Глава 01. Анализ размерностей (1121321), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Это атомная единица энергии — хартри. Половина этой величины называется ридбергом:

В дальнейшем мы увидим, что ридберг практически равен потенциалу ионизации атома водорода из основного состояния. Сопоставим (2.5) с энергией покоя электрона m_e c²:

Таким образом, энергетические масштабы атомных и ядерных процессов различаются на четыре порядка величины.

Размер атома

Рассмотрим систему протон–электрон. Согласно теореме вириала, при кулоновском взаимодействии средние значения кинетической T и потенциальной U энергии электрона связаны соотношением

2T = – U.

Поэтому с точностью до постоянной величины имеем:

где a₀ — радиус орбиты электрона. Из последней формулы получим

Å

Здесь введена единица измерения ангстрем:

1 Å =10^–8 см.

Ею часто пользуются при решении задач атомной физики. Величина a₀ называется боровским радиусом. Он равен радиусу орбиты электрона в основном состоянии атома водорода.

Дебройлевская длина волны

Далее мы увидим, что электрон, как и любая другая частица, проявляет не только корпускулярные, но и волновые свойства. Для их описания используется дебройлевская длина волны λ_D. Оценим её из соображений размерности. По аналогии с формулой (2.1) для электрона как волны имеем

где волновые свойства электрона описываются параметром ω, имеющим размерность частоты. Ему соответствует характерное время t=1/ω, откуда

Из скорости электрона V и промежутка времени t составим комбинацию с размерностью длины:

Она называется дебройлевской длиной волны и, согласно приведённым выкладкам, равна

К той же самой величине мы приходим, исходя из соотношения неопределённостей (2.2), если определим длину волны де Бройля как неопределённость положения электрона по одному измерению:

Волновые свойства электрона проявляются в опытах по дифракции электронов на кристалле. Постоянная решётки, то есть расстояние между ионами у большинства кристаллов порядка одного ангстрема. Дифракционные явления наблюдаются у электронов, длина волны которых сравнима с постоянной кристаллической решётки. Такие электроны, согласно (2.5) и (2.7), обладают энергией около 10 эВ.

1.3 Квантовая теория излучения и магнитные явления

В квантовую теорию излучения входят три параметра: заряд, постоянная Планка и скорость света. Сопоставим размеры атома и электрона. Их отношение равно

Классический радиус электрона на четыре порядка величины меньше боровского радиуса, что аналогично соотношению энергий (2.6). Последний результат не должен вызывать удивления, так как энергия кулоновского взаимодействия обратно пропорциональна первой степени расстояния.

Рассмотрим ещё одну важную величину — комптоновскую длину волны, определив её как среднее геометрическое r_e и a₀:

.

Она характеризует эффект отдачи: обусловленное квантовой природой света изменение энергии фотона при комптоновском рассеянии. Длина волны фотона, рассеянного на прямой угол неподвижным свободным электроном возрастает на величину

Å,

также называемой комптоновской длиной волны. Между тремя масштабами длины имеет место соотношение:

Комптоновская длина волны описывает релятивистские эффекты в квантовой электродинамике, например — рождение пар. Если длина волны фотона меньше комптоновской длины волны, то его энергия превышает m_ec² — масштаб пороговой энергии для рождения электрон–позитронных пар.

Комптоновская длина волны обратно пропорциональна массе частицы. Перейдём от масштаба комптоновской длины волны электрона к размерам ядра. Тогда величине соответствуют частицы в сотни раз массивнее электрона. Такие частицы существуют — это π–мезоны с массой 270 m_e, они определяют взаимодействие нуклонов в ядре.

Масштабы частоты и времени, характерная длина волны излучения.

Оценим период обращения электрона вокруг протона в атоме водорода. Отношение

называется атомной единицей времени, а обратная величина

,

соответственно, атомной единицей частоты. В случае удалённых от ядра орбит частота излучаемого кванта не сильно отличается от ω₀. Отсюда следует оценка длины волны

Å,

Весьма важно, что длина волны света в тысячи раз превышает размеры атома. Этот факт позволяет выполнить классификацию типов излучения, а именно — выделить его дипольную и квадрупольную составляющие.

