Глава 09. Стационарное уравнение Шредингера (1121329), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

А именно, функция ψ_n(x), соответствующая n+1–му по величине собственному значению E_n, при конечных значениях аргумента обращается в нуль ровно n раз. Если, как в рассматриваемой задаче, частица может находиться только на ограниченном отрезке оси x, то речь идёт о нулях функции ψ_n(x) внутри этого отрезка. Волновая функция основного состояния узлов не имеет.

Плотность вероятности, соответствующая очень большим значениям n, быстро осциллирует (рис.9.3.3). В случае прибора с конечной разрешающей способностью в его апертуру попадает много пиков, и мы таких осцилляций не обнаружим. Так квантовая механика переходит в классическую.

Длина волны де Бройля

в классическом пределе значительно меньше размеров системы L. Это случай геометрической оптики (классической механики), когда волновыми свойствами частицы можно пренебречь. Квантование энергии при этом тоже становится незаметным. Разность энергий между уровнями с номерами n и Δn при больших значениях n может быть вычислена с помощью производной функции (3.4) по n:

При увеличении квантового числа n энергетическая щель между двумя соседними уровнями (Δ n = 1) растёт медленнее, чем энергия уровней:

Таким образом, сильно возбуждённые состояния в классическом пределе ( ) практически сливаются друг с другом и образуют спектр, близкий к непрерывному.

Некоторые примеры

1. Макроскопическая частица в макроскопических масштабах: m = 1г, L = 1см. Для неё

эрг ~ 10^-42 эВ.

Такую величину измерить невозможно. Оценим величину квантового числа при скорости движения v = 1 см/сек. Кинетическая энергия ~ mv2 составляет около 1 эрг.

По формуле (3.4) оценим номер уровня:

Энергетическая щель между соседними уровнями, согласно (3.6), составляет около 10^–27 эрг.

Эта величина слишком мала, чтобы её можно было обнаружить. Таким образом, макроскопическая частица находится на очень высоком квантовом уровне, а расстояние между соседними уровнями настолько мало, что квантовых свойств мы наблюдать не будем. Поэтому энергетический спектр является практически непрерывным, в соответствии с (3.7).

1. Электрон в макроскопических масштабах длин: m ~ 10–27 г, L ~ 1 см. Здесь

₀ ~ 10^–15 эВ.

Это также ненаблюдаемая величина.

1. Электрон в атоме: L ~ 10–8 см. В этом случае квант энергии

0 ~ 10 эВ

оказывается сравнимым с энергией основного состояния атома (формула (2.2.1) раздела 1.2.2 первой главы).

Приведённые примеры позволяют сделать следующие выводы. Дискретность энергетического спектра заметна только для микроскопических частиц в микроскопических масштабах. Энергия макроскопических частиц на любых масштабах, а также микрочастиц в макроскопических масштабах имеет спектр, практически неотличимый от непрерывного.

9.4 Высокий потенциальный порог

Согласно классической механике, частица, налетая на потенциальный порог, проскакивает его, если её энергия достаточно велика. В противном случае она отражается от

барьера. В квантовой механике ситуация сложнее. Рассмотрим потенциал, изображённый на рис.9.4.1. График потенциальной энергии изображён синей линией. Она обращается в нуль в области отрицательных значений аргумента и равна постоянной величине U0 для :

В точке потенциальная энергия терпит разрыв. Энергия налетающей частицы E помечена зелёным цветом. В этом разделе мы будем считать, что энергия частицы меньше потенциального барьера:

В классической механике такое неравенство означает отражение частицы. Переходим к решению уравнения Шредингера. Для отрицательных значений аргумента оно записывается как

а в области имеет вид

Решение этих уравнений должно удовлетворять следующим условиям:

Условие (4.5a) ограниченности волновой функции вытекает из того, что вероятность ||² обнаружить частицу в той или иной точке пространства должна быть конечной величиной. Требование непрерывности волновой функции (4.5b) отражает отсутствие процессов рождения и аннигиляции частиц. Непрерывность первой производной является следствием ограниченности потенциала. Для вывода (4.5c) уединим вторую производную в левой части уравнения Шредингера (6):

.

Если все величины в правой части ограничены:

,

то из (4.6) следует ограниченность второй производной волновой функции. Отсюда, в свою очередь, вытекает непрерывность . В предыдущем разделе потенциал на краях интервала обращался в бесконечность (рис. 9.3.1). Именно там первая производная терпит разрывы, приводящие к изломам волновой функции в точках 0 и L.

Приступим к решению задачи. Введём волновые числа

с которыми уравнения (4.3) и (4.4) преобразуются в

Первое уравнение имеет осциллирующие решения, аналогичные (3.1). Но сейчас нам удобнее перейти к их экспоненциальному представлению с мнимой единицей:

.

Решение второго уравнения — линейная комбинация убывающей и растущей экспонент:

.

Граничные условия (4.5) дают три уравнения:

С их помощью константы A и B могут быть выражены через C:

Мы ввели обозначения

Таким образом, в области x < 0, где движение разрешено и в классической механике, мы получаем осциллирующее решение

Оно представляет сложение двух волн равной амплитуды. Первое слагаемое описывает падающую волну, второе — отражённую, их сумма — стоячую волну.

Перейдём к области x > 0, запрещённой для движения классической частицы. Константу C удобно выразить через параметры a и :

Решением здесь является экспоненциально затухающая функция

.

На расстоянии она убывает в e раз. Соответственно, вероятность обнаружить частицу на расстоянии x0 от порога равна . Формула (4.9) показывает, что квантовая частица может проникать сквозь потенциальный барьер даже в том случае, когда её энергия E меньше его высоты U0. В пределе классической физики величина x0 стремится к нулю вместе с постоянной Планка.

Чем больше энергия E частицы, тем дальше проникает она в классически запрещённую область движения. Если мы будем увеличивать энергию E, приближая её к U0, то величина x0 неограниченно растёт. Это соответствует классическим представлениям о том, что частица с энергией должна беспрепятственно проходить потенциальный барьер.

Попробуем обнаружить частицу в окрестности точки x0, например, подсветив её фотоном. Частица будет локализована в пространстве с точностью

.

Согласно принципу неопределённостей Гайзенберга, мы сообщим ей импульс

,

то есть, частица приобретает дополнительную энергию

Величина энергии, полученной частицей, позволяет последней преодолеть потенциальный барьер. Таким образом, подсветив частицу, мы можем обнаружить её в области, недоступной для классического движения; но её энергия будет превышать пороговую.

Характеристики

Список файлов лекций