Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 6. Волновой пакет

Итак, мы убедились, что излучение в некоторых условиях проявляет корпускулярные свойства. С другой стороны, дифракционная картина, наблюдаемая при рассеянии на кристаллах различных частиц — электронов, нейтронов и целых атомов — свидетельствует в пользу их волновой природы. Как совместить волновые и корпускулярные свойства объектов микромира? Ведь частица локализована в пространстве, а волна представляет собой протяжённое образование. Например, монохроматическая волна заполняет собой всё пространство и вопрос о её местонахождении лишён смысла. Тем не менее, волновой процесс можно локализовать. Для этого надо создать волновой пакет — сумму многих колебаний с разными частотами и длинами волн.

6.1 Фазовая скорость

Запишем уравнение монохроматической волны, распространяющейся в положительном направлении оси x:

(x,t) = A cos(kx– t),

где  — любая физическая величина, описывающая волновое движение. Аргумент гармонической функции (в данном случае — косинуса) называется фазой:

 = kx –  t.

Выразим координату через фазу и время:

Если мы зафиксируем фазу, то координата становится линейной функцией времени. Такая зависимость называется характеристикой. На рисунке 6.1.1 показаны три характеристики,

отвечающие различным значениям фазы. Множитель перед t называется фазовой скоростью волны:

Физический смысл фазовой скорости заключается в следующем. Для наблюдателя, который движется со скоростью V_ф в направлении распространения волны, величина  становится постоянной и волна как бы застывает. Однако, во многих случаях оказывается, что фазовая скорость волны больше скорости света. Здесь нет никаких противоречий, так как темп переноса энергии описывается совсем другой характеристикой волнового пакета.

6.2 Групповая скорость

Понятие групповой скорости связано с интерференцией колебаний, имеющих разные частоты и длины волн. Рассмотрим две волны с одинаковыми амплитудами и различающимися, но близкими частотами и длинами волн:

причём

Сложим эти колебания:

В аргументе первого косинуса правой части мы пренебрегли слагаемыми Δω и k по сравнению с 2 и 2k. На рис.6.2.1 приведён график функции (x) в некоторый момент времени. Результирующее

колебание представляет собой волну практически с прежними значениями частоты и волнового числа, но с модулированной амплитудой. Мы можем добиться того, чтобы для нас стала неподвижной картина модуляции амплитуды. Для этого надо двигаться со скоростью

(2.1)

До сих пор мы рассматривали одномерный случай. На рис.6.2.2 представлена имитация сложения волн, распространяющихся в разных направлениях на плоскости. Из равноотстоящих точек под разными углами проведено по пять линий. Хорошо видно, как они образуют периодические

сгущения и разрежения по обоим направлениям.

Если сложить большое число волн, то получится более сложная картина биений с большей степенью локализации колебаний, но элементы периодической структуру будут многократно повторяться. Этот результат пока ещё отличается от наших представлений о частице, находящейся в определённой области пространства. Локализацию волнового пакета можно получить только при непрерывном распределении частот и волновых чисел. Тогда частоту можно представить как непрерывную функцию волнового вектора:

(2.2)  =  (k).

Зависимость (2.2) называется дисперсионным уравнением. Именно для такой функции вводится понятие групповой скорости как предела (2.1):

Групповая скорость есть скорость передачи любого сигнала, а также скорость переноса энергии, массы и аналогичных величин. Она никогда не превосходит скорости света в вакууме.

6.3 Сложение колебаний с непрерывной зависимостью (k)

При непрерывной зависимости (2.1) волновой пакет должен быть представлен не в виде суммы, а как интеграл от непрерывного распределения монохроматических колебаний:

причём

k  k₀.

Здесь для удобства дальнейших вычислений мы перешли к экспоненциальному представлению колебаний и добавили «нормировочный» множитель 1/(2 k). Амплитуда A, вообще говоря, может зависеть от волнового числа k, но мы для простоты будем полагать её постоянной и вынесем за знак интеграла.

Рассмотрим модуляцию колебаний в пакете волн с непрерывным распределением частот, ограничиваясь линейным разложением по малому параметру k = k – k₀:

где

Подставив (3.2–3) в (3.1) и выполняя интегрирование, получим:

Мы снова пришли к уравнению для плоской волны с частотой ₀ и волновым числом k₀, но с модулированной амплитудой. На этот раз модуляция осуществляется функцией

график которой приведён на рис.6.3.1. Нам важны следующие её свойства. Во–первых, функция f()

принимает наибольшее значение в центре волнового пакета:

f(0) = 1.

