Глава 06. Волновой пакет (1121326), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Таким образом, фазовая скорость получилась больше скорости света, а групповая скорость — меньше c, в полном соответствии с её смыслом как скорости передачи сигнала.
6.7. Расплывание волнового пакета
Поскольку волновой пакет состоит из волн с различающимися фазовыми скоростями, то эти волны с течением времени должны расходиться, а волновой пакет — расплываться. Время расплывания пакета можно оценить, удержав в разложении (3.2) слагаемое со второй производной d2 /dk2:
Теперь показатель экспоненты в формуле (3.1) равен
где
К
вадратичная добавка даёт дополнительный набег фазы. Сказанное иллюстрирует рис. 6.7.1.Будем полагать, что произошло заметное расплывание, если за промежуток времени приращение фазы стало порядка . Отсюда следует оценка масштаба времени расплывания:
Здесь мы воспользовались соотношением (4.1), которое связывает протяжённость волнового пакета с разбросом волновых чисел. Квадратичное слагаемое равно нулю при линейной зависимости частоты от волнового вектора. В этом случае эффект расплывания волнового пакета не имеет места, как, например у фотона в вакууме.
Рассмотрим теперь нерелятивистску частицу с массой M. Вторую производную частоты по волновому вектору оценим следующим образом:
Следовательно, время расплывания волнового пакета по порядку величины составляет
В классическом пределе ( → 0) эффект расплывания отсутствует.
Примеры
Пусть макроскопическое тело имеет массу M = 1г и размер x ~ 1 м (дробинка). Тогда из (7.1) получаем ~ 1018 лет. Это значительно превышает возраст Вселенной. Таким образом, объекты макромира не успевают расплыться за время своего существования.
Перейдём к объектам микромира. Формула (7.1) упрощается в случае электрона. Если M=me, то
e ~ ( x)2
при условии, что расстояние измеряется в сантиметрах, а время — в секундах. Проверим, может ли электрон удержаться внутри области, размер которой равен его классическому радиусу re. В этом случае
e ~ re2 ~ ~ 10–26 с.
Электрон практически мгновенно «уплывет» в другое место. Классический радиус электрона численно близок к размерам ядра. Следовательно, мы показали также, что электрона в ядре быть не может.
Атомный электрон локализован внутри области x ~ a0 ~ 10–8 см, откуда время расплывания 10–16 с оказывается сравнимым с периодом обращения электрона на орбите вокруг ядра.
Мы рассмотрели два примера поведения микрочастицы на микроскопических расстояниях. Теперь обсудим движение электрона в масштабах домашнего телевизора и околоземной орбиты.
Электрон в кинескопе телевизора, пройдя разность потенциалов ~ 20 кэВ, разгоняется до скорости ~ 1010 см/с. Пусть чёткость изображения удовлетворительна при его локализации на экране с точностью до x ~ 0.1 мм. Если размер пакета принять равным этой величине, то время расплывания получается равным 10–4 с. За это время электрон пролетит 10 км — расстояние, значительно превышающее размер телевизора. Итак, в трубке кинескопа не происходит расплывания электрона как волнового пакета.
Космофизичекий эксперимент. В советско–французском эксперименте под кодовым названием «Аракс» с острова Кергелен в Южном полушарии вблизи северного магнитного полюса запускалась в атмосферу ракета с электронной пушкой, которая инжектировала в атмосферу пучок электронов с энергией примерно 10 кэВ. Электроны летели вдоль силовых линий магнитного поля Земли и были зарегистрированы в районе Архангельска. Длина пути была около 109 см. При скорости 1010 см/с такое расстояние электрон проходит примерно за десятую долю секунды. Отсюда следует величина расплывания пакета порядка нескольких миллиметров — в 109 раз меньше длины пути электрона. Таким образом, в случае микроскопической частицы, двигающейся в макроскопических масштабах, расплывания волнового пакета не происходит.
Итак, расплывание волнового пакета может оказаться существенным только при движении микроскопической частицы в микроскопических масштабах, то есть там, где законы классической механики уже неприменимы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