Напряженность электрического поля и магнитный момент

Оценим величину электрического поля в атоме:

 ~ e / a₀ ≈ 300·4.8·10^–10 / (0.5·10^–8)² ≈ 5·10⁹ В / см.

Столь сильное поле задаёт жёсткую структуру атома. Напомним, что размерный множитель 300 соответствует переходу от единиц напряженности системы СГСЭ к вольтам, более удобным единицам.

Пусть электрон вращается на расстоянии r от ядра со скоростью V по круговой орбите, площадь которой обозначим S. При движении электрона возникает ток величиной I = eV / r. Согласно определению, величина магнитного момента равна отношению

Магнитный момент μ, как и напряжённость магнитного поля H, является псевдовектором, или аксиальным вектором. От обычного, то есть, полярного вектора они отличаются сменой направления при операции инверсии координат.

Магнитный момент любой системы определяет её потенциальную энергию U в магнитном поле:

В задаче о вращении электрона вокруг ядра произведение pr, согласно соотношению неопределённостей (2.2), должно быть порядка ħ, откуда

Величина

называется магнетоном Бора. Она определяет магнитные свойства атома.

Эффект Зеемана.

Применим результаты предыдущего раздела к эффекту Зеемана — расщеплению спектральных линий в магнитном поле. Сдвиг линий происходит вследствие изменения положения энергетических уровней под действием внешнего магнитного поля. Оценим величину поля, которое обусловливает изменение энергии уровня E, скажем, на одну миллионную его первоначального значения E:

Согласно разделу (1.2), энергия электрона в атоме порядка одного ридберга, откуда вытекает оценка E ~ 10^–11 эрг. Подставляя E = U в формулу (3.3), получим

Поля такой величины встречаются в отдельных областях поверхности Солнца и некоторых звёзд, такие области называются «магнитными пятнами», или просто «пятнами». Магнитные пятна занимают относительно небольшую часть, около десяти процентов поверхности звезды. На большей части поверхности Солнца и других звёзд магнитное поле также присутствует, но его величина не превышает нескольких гаусс.

1.4 Квантовая теория гравитации

Квантовая теория гравитации ещё не создана. Тем не менее, мы можем сделать некоторые выводы из анализа размерностей, опираясь на гравитационную постоянную

G = 6.67390 ·10^–8 см³ с^–2 г^–1,

постоянную Планка ħ и скорость света c. Из этих трёх величин получим выражения для планковской длины

планковского времени

и планковской массы

На этих масштабах ломается привычная для нас метрика, а геометрия пространства приобретает квантовые свойства. Отметим относительно большую величину планковской массы:

Частицу с массой m_P называют максимоном (фридмоном). Энергия, соответствующая массе покоя максимона, равна m_Pc² ≈ 5·10²⁸ эВ. Частицы с такой энергией в космосе не наблюдаются.

По теории Гамова в момент времени ~ t_P произошёл так называемый «большой взрыв». То, что осталось от него, мы наблюдаем в виде реликтового излучения. В настоящий момент времени t₀ температура излучения равна T₀ = 2.73 K ≈ 10^–4 эВ.

Допустим, что температура T и время t связаны между собой по закону

В момент времени t_L ≈ 1 c при температуре T_L ≈ 10⁶ эВ происходит аннигиляции лептонов. Зная t₀ и t_L, а так же соответствующие этим моментам времени температуры, найдем показатель :

Отсюда  = 10/17 ≈ 1/2. Теперь мы можем оценить температуру в момент времени t_P:

Полученное значение энергии по порядку величины совпадает с энергией максимонов. Таким образом, на временах порядка t_P, действительно могли существовать частицы больших энергий, порядка энергии максимонов.

Характеристики

Список файлов лекций