Далее, вместе с sin она имеет бесконечное число корней:

f() = 0 при  =   n n = 1, 2,

Наконец, в промежутках между нулями, в точках

 = /2   n n = 1, 2,…

модуль функции имеет локальные максимумы, высота которых падает обратно пропорционально . Модулированный пакет (3.4) изображён на рис.6.3.2: он практически полностью локализован в

первом максимуме. Чёрная кривая изображает колебания на основной частоте ₀. Им соответствует фазовая скорость

V_ф  ₀/k_{0 .}

(Напомним, что мы полагаем |k| и || малыми по сравнению с k и , соответственно). Красным цветом обозначена огибающая волнового пакета. Она перемещается в пространстве с групповой скоростью V_г0, определяемой формулой (3.3).

6.4 Локализация пакета и его длительность

Фиксируем момент времени t = 0. Тогда аргумент функции амплитудной модуляции равен

 = x k.

График функции на рис. 6.3.2 в данном случае представляет мгновенную фотографию волнового пакета. Повторим центральную часть рис. 6.3.1 с новыми обозначениями.

Размер пакета определяется шириной центрального максимума, где фаза  меняется на 2:

(4.1) k x  2.

Знак неравенства напоминает, что часть пакета, хотя и небольшая, всё же выходит за пределы центрального максимума.

Теперь оценим, сколько времени волновой пакет тратит на прохождение через заданную точку, например, через начало координат.

В этом случае

 = – V_г0 t k= – t.

Однозначную зависимость функции f() от времени отражает рис. 6.4.2.

Длительность волнового пакета, как и пространственная протяжённость, определяется изменением фазы на 2:

(4.2) t  2.

Неравенства (4.1) и (4.2) хорошо известны в теории колебаний и в радиотехнике. Например, так называемая почти монохроматическая волна (волновой пакет с очень узким интервалом волновых чисел) имеет большую протяжённость в пространстве. С другой стороны, для регистрации коротких (t → 0) импульсов необходим широкополосный приёмник.

Рассматриваемые неравенства отражают операции, необходимые для измерения длины волны  и частоты. Для определения λ необходимо фиксировать положения как минимум двух соседних «горбов». При этом точность определения  будет тем больше ( → 0 и k → 0), чем большее число максимумов будет зафиксировано (x → ). Аналогично, для определения частоты колебаний маятника  измерение нужно проводить, по крайней мере, в течение одного периода колебаний. Точность измерения частоты будет возрастать ( → 0) с увеличением числа измеренных периодов (t → ).

6.5 Частица как волновой пакет

Итак, мы можем представить материальную частицу как волновой пакет. Вычислим фазовую и групповую скорости такого пакета, для определённости задавшись параметрами электрона. Припишем частице частоту, соответствующую дебройлевской длине волны. В результате фазовая скорость получается равной

Воспользуемся формулами (1.2) четвёртой главы, выражающими импульс и энергию через скорость V, и продолжим цепочку равенств:

Последнее неравенство еще раз убеждает нас, что фазовая скорость не имеет прямого отношения к скорости частицы. Теперь определим групповую скорость частицы как волнового пакета:

Вычисление производной dE/dp можно выполнить следующим образом. Из формул (1.2) четвёртой главы вытекает полезное тождество, объединяющее скорость, импульс и энергию частицы:

(5.3) E = pc²/V.

Воспользуемся (5.3) и продолжим цепочку равенств (5.2):

Скорость перемещения огибающей волнового пакета есть скорость движения частицы.

6.6 Линейная и нелинейная дисперсионные зависимости

В случае линейной связи между частотой и волновым числом фазовая скорость равна групповой. Например, электромагнитные волны в вакууме, как известно, описываются линейным уравнением

w = kc.

Их него следует

V_ф = V_г = с.

Но при распространении в той или иной среде связь между частотой и волновым числом может оказаться нелинейной. Принято говорить, что такая среда обладает дисперсией. При нелинейной функции (k) групповая и фазовая скорости различаются. Например, распространение электромагнитной волны в плазме описывается дисперсионным уравнением

где ₀ — плазменная частота. Она определена формулой (1.2.1) в разделе 1.1.2 (Ленгмюровская частота) первой главы (Анализ размерностей). Дифференцируя (6.1) по волновому числу k, получаем:

Из последнего равенства вытекает связь между фазовой и групповой скоростями электромагнитной волны в плазме:

V_ф  V_г = с².

Сами скорости в единицах скорости света равны

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций