Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 16. Атом водорода в квантовой механике

В этой главе излагается решение уравнения Шредингера в рамках задачи Кеплера. Мы убедимся, что без учёта релятивистских эффектов положение энергетических уровней получается таким же, как и в теории Бора–Зоммерфельда, но определяемая волновой функцией форма орбиталей в квантовой теории отличается от классических траекторий. В случае кулоновского поля существуют аналитические выражения для волновых функций, что позволяет вычислить средние значения физических параметров и, например, получить представление о размерах атома в различных состояниях.

Анализ задачи с позиций квантовой механики позволяет выяснить природу основного состояния любого атома, понять причину сгущения уровней вблизи границы ионизации, а также дать ответ на вопрос о вырождении энергетических уровней. Квантовые числа углового момента, которые определяют структуру волновой функции, необходимы при классификации спектров сложных атомов, для которых аналитическое решение уравнения Шредингера невозможно.

Проблема атома водорода и, в особенности, водородоподобных ионов с большим зарядом ядра, требует учёта релятивистских эффектов. Один из них — зависимость массы электрона от скорости — в главе 13 рассмотрен в классическом приближении. Мы увидели, что при переходе к тяжёлым атомам этот эффект растёт быстро, пропорционально Z⁴, но, тем не менее, остаётся малым вплоть до элементов группы железа. Аналогичными свойствами обладает спин–орбитальное взаимодействие. Его роль заключается в снятии вырождения уровней, характерного для нерелятивистской модели атома. Задача о кулоновском поле имеет аналитическое решение и в релятивистском случае. Но для атомов вплоть до элементов группы железа оба упомянутых эффекта малы по сравнению с электростатическим взаимодействием и могут быть рассмотрены как малые поправки к полученным в этой главе формулам.

16.1 Приведённая масса

Рассмотрим взаимодействие двух заряженных частиц по закону Кулона. С потенциальной энергией (13.3.3) стационарное уравнение Шредингера для волновой функции системы _sys имеет вид

.

Здесь r_e и r_Z —радиус–векторы, соответственно, электрона и ядра, E_tot — полная энергия системы. Введём положение центра инерции частиц

и электрона относительно ядра

.

Две последние формулы соответствуют определениям (13.2.3) и (13.2.4) классической механики. Выполним замену переменных в операторах дифференцирования в левой части (1.1):

Подставив (1.4) в (1.1), приходим к уравнению

.

Оно допускает разделение переменных. Представим волновую функцию в виде произведения

,

где первый множитель не зависит от R, а второй — от r. Разделим (1.5) на _sys и второе слагаемое слева перенесём в правую часть:

.

Левая и правая части последнего уравнения зависят от разных переменных, поэтому каждая из них должна быть равна константе. Полная энергия E_tot системы складывается из её внутренней энергии E и энергии E_mc движения центра масс электрона и ядра:

Уравнение

описывает равномерное прямолинейное движение центра масс, а уравнение

есть искомое уравнение Шредингера для относительного движения. Как и в классической механике, задача сводится к движению вокруг ядра частицы, занимающей место электрона, но масса её равна приведённой массе системы (13.2.6).

16.2. Новые параметры

В связанном состоянии энергия частицы E, как известно, отрицательна. Вместо неё будем пользоваться «дебройлевским» волновым числом:

.

Введём масштаб длины

.

Напомним, что a₀ — боровский радиус (1.2.7). В этих обозначениях уравнение (1.9) приобретает следующий вид:

Удобно перейти к сферическим координатам, в которых оператор Лапласа равен сумме

,

где слагаемые

называются, соответственно, «радиальным» и «угловым» лапласианом. Напомним, что угловой лапласиан, согласно (12.5.1), с точностью до знака равен оператору квадрата момента количества движения l². Перейдём к решению задачи.

16.3. Разделение сферических переменных

Покажем, что в сферических координатах задача допускает дальнейшее разделение переменных. Волновую функцию ищем в виде произведения

.

Подставим (3.1) в (2.3), разделим полученное уравнение на (r) и перенесём в правую часть слагаемое с оператором, действующим на угловые переменные:

.

Слева и справа от знака равенства стоят функции от разных аргументов. Следовательно, обе они равны одной и той же константе:

Уравнение (3.3) совпадает с (12.5.3) и, таким образом, представляет собой задачу на собственные значения квадрата момента. Согласно (12.5.5) и (12.6.2), она имеет ограниченное и однозначное решение

только при

Подставляя это значение  в (3.2), получим обыкновенное дифференциальное уравнение для радиальной части волновой функции:

.

Прежде, чем приступить к его решению, проведём качественные исследования некоторых свойств радиального движения.

16.4. Свойства движения в кулоновском поле

Наличие основного состояния и сгущение уровней вблизи границы ионизации — оба этих свойства кулоновского поля являются следствием соотношения неопределённостей.

Рассмотрим волновую функцию электрона, локализованного внутри малой сферы радиуса r₀. Неопределённость в значениях его координат приблизительно равна r₀, неопределённость в значении импульса, соответственно, порядка , а среднее значение кинетической энергии T составляет . Полная энергия, равная сумме

,

не может неограниченно убывать по мере уменьшения r₀. Следовательно, дискретный спектр начинается с некоторого отрицательного конечного значения. Иными словами, в кулоновском поле имеется основное состояние.

Этот результат отличается от движения в потенциальной яме бесконечной глубины, где отрицательная энергия дискретных уровней неограниченно растёт по абсолютной величине. Различие обусловлено степенью крутизны потенциальной функции. Если в (4.1) вместо кулоновского потенциала подставить, например

с достаточно большим показателем степени,

 > 2,

то энергия E при уменьшении r₀ становится отрицательной, неограниченно увеличиваясь по абсолютной величине. Но если средняя энергия может принимать такие значения, то это означает, что существуют сколь угодно глубокие уровни. Потенциальная яма имеет стенки, более крутые, чем любая степеннáя функция, следовательно, её уровни энергии действительно не должны иметь нижней границы.

Ещё раз обратим внимание на то, что существование основного состояния атома является чисто квантовым явлением. В классической механике при равном нулю моменте обязательно имеет место падение электрона на ядро.

Теперь исследуем характер энергетического спектра электрона, находящегося на больших расстояниях от ядра. Рассмотрим волновой пакет, «заполняющий» шаровой слой большого радиуса r₀ и толщины . Тогда порядок величины кинетической энергии будет . Теперь увеличиваем r₀ и, пропорционально ему, . Для электрона в кулоновском потенциале при достаточно больших значениях r₀ сумма

станет отрицательной. Таким образом, существуют стационарные состояния с отрицательной энергией, в которых частица может находиться на больших расстояниях от ядра. Но это означает, что существуют сколь угодно малые по абсолютной величине уровни энергии. Иными словами, дискретный спектр содержит бесконечно много уровней, сгущающихся к границе ионизации. Снова мы видим кардинальное отличие от решения задачи о потенциальной яме. Причина та же: большая крутизна потенциальной функции. Из (4.2) легко убедиться, что в случае никакого сгущения уровней ожидать не приходится.

По сути дела, мы убедились, что у каждой атомной системы есть основное состояние с конечным значением энергии, и её уровни сгущаются по мере приближения к границе ионизации. Оба эти заключения следуют из того, что потенциальная функция любого иона и атома близка к закону Кулона как вблизи ядра, так и на очень больших расстояниях от него. Вблизи ядра можно пренебречь влиянием электронов, и потенциальную энергию (отрицательную) описывает формула . Вдали от него справедлива изложенная в разделе 13.8 модель атомного остатка. Потенциальная энергия оптического электрона в этой модели также описывается законом Кулона и пропорциональна отношению , где N — число электронов в ионе или атоме.

16.5. Эффективный потенциал

Покажем, что решение радиальной части (3.4) волнового уравнения не имеет вырождения. На время вернёмся к обозначениям первого раздела. Вынесем за скобки множитель и с учётом (2.1) и (2.2) получим:

Подстановкой

(5.1) приводится к виду

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций