Глава 02. Излучение абсолютно черного тела (1121322), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Поскольку в нашем случае n принимает только два значения: 0 и 2, то подынтегральная функция в (3.2) — четная и выражение для интегралов I_0,2 могут быть записаны в виде

С помощью последней формулы перепишется выражение для энергии:

Для вычисления интегралов I_n воспользуемся определением гамма–функции

из которого следует

Тогда интегралы I_n запишутся в виде

Теперь можно выписать интересующее нас выражение для средней

энергии одномерного осциллятора

.

Мы получили известный результат: в состоянии термодинамического равновесия на каждую степень свободы приходится энергия T/2, а в сумме на один осциллятор — энергия T.

Вернемся к формуле (2.1). Подставляя в неё величину средней энергии из (3.3), получим

.

Итак, закон Рэлея–Джинса получается на основании классических рассуждений.

2.4 Квантовый осциллятор

Как отмечалось выше, формулу Вина нельзя получить на основании классических представлений. Планку удалось воспроизвести спектр излучения чёрного тела во всём диапазоне частот после того, как он высказал предположение о дискретности энергетического спектра осцилляторов. Гипотеза Планка входила в явное противоречие с представлениями классической физики. Согласно Планку, испускание и поглощение излучения происходит порциями энергии (квантами)

(4.1) ε₀=ħω,

где ω — частота осциллятора. Сам осциллятор находится в дискретных энергетических состояниях

(4.2) E = E_n = n ε₀ = n ħ ω,

пронумерованных целым неотрицательным числом

(4.3) n = 0, 1, 2, …

Таким образом, энергетические уровни осциллятора образуют, как говорят, эквидистантный спектр: разность энергии любых двух соседних уровней одна и та же — ħω. Спектр энергии в таком случае представляет собой дискретный набор уровней. Осциллятор может находится в каждом из этих состояний, а при переходах между соседними состояниями излучается или поглощается энергия ħω.

Согласно гипотезе Планка, чтобы найти среднюю энергию одномерного осциллятора, нужно интегралы в (3.1) заменить суммами:

.

Введя обозначение

,

перепишем выражение для <E> в виде:

.

Делитель

(4.5) B = 1 + e^–x + e^–2x + e^–3x + …+e ^–nx + …

представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем e^–x:

.

Если продифференцировать ряд (4.5) по x, то получим

,

откуда следует выражение для A:

.

Теперь легко убедиться, что искомое отношение A/B равно

.

Итак, средняя энергия кванта определяется температурой излучения T и элементарной порцией энергии ħω:

.

Полезно выделить так называемые числа заполнения

,

которые представляют собой число фотонов, приходящихся на одну моду колебаний. Тогда

Подставляя (4.6) и (2.8) в (2.1), получим полное выражение для плотности энергии с учётом квантовых эффектов:

.

Это есть окончательное выражение для формулы Планка, дающей спектр излучения абсолютно чёрного тела во всём диапазоне частот. Спектральное распределение числа фотонов легко получается из плотности энергии:

Ниже будут приведены формулы для интенсивности излучения и потока от границы чёрного тела.

2.5 Примеры

В каких условиях можно ожидать проявления квантовых свойств осцилляторов? В общем случае — когда малы числа заполнения. Рассмотрим следующие примеры.

1) Макроскопический случай. Частота колебаний механических приборов — пружин, маятников — по порядку величины близка к обратной секунде: ω ~ 1 с^–1. Соответствующий квант энергии равен

ε = ħω ~ 10^–27 эрг ~ 10^–15 эВ ~ 10^–11 К.

Энергетическая щель между уровнями получилась настолько малой, что ни при каких достижимых в настоящее время температурах квантования таких осцилляторов мы наблюдать не можем.

2) Радиодиапазон. Длина волны, на которой работает 100–метровый телескоп под Бонном, равна 6 см. Частота излучения равна ω = 2π c/ ~ 3·10¹⁰ с^–1, а энергия кванта

ε ~ 3·10^–17 эрг ~ 3·10^–5 эВ ~ 0.3 К.

Известно, что этот инструмент в состоянии измерять потоки радиоизлучения около 10^–28 /(Вт м‍^–‍2 Гц) в полосе частот  от 200 МГц до 500 МГц. Примем

 = 300 МГц = 3·10⁸ Гц.

Поток излучения во всей полосе частот равен

3·10^–20 Вт м^–2 =3·10^–17 эрг см^–2 с^–1.

Сравнивая эту величину с энергией кванта 10^–17 эрг, приходим к выводу, что телескоп регистрирует в среднем приход трёх фотонов за секунду на один квадратный сантиметр. Здесь уже могут проявляться квантовые свойства излучения. Однако возникает непростой вопрос: как на площадке размером один квадратный сантиметр локализуется фотон с длиной волны 6 см. Этот вопрос мы рассмотрим ниже.

3) Атом. Характерная частота в данном случае равна частоте обращения электрона вокруг ядра и, согласно приведённым выше оценкам, составляет примерно ω ~ 10¹⁶ с^–1. Отсюда следует диапазон энергий:

ε ~ 10^–11 эрг ~ 10 эВ ~ 10⁵ К.

В этом случае дискретность энергетических уровней является основным фактором.

2.6 Предельные случаи формулы Планка

Сведения о предельных случаях больших и малых частот собраны в таблице. Слева — низкие частоты (область Рэлея–Джинса), справа — высокие (область Вина).

Формулы в последней строке таблицы представляют собой предельные случаи функции Планка.

2.7 Закон смещения Вина

Как мы видели выше, плотность энергии излучения чёрного тела как функция частоты при фиксированной температуре не является монотонной: она возрастает в классическом диапазоне спектра, пока энергия квантов значительно меньше температуры, и убывает при ħω  T.

Частота максимума ω_max зависит от температуры. С целью приближённо оценить зависимость ω_max(T) рассмотрим сначала виновскую область спектра. Виновское приближение для плотности энергии обозначим индексом «W». Согласно (4.7), имеем:

.

Введём безразмерную переменную

и выразим через неё плотность энергии:

где

Максимум функции f W( x) приходится на значение аргумента

.

Так как e³ ≈ 20, то максимум действительно находится в виновской области спектра, причём ошибка приближения (7.5) не должна превосходить пяти процентов.

Уточним полученную величину частоты максимума. Для этого формулу Планка (4.7)выразим в безразмерной форме

.

Условие df/dx = 0 приводит к трансцендентному уравнению

3(1 – e^–x) = x.

Согласно решению задачи о максимуме функции Вина, будем искать корень последнего уравнения в виде x=3 –δ, предполагая малое значение δ. Запишем уравнение для δ:

δ = e^–3+δ

и разложим экспоненту e^δ по малому параметру

e^δ ≈ 1 + δ + δ²/2.

Уравнение из трансцендентного относительно x становится квадратным по δ:

.

Нужный нам корень равен

откуда

x = 3 – δ = 2.822.

Подставляя полученное значение x в (7.2) и выражая температуру в градусах Кельвина, приходим к формулировке закона смещения Вина в шкале частот:

Здесь длина волны выражена в сантиметрах.

2.8 Частота максимума в шкале длин волн.

Выше мы упоминали о двух способах представления спектральных характеристик плотности энергии излучения: в расчёте на единицу частоты U_ω и на единицу длины волны U_. Из (2) следует

.

По аналогии с (7.2) введём безразмерную переменную

x = 2πħc/(T).

Как и выше, решение задачи определяется максимумом безразмерной функции, на этот раз

.

В приближении Вина имеем

.

Численно e⁵ ≈ 150, поэтому в данном случае следует ожидать, что (8.3) ещё точнее, чем (7.5) и здесь ошибка не превышает одного процента.

Проделав выкладки, аналогичные выполненным в предыдущем разделе, для разности

δ = 5 – x

получим

δ ≈ 0.0349,

и, соответственно,

Выпишем закон смещения Вина для распределения спектра по длинам волн:

(8.5) T·_max = 0.28979 см·К,

где температура выражена в градусах Кельвина, а длина волны — в сантиметрах.

Итак, максимум функции Планка приходится на разные длины волн, в зависимости от того, изучаем мы распределение по частотам или по длинам волн. Например, Солнце светит наиболее ярко на длине волны 5500Å, если измерения ведутся в шкале длин волн, и 8800Å — в шкале частот. Восприятие света человеческим глазом ближе к шкале длин волн. Поэтому в оценках положения максимума в спектре излучения Солнца обычно принято пользоваться формулой (8.5). Однако, если мы имеем дело со спектральным прибором, работающим в шкале частот — например, со спектральной решёткой, — то правильный результат даёт (7.6).

Характеристики

Список файлов лекций