Глава 15. Теория Бора–Зоммерфельда (1121335), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Численные значения параметров собраны в таблице. Цвет строки таблицы соответствует цвету кривой на рисунке.

Итак, энергия атома водорода в рассматриваемом приближении не зависит от орбитального момента. Полученный результат не распространяется на все остальные атомы, но справедлив только при движении в чисто кулоновском поле. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в литературе принято говорить о кулоновском, или случайном вырождении. Особая роль кулоновского поля, как мы убедимся в следующей главе, проявляется и в квантовой механике, где энергия атома также не зависит от момента. Кулоновское вырождение (в нерелятивистском приближении) выделяет атом водорода и водородоподобные ионы среди всех других атомных систем. С физической точки зрения это объясняется более высокой симметрией движения в поле, где потенциал падает обратно пропорционально расстоянию от центра, по сравнению с общим случаем центрально–симметричного поля.

Кулоновское вырождение снимается несколькими процессами. Один из них — рассмотренная в главе 13 зависимость массы электрона от скорости в многозарядных ионах. В

классической задаче Кеплера она приводит к возникновению прецессии: электрон начинает двигаться по незамкнутой траектории, имеющей вид розетки, как на рис.15.1.3. Такая траектория возникает при медленном вращении эллипса вокруг фокуса с постоянной угловой скоростью.

Но существует вырождение, которое имеет место у всех атомов, — вырождение по проекции момента на произвольную ось. В самом деле, если атом не помещён во внешнее поле, то его энергия не должна зависеть от ориентации в пространстве и, следовательно, от проекции любого вектора, в том числе, вектора орбитального момента. В полуклассической теории Зоммерфельда вырождение по проекции момента объясняется в рамках модели пространственного квантования.

15.2.Пространственное квантование

Под влиянием внешнего поля — магнитного или электрического, — орбита электрона перестаёт быть плоской. Движение электрона становится трёхмерным и стационарные орбиты должны удовлетворять уже не двум, а трём квантовым условиям. Для удобства сопоставления с формулами первой главы, описывающими магнитные свойства атомов, в этом разделе считаем ядро бесконечно тяжёлым и, таким образом, не делаем различия между массой электрона m_e и приведённой массой m.

Рассмотрим случай, когда внешнее поле можно считать малым по сравнению с полем ядра, а следовательно, невелико и изменение орбиты. Тогда орбита представляет собой прежний эллипс, а положение плоскости эллипса в пространстве определяется величиной и направлением внешнего поля. На рис. 15.2.1 введём сферические координаты r, , .

Пусть ON — направление внешнего поля; OM — нормаль к электронной орбите AB, составляющая угол  с прямой ON. Кроме того, введём азимут , отсчитанный в плоскости орбиты. Полагая возмущение слабым, согласно сделанному предположению, будем считать справедливым правило квантования момента (1.7), выведенное нами для плоской орбиты. С другой стороны, в сферических координатах должны выполняться квантовые условия:

Здесь — момент, соответствующий азимуту , отсчитанному в экваториальной плоскости. Из рисунка ясно, что есть проекция вектора орбитального момента M на направление внешнего поля ON:

.

Как и момент, его проекция сохраняется во время движения, поэтому последнее из правил квантования (2.1) даёт:

.

Сравнивая (1.7), (2.2) и (2.3), находим:

.

Угол  и проекция момента выражаются через следующим образом:

Так как |cos|<1, то при заданном может принимать следующий ряд значений:

Таким образом, момент вращения может располагаться ровно различными способами по отношению к некоторому выделенному направлению, например, к вектору индукции магнитного поля. При отсутствии внешнего поля состояние с известной величиной момента является вырожденным с весом . Полученный результат не зависит от формы потенциала и, в отличие от кулоновского вырождения, имеет место у каждого изолированного атома.

Сравним формулу (2.5), полученную полуклассическим путём, с результатом (12.3.5b) квантовой теории. Легко убедиться, что первая получается из второй простой заменой на l и на магнитное квантовое число m. В этом пункте результаты классического и квантового подходов почти совпадают. Различие заключается в следующем: классическая теория описывает малые возмущения плоской орбиты, а в квантовой механике связь (13.3.5) орбитального момента с его проекцией справедлива всегда.

15.3. Эффект Зеемана.

Снятие вырождения по проекции момента приводит к эффекту Зеемана — расщеплению спектральных линий во внешнем магнитном поле. Из (1.3.3), (2.4) и (2.7) следует правило квантования потенциальной энергии при взаимодействии атома с магнитным полем:

.

Изложим классический аспект эффекта Зеемана. Для этого сначала покажем, что внешнее магнитное поле вызывает ларморовскую прецессию — вращение электронной орбиты вокруг направления поля с постоянной угловой скоростью

.

Наглядное представление о прецессии орбиты даёт рис.15.3.1.

На электрон, движущийся в магнитном поле со скоростью v, действует сила Лоренца

.

Будем считать, что величина Ω_H значительно меньше частоты обращения электрона на орбите. Перейдём в систему координат, вращающуюся вокруг H с угловой скоростью Ω_H. В неинерциальной системе на электрон действуют центробежная сила и сила Кориолиса

.

Подставив сюда (3.2), получим

,

то есть сила Кориолиса уравновешивает силу Лоренца. Сделанное выше предположение о малости Ω_H позволяет пренебречь центробежной силой, пропорциональной квадрату малой величины. Итак, во вращающейся системе координат орбита электрона останется прежним эллипсом, а относительно неподвижной — эллипсом, прецессирующим с частотой Ω_H.

Разделив энергию взаимодействия (3.1) на постоянную Планка, приходим к выводу, что спектральная линия в магнитном поле расщепляется на несколько компонент. Смещение частот между компонентами  равно целому числу _H. Для величина равна

.

Смещение линий в оптическом диапазоне принято выражать в шкале длин волн. Из формулы (3.3) с учётом следует:

.

Величина  в условиях звёздных атмосфер и межзвёздной среды значительно меньше длины волны. Например, в среднем по солнечной фотосфере можно принять оценку H=1000 Гс. Для линий с длиной волны около 5000Å расщепление составит 0.01Å.

Количество наблюдаемых компонент определяется весом нижнего и верхнего уровней перехода, а также правилом отбора. Самыми яркими являются переходы, удовлетворяющие правилам отбора для дипольного излучения. Сведения о них приведены в табл.15.3.1:

Таблица 15.3.1. Правила отбора для магнитного квантового числа.

Такие переходы называются «разрешёнными». Интенсивность компонент с другими комбинациями магнитных чисел значительно ниже — на несколько порядков величины. На рис.(15.3.2) приведён случай, когда азимутальное квантовое число нижнего уровня равно двум, а верхнего — трём. При наблюдении в направлении, перпендикулярном к магнитному полю

(случай а), круговые колебания проектируются в виде линейных, так что спектральная линия расщепляется на три линейно поляризованных составляющих — среднюю, с электрическим вектором волны вдоль поля, и крайние, с колебаниями поперёк поля. При наблюдении вдоль поля ( случай б) средняя составляющая пропадает, а две оставшиеся поляризованы по кругу: смещённая в красную сторону спектра — против часовой стрелки и смещённая в фиолетовую — по часовой стрелке.

Характер поляризации компонент в классической механике объясняется в модели пространственного осциллятора — механической системы, совершающей гармонические колебания по трём координатам: x, y и z. Для определённости будем иметь в виду электрон в поле упругих сил. Вектор r отклонения частицы от положения равновесия удовлетворяет дифференциальным уравнениям:

,

где ₀ — собственная частота осциллятора. Поместим осциллятор во внешнее магнитное поле, которое мы будем полагать однородным и постоянным. Ось z направим вдоль поля. Уравнения вынужденных колебаний осциллятора имеют вид:

Здесь мы ввели циклотронную частоту _H, равную

.

Первые два уравнения (3.5) не содержат z, а в третьем отсутствуют x и y. Отсюда следует, что колебания вдоль поля остаются неизменными. Рассмотрим движение в плоскости xy. Введём комплексную переменную

.

Умножая второе уравнение на мнимую единицу, и складывая его с первым, получаем

Характеристики

Список файлов лекций