Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 2. Излучение абсолютно черного тела

В физике часто рассматривается модель, в которой тело находится в термодинамическом равновесии с собственным излучением. В этом случае принято говорить о «чёрном теле» и о «чернотельном излучении». Поле излучения внутри чёрного тела однозначно определяется его температурой. Исследование спектра чёрного тела явилось началом теории атома. Хотя излучение чёрного тела в области малых частот может быть объяснено в рамках классической физики, его полный анализ можно провести только в рамках квантовой теории. Это следует хотя бы из того, что в аналитические формулы, описывающие спектр чёрного тела, входит введённая Планком постоянная ħ. Строго говоря, в природе абсолютно чёрное тело в чистом виде не существует, но его моделью может служить замкнутая полость с малым отверстием (рис.2.1).

Спектральную плотность излучения чёрного тела будем обозначать U_ω. Её размерность — эрг/(см³·рад/с). Из соотношения

(1) ω = 2π 

между круговой ω и линейной  частотой следует, что U_ω в 2π раз меньше плотности энергии U_, рассчитанной на один герц:

U_ = 2π U_ω.

В теоретических построениях часто пользуются величиной U_ω, а в практических расчётах предпочитают U_. Важную роль в приложениях играет интенсивность излучения, которую для случая чёрного тела принято обозначать B_ω и B_.

Результаты наблюдений часто рассчитываются на единицу длины волны , а не частоты. Соответствующая интенсивность обозначается B_, а плотность энергии — U_. Количество энергии в определённом спектральном интервале, конечно, не зависит от выбора шкалы, поэтому U_ω, U_ и U_ связаны друг с другом соотношением

.

Диапазоны длин волн  и частот ω и  определяются функциональной зависимостью

(3)  = с/ ,  = 2π ω,

из которой следует

.

Следует обратить внимание на то, что спектральные интервалы равны модулям дифференциалов соответствующих переменных. Например, из (2.3) следует отрицательное значение производной d/d, в то время как  и ω существенно положительные величины.

Поле излучения внутри чёрного тела изотропно, поэтому его поток равен нулю. Тем не менее, существует специальная модель, в которой рассматривается не внутренняя область, а граница изотропного источника. Излучение границы анизотропно и, следовательно, поток от неё отличен от нуля. В рамках такой модели справедлив известный закон Стефана–Больцмана для полного, проинтегрированного по всему спектру потока излучения от чёрного тела: поток пропорционален четвёртой степени температуры.

2.1. Особенности спектра излучения

В этом разделе мы изложим основные результаты экспериментов, на которых основана теория излучения чёрного тела.

Формула Рэлея-Джинса

В диапазоне предельно малых частот,

,

именуемом областью Рэлея–Джинса, плотность энергии пропорциональна температуре T и квадрату частоты ω:

На рис.2.1.1 эта область помечена РД. Формула Рэлея-Джинса может быть выведена чисто

классическим путём, без привлечения квантовых представлений. Чем выше температура чёрного тела, тем шире диапазон частот, в котором справедлива эта формула. Она объясняется в классической теории, но её нельзя распространять на высокие частоты (пунктирная линия на рис.2.1.1), так как просуммированная по спектру плотность энергии в этом случае бесконечно велика:

Эту особенность закона Рэлея-Джинса называют «ультрафиолетовой катастрофой».

Формула Вина.

В диапазоне больших частот (область В на рис.2.1.1) справедлива формула Вина:

Хорошо видно, что правая часть меняется немонотонно. Если частота не слишком велика, то преобладает множитель ω³ и функция U_ω возрастает. По мере увеличения частоты рост U_ω замедляется, она проходит через максимум, а затем убывает за счёт экспоненциального множителя. Наличие максимума в спектре излучения отличает виновский диапазон от области Рэлея-Джинса.

Чем больше температура тела, тем выше граничная частота, начиная с которой выполняется формула Вина. Величина параметра a в экспоненте правой части зависит от выбора единиц, в которых измеряются температура и частота. Вывод формулы Вина требует привлечения квантовых представлений о природе света.

Закон смещения Вина

Обозначим ω_max частоту максимума функции Планка. Закон смещения Вина гласит, что она пропорциональна температуре, следовательно:

Константа в правой части зависит от выбора единиц частоты и температуры. Кроме того, она различна для функций B_ и B_.

Закон Стефана-Больцмана.

