зависящее только от угловых переменных, определяет число компонент, а радиальный множитель ζ_nl — общую для всех компонент величину расщепления. Он называется константой спин–орбитального взаимодействия. Легко показать, что эта константа существенно положительна. Действительно, электрон притягивается к ядру и электронам атомного остатка, поэтому напряжённость электростатического поля направлена от ядра. Так как градиент потенциала направлен против вектора напряжённости, то потенциал падает по мере удаления от ядра, а потенциальная энергия электрона, соответственно — растёт. Следовательно, dU/dr > 0, откуда вытекает заключение о положительной величине ζ_nl.

18.6 Зависимость массы электрона от скорости

На языке квантовой теории повторим расчёты раздела (13.7), в котором релятивистское движение электрона рассмотрено в классическом приближении. Формулу

для кинетической энергии электрона разложим по малому параметру V/c:

Первые два слагаемых оператора кинетической энергии нам уже известны; им соответствует рассмотренное в шестнадцатой главе уравнение Шредингера. Искомое возмущение V представлено последним слагаемым. Квадрат импульса в нём раскроем как величину, пропорциональную кинетической энергии:

Кинетическая энергия, в свою очередь, равна разности полной и потенциальной энергии (13.3.3). Мы ищем малую поправку к кулоновскому решению, поэтому полную энергию можем принять равной E_n — энергии атома водорода, либо водородоподобного иона в кулоновском приближении (16.6.22) на n–й боровской орбите. Выполняя все указанные преобразования, в конце концов приходим к выражению оператора возмущения через радиус орбиты электрона:

Усредняя V по радиусу, приходим к формуле для сдвига уровня:

Итак, для определения релятивистских поправок необходимо вычислить средние значения трёх степеней радиальной координаты.

18.7 Средние значения степеней радиальной координаты

Усреднение оператора r^q по радиальной координате, согласно определениям раздела 8.4, вычисляется по формуле

с волновыми функциями (16.6.30). Интегралы такого типа:

известны в математическом анализе. Для натурального m и Re(ν)>0 они имеют аналитическое выражение (см. Л.Д. Ландау и Е.М. Лившиц «Квантовая механика (нерелятивистская теория)», Математические дополнения, §f):

Воспользовавшись (16.6.30), выразим R_nl через гипергеометрическую функцию и выполним в интеграле (7.1) замену переменных:

В результате получим:

В нашем случае параметры подынтегральной функции в (7.2) равны

что позволяет упростить формулы (7.1)–(7.3):

Для упрощения записи мы ввели символ Похгаммера:

Формулы (7.7) и (7.8) при q = –1, –2 и –3 дают следующие выражения для средних значений трёх степеней оператора r:

Здесь r_n – введённый в (13.5.1) радиус n–й боровской орбиты. В (7.9b) и (7.9c) входит орбитальное квантовое число. Вместе с множителем в фигурных скобках правой части (5.6) это является предпосылкой для появления зависимости энергии уровня от момента.

18.8 Мультиплетное расщепление

Перейдём к окончательному вычислению двух релятивистских поправок. Подставив (7.7с) в (5.6), получим поправку к энергии за счёт спин–орбитального взаимодействия:

Эта формула неприменима при l = 0, но из (5.5) ясно, что в этом случае поправка за спин–орбитальное взаимодействие равна нулю. Аналогично, из (7.7a), (7.7b) и (6.2) следует:

Поправки сравнимы по величине. Сильная зависимость релятивистских взаимодействий от скорости электрона объясняет их быстрое увеличение по мере перехода к высокозарядным ионам (~Z⁴) и значительное ослабление у возбуждённых состояний (~n^–3). Они достигают нескольких процентов от энергии уровня у элементов группы железа. В случае более тяжёлых элементов оба процесса уже нельзя считать малыми возмущениями, и необходимо пользоваться точными формулами, которые даёт решение уравнения Дирака.

Сложив (8.1) и (8.2) получим суммарную поправку:

Здесь мы учли, что s(s+1) = ¾. Упростим два последних слагаемых внутри фигурных скобок:

для обоих возможных результатов векторного сложения: j = l±½.

l = j+½

Числитель дроби a здесь равен b = j(j+1)–3(j+1/2)(j+3/2)–3/4 = –2(j+1)(j+3/2), откуда

l = j–½

Теперь b = j(j+1)–3(j–1/2)(j+1/2)–3/4 = j(1–2j), и для a получается тот же самый результат:

В обоих случаях справедливо одно и то же выражение:

Таким образом, вследствие релятивистских эффектов уровень nl расщепляется на две компоненты: j = l+½ и j = l–½. Это расщепление носит название тонкого, или мультиплетного расщепления. Оно не полностью снимает кулоновское вырождение: хотя слагаемые и по отдельности зависят от l, их сумма однозначно определяется полным моментом j и в неё l не входит. Для всех уровней, отличающихся лишь орбитальным моментом l, компоненты с одним и тем же значением j совпадают. Из двух близких по величине поправок несколько бóльший вклад даёт зависимость массы электрона от скорости, что обуславливает отрицательную величину всей суммы. На рис. 18.8.1 показано (не в масштабе) тонкое расщепление уровней n = 1, 2 и 3.

Пунктиром обозначено положение уровней в кулоновском приближении. Каждому значению полного момента соответствует свой цвет, помеченный в правой части рисунка. Хорошо видно, что отклонения уменьшаются при увеличении главного квантового числа, а при фиксированном значении n бóльший сдвиг имеет состояние с меньшей величиной полного момента.

Легко убедиться, что сумма двух релятивистских поправок является отрицательной величиной. Действительно, максимально возможное значение полного момента равно l+½, в то время, как l не может превышать n–1. Следовательно, 1/(j+½)  n, и выражение в скобках правой части (8.3) меньше нуля.

Оценкой мультиплетного расщепления в данном случае служит энергетическая щель между уровнями с одинаковым орбитальным моментом, но разными значениями полного момента j=l±½:

С помощью формулы (8.3) получим

Мультиплетное расщепление быстро уменьшается по мере роста l, поэтому оно наиболее велико в состоянии 2p. Приведём его численные значения для атома водорода и водородоподобных ионов неона (Z=10) и цинка (Z=30).

Таблица 18.8.1. Мультиплетное расщепление атома водорода и водородоподобных ионов

Для атома водорода энергетическая щель между уровнями 2p_3/2 и 2p_1/2 соответствует частоте перехода около 10⁴ МГц, или длине волны 3 см радиодиапазона.

18.9 Коэффициенты векторного сложения.

В четвёртом разделе мы изложили способ определения полного момента электрона j, если известны его спиновый s и орбитальный l моменты. Сначала вычисляются все проекции полного момента по формуле (18.4.2). Перепишем её, применив обозначения формулы (18.4.3):

(9.1) m_j = m_l + m_s.

Например, пара моментов l = 1 и s = ½ образует сформированную в таблице 18.4.1 матрицу из шести элементов. В нижней и верхней строках матрицы имеются повторяющиеся значения m_j = ±½. Они соответствуют различным комбинациям угловых и спиновых частей полной волновой функции электрона

Характеристики

Список файлов лекций