Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 15. Теория Бора–Зоммерфельда

Теория Бора, изложенная в предыдущей главе, отождествляет дискретное состояние атома с энергетическим уровнем. В действительности атом, как всякая квантовая система, может находиться в различных состояниях с одним и тем же значением энергии. С такой ситуацией, называемой вырождением, мы уже познакомились в девятой главе, рассматривая одномерное движение свободной частицы. Вырождение заключалось в том, что частица может двигаться с одной и той же скоростью в двух противоположных направлениях. Правда, там же показано отсутствие вырождения в случае ограниченного одномерного движения. Действительно, в задачах о движении частицы в потенциальной яме и её отражения от потенциального барьера вырождение не имело место. Но вращение электрона вокруг ядра не является одномерным, и это в корне меняет ситуацию: состояния атома могут быть вырождены, несмотря на то, что движение связанного электрона в нём ограничено.

Напомним некоторые определения: число разных состояний, принадлежащих одному уровню энергии, называется степенью вырождения, или статистическим весом, а также просто весом уровня. Таким образом, необходимо различать квантовые состояния и энергетические уровни атомов. В модели круговых орбит вырождение отсутствует, так как, согласно (13.3.7), момент вращения электрона однозначно выражается через его энергию.

Интерпретация вырождения в рамках модели Бора была предложена Зоммерфельдом: он ввёл представление о плоских эллиптических орбитах и о пространственном квантовании. В классической механике большая полуось эллипса однозначно связана с энергией движения, в то время как его форма определяется также и моментом вращения. Следовательно, одной и той же энергии при движении по эллипсу могут отвечать разные значения момента. В квантовой теории это свойство классического движения проявляется как вырождение. Перейдём к количественному изложению теории Бора–Зоммерфельда

15.1. Эллиптические орбиты

Известно, что механическая система с k степенями свободы описывается с помощью k обобщённых координат и соответствующих им обобщённых моментов

.

Правила квантования Бора–Зоммерфельда гласят: реализуются только те состояния системы, которые удовлетворяют условиям стационарности, при которых сохраняются адиабатические инварианты:

В случае круговой орбиты мы получаем прежнее условие (13.1.1). В самом деле, при заданном радиусе движение по окружности есть движение с одной степенью свободы. В качестве единственной обобщённой координаты может быть взят азимут , изменяющийся в пределах от нуля до 2. Кинетическую энергию выражаем через скорость изменения угла:

.

Обобщённый импульс

представляет собой орбитальный момент M. При равномерном вращении по окружности он сохраняет постоянное значение, отличное от нуля. Условия (1.1) сводятся к

.

Отсюда следует (13.1.1). Обратим внимание на применение двух обозначений для одной и той же величины — квантового числа момента вращения. В главе 12, где исследуются квантовые свойства орбитального момента, мы пользовались буквой l. Но в классической механике момент имеет иные свойства. Поэтому мы приняли разные обозначения для двух аспектов момента:

Перейдём к задаче об эллиптических орбитах. Поместим ядро с зарядом Ze в одном из фокусов эллипса. На рис.15.1.1 правый фокус находится в точке F. В качестве обобщённых координат примем расстояние до центра r и азимутальный угол . Из аналитической геометрии известно

уравнение эллипса с большой полуосью a и эксцентриситетом :

.

Эксцентриситет равен расстоянию OF от фокуса F до центра эллипса O, делённому на размер большой полуоси. Перепишем формулу для кинетической энергии с учётом изменения r:

.

Легко убедиться, что уравнение для обобщённого импульса p_ снова сводится к уравнению (13.1.1). Перепишем его, заменив n на n_:

.

Напомним, что при движении в центрально–симметричном поле сохраняется орбитальный момент вращения. Поэтому величина M в левой части (1.7) остаётся постоянной, как и в случае вращения по окружности.

Вычислим обобщённый момент p_r, соответствующий радиальной координате:

,

и запишем второе условие стационарности:

.

Целые положительные числа n_ и n_r называются, соответственно, азимутальным и радиальным квантовыми числами. Из (1.9) выводится правило квантования эксцентриситета:

,

где введено обозначение

.

Величина n, равная сумме азимутального и радиального чисел, называется главным квантовым числом.

Выведем формулу (1.10). Для этого в левой части (1.9) выполним замену переменной:

.