Закон Стефана-Больцмана заключается в том, что плотность энергии чёрнотельного излучения, проинтегрированная по всем частотам, пропорциональна четвёртой степени температуры:

Он часто используется в астрономии при определении светимости звезды по её температуре. Для этого необходимо перейти от плотности излучения к наблюдаемой величине — потоку. Формула для интегрального по спектру потока излучения будет выведена в третьей главе.

2.2. Число осцилляторов в единице объёма

Попытаемся объяснить все приведённые выше экспериментальные факты. Для этого введём представление об осцилляторах, или о стоячих волнах внутри некоторой полости (например, как на рис.2.1). Количество энергии излучения U_ω dω определяется числом осцилляторов dN_ω в интервале частот (ω, ω + dω), в объеме V, при средней энергии одного осциллятора < E >:

Перейдём к вычислению dN_ω и < E >.

Число осцилляторов

Подсчёт числа осцилляторов мы выполним по методу, предложенному Рэлеем и реализованному Джинсом. Число осцилляторов dN_ω равно количеству стоячих волн в рассматриваемом объеме. Подсчёт числа колебаний можно выполнить и в терминах длин волн

для интервала от  до  + d, но удобнее проводить его в шкале волновых чисел

для интервала от k до k + dk. Рассмотрим волны в кубе L  L  L. Введём волновой вектор k проекции которого на оси координат равны k_x, k_y, k_z. Внутри рассматриваемого объёма по каждому направлению должно укладываться целое число волн:

где N_x, N_y и N_z — целые положительные числа. Совокупность таких значений k_x, k_y, k_z обеспечивает наличие узлов на гранях куба. Модуль k волнового вектора выражается через его проекции, как модуль любого вектора:

Для нахождения числа осцилляторов удобно воспользоваться простым геометрическим приёмом. Выберем N_x, N_y и N_z из формулы (2.4) за координатные оси в воображаемом пространстве чисел. На рис. 2.1 изображена часть этого пространства. Каждой тройке чисел N_x, N_y и N_z на этом рисунке отвечает точка. Введём величину

Если числа N_x, N_y и N_z достаточно велики, то их функция N будет меняться почти непрерывно и на рис.(2.1) изобразится радиус-вектором. Согласно (2.4–6), модуль волнового вектора однозначно выражается через N:

Отсюда следует, что число волн с модулем волнового вектора, лежащим в интервале от k до k + dk, равно числу чисел N в интервале от N до N + dN. Последнее равно числу точек, попадающих в шаровой слой между сферами радиусом N и N + dN, а именно,

Таким образом, число волн, или число осцилляторов с величиной волнового числа между k и k + dk и с определённым направлением поляризации в объёме V = L³ равно

Последнее равенство справа получилось после дифференцирования (2.7). Нам осталось умножить полученное выражение на 2 — число независимых направлений поляризации излучения, и, воспользовавшись формулой (2.3), перейти к шкале частот:

В силу большой важности (2.8), приведём другой его вывод, основанный на формуле (2.3) первой главы

для числа квантовых состояний dN в элементе фазового объёма d. Проинтегрировав последнюю формулу по всем пространственным координатам, получим, что число квантов в объёме V и в элементе dp_x dp_y dp_z пространства импульсов равно V dp_x dp_y dp_z /h³. Теперь перейдём к сферическим координатам в пространстве импульсов

dp_xdp_ydp_z = p² dp sin d d

и проинтегрируем по угловым переменным:

Итак, в пространстве импульсов объём шарового слоя радиусом p и толщиной dp равен 4πp2 dp. С помощью формулы p=ħω/c перейдём от интервала импульсов фотона к диапазону частот излучения:

откуда следует выражение для числа квантов в объёме V и в интервале частот dω с заданным направлением поляризации:

Если теперь учесть наличие у фотона двух независимых поляризаций, то снова получится формула (2.8). Примечательно, что она не содержит постоянной Планка. Это обстоятельство служит указанием на то, что она может быть получена в рамках классического рассмотрения.

Теперь вычислим среднюю энергию осциллятора. Рассмотрим последовательно случаи классического и квантового осцилляторов

2.3 Средняя энергия классического осциллятора

Энергия одномерного осциллятора выражается через импульс p и координату q:

В классической статистике равновесное распределение частиц (в данном случае осцилляторов) по энергиям определяется формулой

Поэтому средняя энергия равна

Введем обозначения

тогда

В последнем интеграле переменные P и Q разделяются. После сокращения общих множителей в числителе и знаменателе приходим к формуле

Интегралы в числителе и знаменателе обоих слагаемых могут быть приведены к виду

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций