Глава 16. Атом водорода в квантовой механике (1121336), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

В литературе можно увидеть различные формулы для волновой функции в кулоновском поле. Они отличаются друг от друга комплексной константой, квадрат модуля которой равен единице. Это различие не является существенным, так как в любом физическом эксперименте измеряется вероятность обнаружения частицы, равная именно квадрату модуля волновой функции.

Заметим, что размерность волновой функции равна , где d — размерность задачи. В нашем случае размерным множителем в (6.30) является комбинация . Остальные множители — безразмерны, включая сферическую функцию .

16.7 Статистический вес энергетического уровня

Соберём воедино основные результаты, полученные в этой главе. Уровни электрона с отрицательной энергией в кулоновском поле квантуются:

,

причём энергия зависит только от главного квантового числа n. Квадрат модуля момента определяется орбитальным квантовым числом l, которое при заданном уровне энергии может принимать n разных значений:

Напомним (раздел 13.5), что для краткости l часто называют абсолютной величиной момента. Существует специальная система обозначений для состояний с определённым значением l:

Табл. 16.7.1. Обозначения состояний с определёнными значениями l.

Значение l	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
Обозначение	s	p	d	f	g	h	i	k	l	m	n	o	q	r	t	u	v	w	x	y

Проекция вектора момента на одно из направлений (обычно обозначаемого z) пропорциональна магнитному квантовому числу m. При фиксированном значении l оно может принять одно из 2l+1–го значений:

.

Итак, волновая функция определяется тремя квантовыми числами: n, l и m, — в то время как энергия уровня только одним из них — n. Следовательно, в кулоновском поле существуют разные состояния, которым отвечает один и тот же уровень энергии. Иными словами, имеет место вырождение энергетических уровней. В пятом разделе мы показали, что радиальное движение не вырождено, следовательно, всё вырождение обусловлено угловой частью волновой функции. Статистический вес g(l) состояния с определённым значением l равен числу разных значений проекции момента на одну из осей:

Отличительным свойством кулоновского поля является вырождение по абсолютной величине углового момента.

Вычислим статистический вес g(n) энергетического уровня в кулоновском поле. Он складывается из весов отдельных l–состояний:

Подставляя сюда (7.1) и вычисляя сумму арифметической прогрессии, получаем

.

Это статистический вес электрона в кулоновском поле, но, строго говоря, ещё не вес атома водорода. В случае реального атома необходимо учесть ещё вырождение по спиновой переменной, которую мы здесь не рассматривали. Для справки приведём окончательный результат для атома водорода и водородоподобного иона:

.

Множитель 2 перед n² отвечает двум возможным ориентациям спина электрона.

16.8 Два взгляда на форму орбиты

Выше мы дважды решили задачу об атоме водорода: методом Бора–Зоммерфельда и методом Шредингера. В обоих случаях присутствуют квантовые числа, описывающие момент вращения: n_ — в модели Бора-Зоммерфельда и l — в уравнении Шредингера. Величина l меняется в диапазоне от нуля до , а n_φ — от единицы до n. Принципиальным отличием является то, что в квантовой теории орбитальный момент может принимать нулевое значение, что объясняется принципом неопределёностей Гайзенберга. Величина n_φ определяет форму орбиты электрона: самые вытянутые орбиты отвечают значению n_φ = 1, в то время, как для круговых орбит n_φ = n. Сказанное иллюстрирует рис. 15.1.2 раздела 15.1.

Иная ситуация в квантовой теории: нулевому моменту соответствует изотропная волновая функция, а по мере увеличения l угловая зависимость постепенно усложняется. На рис.16.8.1 приведёны полярные графики плотности вероятности для трёх значений

Хорошо видно отличие от классических орбит электрона.

Вероятность обнаружить электрон в единичном объёме пространства

,

как и волновая функция, распадается на радиальный и угловой множители. Проинтегрировав (8.1) по всем направлениям, получим вероятность найти электрон в шаровом слое между сферами радиуса r и r + dr:

Рассмотрим круговую орбиту, ей соответствует , и . Радиальная волновая функция в этом случае не имеет узлов

и ей соответствует вероятность

.

Максимум этой функции приходится на

.

Подставляя сюда выражение (6.21) для k_n, получаем

то есть, боровский радиус n–й орбиты. На рис.16.8.2 приведены профили вероятности W(r) для отдельных квантовых состояний.

Число касаний горизонтальной оси графиком плотности вероятности в каждом случае равно . У состояний 1s, 2p и 3d, где осцилляции отсутствуют, заметно удаление электрона от ядра по мере увеличения момента вращения.

Итак, расчёты, основанные на рецептах квантовой теории, подтверждают выводы классической механики по вопросу о положении энергетических уровней. Принципиально новым достижением квантового подхода является понятие волновой функции. Аппарат волновых функций позволяет вычислять матричные элементы всех операторов. Посредством матричных элементов выражаются все релятивистские поправки, отражающие влияние таких физических факторов, как зависимость массы электрона от скорости, спин–орбитальное взаимодействие, а также взаимодействие иона или атома с полем излучения.

Матричные элементы атома водорода и водородоподобных ионов вычисляются аналитически. Возможности аналитического подхода к другим атомным системам более ограничены. Но, пользуясь решениями для водородоподобных систем, для каждого сложного атома можно составить схему уровней, правильно отражающую роль различных типов взаимодействия.

16

Характеристики

Список файлов лекций