В записи

мы воспользовались зависимостью (1.5) модуля радиус–вектора от азимутального угла. Отметим, что эта зависимость не является взаимно–однозначной: в силу симметрии эллипса справедливо равенство

,

то есть, двум значениям угла φ отвечает одно и то же расстояние r. Во время движения электрона по эллипсу приращение в точке 2π – φ имеет другой знак, чем в точке φ:

при тех же самых изменениях dt и d. Вместе с dr становятся отрицательными обе производные: и . Следовательно, подынтегральная функция в правой части (1.12) сохраняет своё значение при зеркальном отражении . Это оправдывает сделанную нами замену

интеграла по полному промежутку его удвоенным значением в промежутке . В верхней полуплоскости функция становится взаимно–однозначной, что облегчает дальнейшие выкладки.

Скорость изменения r выразим через производную dφ/dt:

,

которая, согласно (1.4), равна M/(mr²). В результате вычисление второго адиабатического инварианта сводится к интегрированию по углу:

.

Производную вычисляем по формуле (1.5) и приходим к окончательному выражению для левой части (1.9):

,

где

.

Упростим подынтегральную функцию. Сначала понизим степень знаменателя  путём интегрирования по частям,

,

положив

.

В результате удаётся понизить степень знаменателя:

.

Последний интеграл в скобках вычисляется подстановкой . Он равен

,

откуда следует

.

Подставляя в (1.13) полученное выражение для , убеждаемся, что из (1.9) действительно получается (1.10).

Ещё одно алгебраическое уравнение вытекает из условия постоянства полной энергии E. Чтобы вычислить кинетическую энергию, в (1.6) заменим на , а выразим через момент вращения M:

.

В формулу для потенциальной энергии (13.3.3) подставим r из уравнения эллипса (1.5):

.

Сложив (1.15) и (1.16), получим выражение для E:

.

Конечно, полная энергия имеет постоянное значение, не зависящее от времени, а, следовательно, и от угла . Поэтому множитель в квадратных скобках перед должен равняться нулю. Отсюда получается связь между эксцентриситетом, большой полуосью эллипса и моментом орбитального вращения электрона:

.

Подставив (1.18) в (1.17), получим окончательное выражение для E:

.

Таким образом, полная энергия, как и в случае классического движения, зависит только от большой полуоси.

Правило квантования для большой полуоси

вытекает из (13.1.1), (1.10) и (1.18). Сопоставляя (1.20) с (13.5.1), видим, что большие полуоси эллипсов совпадают с радиусами соответствующих круговых орбит, а вместо единственного при круговом движении квантового числа n стоит сумма азимутального и радиального квантовых чисел — главное квантовое число. Малая полуось b зависит от обоих квантовых чисел в отдельности. В самом деле, принимая во внимание, что

,

и подставляя вместо разности её значение из (1.10), находим:

.

Выражение для энергии стационарных орбит получаем, подставив в (1.19) вместо a его значение из (1.20):

то есть, ту же самую формулу (13.5.2), что и для энергии стационарных круговых орбит. Но вместо числа, связанного с орбитальным моментом, стоит главное квантовое число. Подчеркнём, что их смысл различается коренным образом, несмотря на то, что они обозначаются одной и той же буквой n. Основное различие заключается в том, что главное квантовое число в теории Бора–Зоммерфельда не связано однозначно с моментом вращения: формула (13.3.7) для него лишена смысла.

Эллиптические орбиты не меняют значений энергии стационарных состояний. Вместе с тем остаются в силе и все полученные из анализа круговых орбит выводы, касающиеся спектра водорода и сходных с ним ионов. Только каждому возможному значению энергии E соответствует не одна, а несколько орбит, различающихся эксцентриситетом. В случае круговых орбит энергия и момент определяются одним и тем же квантовым числом. При движении по эллипсу момент зависит от , а энергия — от n, и между ними нет однозначной связи. Таким образом, представление об эллиптических орбитах позволяет объяснить явление вырождения энергетических уровней в атоме.

Нулевому значению азимутального квантового числа соответствует прямая линия, проходящая через ядро. В классической механике движение по такой траектории невозможно, поэтому мы приходим к выводу, что n_ принимает только положительные значения. Отсюда в силу (1.11) приходим к выводу, что при фиксированной величине квантового числа n азимутальное и радиальное квантовые числа могут принимать следующие ряды значений:

Сравнение (1.23) с формулой (12.1) из двенадцатой главы показывает различие между величинами n_ и l, по–разному описывающими одно и то же физическое явление. В квантовой теории, в отличие от классической механики, момент электрона на орбите может быть равен нулю. В силу соотношения неопределённостей Гайзенберга никакого падения электрона на ядро при этом не происходит.

Итак, при заданной энергии E возможны n орбит разной формы. Чисто круговое движение имеет место, если n_ принимает максимально возможное значение, равное n, а наиболее вытянутый эллипс получается при n_ = 1. На рис.15.1.2 представлены три орбиты, соответствующие n=3. Цифрами указаны значения азимутального квантового числа n_.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций