Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 9. Стационарное уравнение Шредингера

Особое место занимают задачи, в которых потенциальная энергия зависит только координат:

Такие состояния называются стационарными, так как в них сохраняется энергия системы E. Отсутствие явной зависимости гамильтониана от времени позволяет выполнить разделение переменных. Волновую функцию ищем в виде произведения

Множитель f(t) отражает волновую природу частиц в квантовой теории. Мы в этом убедимся, когда выведем для него явное выражение. Подставим (1) в уравнение Шредингера (восьмая глава, (1.8)):

и разделим обе части равенства на произведение :

Левая часть зависит лишь от времени, а правая — только от пространственных координат. Следовательно, они обе равны одной и той же константе:

Легко убедиться, что константа имеет размерность энергии. Таким образом, имеем два уравнения

причём второе показывает, что константа разделения E действительно равна энергии системы. Зависимость волновой функции от времени получаем из (2a):

Итак, временнóй множитель стационарного состояния является осциллирующей функцией. Энергии E соответствует частота . Следовательно, формула (3) в той же мере описывает состояние с энергией E, как — колебания на частоте .

Пространственная часть волновой функции удовлетворяет уравнению (2b), которое с учётом выражения (1.7) восьмой главы для оператора Гамильтона можно переписать как:

Мы получили стационарное уравнение Шредингера. Полная волновая функция имеет вид

Плотность вероятности в стационарном случае не зависит от времени. В самом деле, квадрат модуля временнóго множителя (3) равен единице:

Следовательно, вероятность W найти частицу в той или иной точке пространства (формула (2.1) восьмой главы) определяется исключительно координатной частью волновой функции:

Формула (5) окончательно проясняет смысл функции f(t). Последняя описывает волновые свойства стационарного состояния, но никак не влияет на местоположение частицы.

В одномерном случае (4) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка

Штрихом для краткости обозначен оператор дифференцирования по единственной пространственной координате x:

В дальнейшем мы рассмотрим несколько задач для простейших одномерных потенциалов.

9.1 Свободная частица

Решим уравнение (6) предполагая отсутствие внешних полей, то есть, когда потенциал U равен нулю:

Введя обозначение

получаем уравнение гармонической функции

Его два линейно независимых решения равны:

Введя частоту

перепишем временнýю часть волновой функции в виде

Полная волновая функция равна

Таким образом, решением уравнения (1.1) являются две плоские волны, распространяющиеся в противоположные стороны. Мы снова вернулись к связи между свободной частицей и монохроматической волной.

Формула (1.5) иллюстрирует важное свойство микромира. А именно, одному значению энергии может соответствовать несколько различных квантовых состояний. Такие уровни энергии принято называть вырожденными, а число квантовых состояний — степенью вырождения, или статистическим весом. В данном случае статистический вес равен двум, соответственно числу возможных направлений движения волны. Явление вырождения является типичным для квантовой механики.

В случае одномерного движения вырождение определяется именно возможностью частице свободно двигаться в обоих направлениях. Покажем, что если её движение ограничено хотя бы с одной стороны, то вырождение исчезает.

9.2. Одномерное движение, ограниченное с одной стороны.

Поставим вопрос, насколько могут различаться волновые функции ₁ и ₂, являющиеся решением уравнения (6), если они описывают состояния, принадлежащие одному и тому же уровню энергии E. Предполагается, что частица может двигаться неограниченно только в одном из двух направлений по оси x. Покажем, что обе функции описывают одно и то же квантовое состояние. Поскольку они удовлетворяют уравнению (6), мы можем записать

или

В последнем равенстве прибавим и вычтем произведение . После этого становится ясно, что оно является производной следующего уравнения:

Теперь воспользуемся условием ограниченности движения в одном из направлений. В направлении, куда частица двигаться не имеет права, обе волновые функции обращаются в нуль. Следовательно, константа в правой части (2.1) равна нулю, так что

После повторного интегрирования получим

Согласно пункту «Принцип суперпозиции» раздела 2.1 восьмой главы, волновые функции, различающиеся лишь постоянным множителем, описывают одно и то же состояние.

Итак, вырождение отсутствует, если движение частицы вдоль прямой ограничено хотя бы с одной стороны.

9.3 Частица в потенциальном ящике

Рассмотрим задачу о прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. На рис.9.3.1 ей соответствует потенциал следующего вида: В промежутке 0 < x < L он равен

нулю и частица там движется свободно, а за пределами этого интервала (x < 0 и x > L) потенциал равен бесконечности. В области 0 ≤ x ≤ L уравнение Шредингера сводится к (1.1). В задаче о свободной частице мы получили осциллирующие решения, которые записали в виде экспоненты с мнимыми показателями ±ikx. Сейчас нам удобнее перейти к эквивалентному представлению, содержащему синус и косинус:

Константы A, B и k найдём из граничных условий и нормировки волновой функции. На стенках волновая функция обращается в нуль, так как в силу бесконечности потенциала частица не может выйти за пределы интервала 0 ≤ x ≤ L. Первое граничное условие даёт

что позволяет уточнить (3.1):

Второе условие

накладывает ограничения на величину волнового числа частицы. В самом деле, из уравнения

вытекает

Значение n = 0 не имеет смысла, так как в этом случае волновая функция повсюду равна нулю, что означает отсутствие частицы в ящике. Таким образом, мы получили решение

Константу A найдём из условия нормировки (формула (2.7) восьмой главы):

для любого n. Итак, нормированная волновая функция n–го состояния равна

Собственному вектору задачи (2.3), согласно (2.2), соответствует собственное значение энергии

Здесь введено обозначение для элементарного кванта энергии:

Мы получили дискретный энергетический спектр, иными словами — квантование энергии. Состояние, в котором частица имеет самое низкое из всех возможных значение энергии, принято называть основным. В рассматриваемой задаче основное состояние отвечает значению n = 1. Остальные уровни энергии называют возбуждёнными.

Обратим внимание на то, что в потенциальном ящике энергия не может принимать нулевого значения:

Объяснение этому факту даёт соотношение неопределенностей Гейзенберга. Если мы локализуем частицу на отрезке длиной L:

то она получает импульс

а, следовательно, её минимальная энергия составит

что с точностью до численного множителя совпадает с величиной . Таким образом, частица микроскопической массы не может находиться в состоянии покоя, если она заключена внутри ограниченной области.

Формулы (3.3) и (3.4) показывают, что волновая функция однозначно определяется значением энергии. Таким образом, в данном случае вырождение не имеет места, в согласии с общим результатом, полученным в предыдущем разделе.

На рис.9.3.2 изображены волновая функция (x) (слева) и вероятность W(x) (справа) для трёх первых значений n = 1, 2, 3. По горизонтальной оси отложено отношение x/L.Чёрным цветом обозначено основное состояние, синим — n = 2 и зелёным — n = 3. Прямые линии параллельные оси x (1, 4 и 9) отмечают значение энергии. В тех точках, где волновая функция обращается в нуль, частица никогда не будет обнаружена. Это противоречит представлениям классической механики. Нулям функции W(x) соответствуют узлы стоячих волн в теории колебаний.

Подсчитаем число узлов волновой функции. Функция, описывающая основное состояние частицы, обращается в нуль только на концах интервала, а внутри него она узлов не имеет. В первом возбуждённом состоянии волновая функция имеет ровно один корень внутри отрезка (0, L), во втором — два и так далее. Здесь проявляются общие закономерности одномерного движения. В математике известна так называемая осцилляционная теорема, справедливая для дискретного спектра энергии. Она связывает друг с другом номер волновой функции и число узлов. Перенумеруем собственные значения оператора с помощью числа n, принимающего следующий ряд значений:

N

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций