Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 1. Анализ размерностей.

Анализ размерностей представляет собой общий метод, позволяющий с точностью до безразмерной константы получить выражение для нужной физической величины, размерность которой нам известна. Для этого выбираются «базовые» величины, ни одна из которых не может быть выражена через остальные. Их комбинация и даст интересующий результат. Анализ размерностей приводит к оценке по порядку величины, причём иногда получаются точные аналитические выражения.

В качестве примера приведём доказательство теоремы Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c:

Острый угол напротив стороны a обозначим A. Из соображений размерности площадь треугольника S пропорциональна квадрату одной из сторон, скажем, гипотенузы:

Высота h, опущенная из прямого угла на гипотенузу, разбивает треугольник на два ему подобных, причём их гипотенузы равны a и b соответственно. Острый угол каждого из этих треугольников равен A, поэтому их площади могут быть выражены как

.

Подставляя эти формулы в очевидное равенство

и сокращая на общий множитель f(A), приходим к искомой теореме:

Перейдём к физическим приложениям.

1.1. Классическая электродинамика.

В предлагаемом курсе мы будем пользоваться, главным образом, симметричной, или гауссовой системой единиц. В ней электрические величины измеряются в единицах СГСЭ, а магнитные — в единицах СГСМ. Лишь в отдельных случаях мы будем употреблять систему СИ, специально это оговорив, а там, где это уместно — и внесистемные единицы, такие как электрон–вольт (эВ) или ридберг (Ry). Применяемые значения констант взяты из статьи “The Fundamental Physical Constants”, опубликованной на странице 9 журнала “Physics Today” Volume 49, Number 8, Part 2, авторы — E. Richard Cohen и Barry N. Taylor.

Итак, массу мы измеряем в граммах (г), размеры — в сантиметрах (см) и время — в секундах (с). В качестве базовых величин возьмем элементарный электрический заряд e, массу электрона m_e и скорость света c:

Это — экспериментальные величины, не определяемые теоретически.

Классический радиус электрона.

Сформируем имеющую размерность длины комбинацию для релятивистской, но не квантовой величины: в ней должна присутствовать скорость света, но нет постоянной Планка. Для этого составим уравнение вида

Для размерностей это выглядит так:

Приравняв степени при одинаковых единицах размерности в левой и правой частях последней формулы, получим систему из трех линейных уравнений:

Решение этой системы дает:

x = 2, y = –1, z = –2.

Таким образом, комбинация базовых величин (1.1) с размерностью длины имеет вид:

Мы получили выражение для так называемого классического радиуса электрона r_e. Численно он равен

r_e=2.82·10^–13 см.

Перепишем формулу для r_e в виде

В правой части последнего уравнения стоит кулоновская энергия взаимодействия зарядов e, находящихся на расстоянии r_e, а в левой части — энергия покоящегося электрона. Таким образом, r_e представляет собой такой размер шарика с зарядом e, при котором энергия взаимодействия электрона с возбуждаемым им полем равна его энергии покоя m_ec².

В атомной физике энергию часто выражают в электронвольтах (эВ). Такую энергию приобретает электрон после прохождения разности потенциалов, равной одному вольту. Напомним, что вольт — это единица измерения разности потенциалов в системе СИ, она примерно в триста раз меньше соответствующей единицы гауссовой системы:

Отсюда вытекает связь между электронвольтом и эргом — единицей энергии в системе Гаусса:

1 эВ = 1.602192·10^-12 эрг ≈ 1.6·10^-12 эрг.

Хотя для температуры принята своя единица измерения — градус Кельвина, тем не менее, и здесь иногда прибегают к электрон–вольтам. Чтобы выразить температуру в энергетических единицах, надо выполнить замену

где k — постоянная Больцмана,

Отсюда легко вычислить температуру, соответствующую одному электронвольту:

1эВ=11604.55 K.

Выразим энергию покоя электрона в электронвольтах:

Известна реакция образования электрон-позитронных пар — превращение гамма–кванта (γ) в электрон (e^–) и позитрон (e⁺):

Позитрон — это элементарная частица, масса которой равна массе электрона; заряды электрона и позитрона равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Говорят, что позитрон является античастицей по отношению к электрону. Пороговая энергия реакции определяется суммарной энергией покоя электрона и позитрона и составляет около одного мегаэлектронвольта. Имеет место и обратная реакция — аннигиляция электрона и позитрона:

В этой реакции возникают два или три фотона.

Другая важная для атомной физики частица — протон относится к классу нуклонов. Нуклон — это обобщённое наименование протона и нейтрона, частиц, из которых состоит ядро атома. Протон значительно тяжелее электрона:

m_p = 1836.11·m_e= 1.672661·10^-24 г.

Энергия покоя протона m_pc² равна 938 МэВ. Нейтрон слегка тяжелее протона, его масса равна 1.6750·10^-24 г, а соответствующая ему энергия покоя составляет 940 МэВ. Аннигиляция нуклона и антинуклона чаще всего приводит к образованию π–мезонов.

Ленгмюровская частота.

Вещество во Вселенной находится, главным образом, в виде плазмы — полностью или частично ионизованного газа. В достаточно больших объёмах плазма электронейтральна, то есть, количество положительного и отрицательного зарядов в ней одинаково. Однако в небольших областях и на короткое время возникают флуктуации заряда. Электроны, стараясь их компенсировать, приходят в движение и получаются колебания вокруг положения равновесия. Эти колебания называются плазменными, или ленгмюровскими, по имени учёного, впервые обратившего на них внимание.

Помимо элементарного заряда и массы электрона, частота плазменных колебаний ω₀ зависит от концентрации электронов N_e — их числа в единице объёма. Комбинация e²/m_e имеет размерность см³/ с². Умножив её на N_e, получим с точностью до безразмерной константы:

Точное выражение для ω₀ содержит множитель (4π)^1/2:

Излучение в плазме не может распространяться на частотах ниже ленгмюровской. В земной ионосфере электронная плотность может быть оценена как 10⁶ см^–3. Соответственно, от неё отражаются радиоволны с линейной частотой < 9 МГц.

1.2 Квантовая физика.

Переходим к оценкам, в которых присутствует постоянная Планка

h = 6.62620·10^–27 эрг·с,

имеющая размерность действия. Это означает, что мы выходим за пределы применимости классической механики и вступаем в область квантовой теории. Во многих формулах удобно пользоваться модифицированной («перечёркнутой») постоянной Планка:

ħ = h/2π = 1.05459·10^–27 эрг·с.

В классической физике действие сохраняется как адиабатический инвариант. Например, медленное изменение длины математического маятника сопровождается изменением энергии и частоты его колебаний, так что остаётся постоянным их отношение:

В квантовой физике этому соотношению отвечает формула,

(2.1)

связывающая энергию и частоту фотона. Длина волны λ излучения связана с импульсом фотона p, если его рассматривать как частицу:

(2.1a) p = k.

Здесь k — волновой вектор. Он направлен по направлению движения волны, а его модуль равен 2/λ. Постоянная Планка h представляет собой элементарную порцию, или квант, действия. Действие квантуется: оно принимает дискретный ряд значений, пропорциональных h, и не может быть меньше h.

Размерность действия имеет также момент орбитального количества движения частицы, равного векторному произведению её количества движения на радиус-вектор:

Момент вращения тоже квантуется. Кроме того, квантуется произведение дисперсий импульса и координаты

Последняя формула представляет собой известное соотношение неопределённостей Гайзенберга. Произведение дифференциалов трёх координат

dx·dy·dz

и трёх составляющих импульса

dp_x·dp_y·dp_z

можно рассматривать как элемент объёма в 6–мерном фазовом пространстве. Каждая пара произведений импульса и координаты p_i·r_i имеет размерность действия. Соответственно, число квантовых состояний dN в элементе фазового объёма

d=dpx·dpy·dpz·dx·dy·dz

равно

Этим соотношением мы будем пользоваться неоднократно, например, при выводе формулы Планка для спектра чернотельного излучения, а также формулы ионизационного равновесия, носящей имя Сахá.

Скорость электрона в атоме

Масштабы величин в нерелятивистской квантовой теории определяют элементарный заряд e, масса электрона m_e и постоянная Планка ħ:

Комбинация с размерностью скорости получается из двух констант:

Это скорость электрона на первой боровской орбите. Умножив числитель и знаменатель на скорость света c, перепишем выражение для V₀ в виде

V₀ = ·c = 2.18·10⁸ см/с.

Безразмерная величина  называется постоянной тонкой структуры:

Она играет важную роль в релятивистской квантовой теории. Для построения квантовой электродинамики существенно, что  значительно меньше единицы и может рассматриваться как малый параметр.

Энергия атома

Зная величину V₀, оценим энергию электрона на первой боровской орбите. С точностью до константы

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций