Глава 18. Тонкая структура (1121338), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

описывает спин. Квадраты модулей компонент c₁ и c₂ равны вероятностям того, что проекция спина равна +½ и –½, соответственно. Условие нормировки спиновой части волновой функции описывается равенством:

Мы не приводим конкретный вид оператора спина и, соответственно, не решаем для него задачу на собственные значения. Тем не менее, ясно, что собственная функция оператора спина, отвечающая конкретному значению проекции m_s, имеет вид:

Действительно, (3.5) означает, что в данном состоянии электрон имеет проекцию спина m_s с вероятностью , а вероятность иметь другую проекцию, согласно свойствам символа Кронекера, равна нулю. Чтобы не перегружать запись сложными индексами в одной строке, мы ввели дополнительное обозначение:

В дальнейшем мы будем пользоваться обеими системами обозначений для символа Кронекера.

18.4 Полный момент электрона

Внутренний s и орбитальный l моменты электрона складываются в его полный момент j:

(4.1) j = l + s.

Возможные значения j при заданных l и s определяются правилом сложения моментов. Проекция момента j_z просто равна сумме проекций l_z и s_z:

Формулу (4.2) иллюстрирует рис.18.4.1:

В двенадцатой главе было введено квантовое число m, которое описывало проекцию орбитального момента на выделенное направление. Теперь таких чисел стало три, обозначим их, соответственно, m_l, m_s и m_j. Каждое из них лежит в своём диапазоне:

Возможные значения j находим следующим способом. Сначала по (4.2) вычисляем все проекции j_z, определяемые комбинациями пар l_z и s_z. Затем воспользуемся соотношением между искомой величиной j и соответствующим ей рядом (4.3c). Полученные числа перегруппируем так, чтобы стало ясно, какому значению j соответствует каждый набор проекций.

Сначала рассмотрим случай равного нулю орбитального момента. Его проекция принимает единственное (нулевое) значение, следовательно, проекция полного момента повторяет значения проекции спина, их два:

j_z = ±1/2.

Две такие проекции может иметь только момент, равный половине:

j = 1/2.

Четыре квантовых числа — n, угловой орбитальный момент l, спин s и полный момент j определяют уровень атома. В обозначении уровня они зашифровываются следующим образом. Сначала приводится главное квантовое число n, а затем следует информация о моментах. На уровне строки вслед за n записывается символ орбитального квантового числа, в соответствии с табл. 16.7.1. Информация о спине расположена слева вверху от символа l, а значение полного момента записывается на месте правого нижнего индекса:

(4.4) n ^2s+1символ l_j.

Принято записывать не сам спин s, а число его возможных проекций 2s+1, которое называют мультиплетностью. Физический смысл мультиплетности станет ясен после того, как будут выведены правила сложения моментов. Итак, состояния с равным нулю орбитальным моментом при заданном n имеют ровно один уровень: n ²s_1/2.

Теперь рассмотрим случай l > 0, то есть, орбитальный момент больше спинового. Однозначного решения здесь нет. Действительно, существует пара проекций, l_z = l и m_s = 1/2, которой соответствует максимально возможная сумма, равная l+1/2. Из (4.2) и (4.3) следует, что момент равен j = l+1/2. Но такой момент имеет всего 2l+2 проекции, в то время как орбитальный и спиновый моменты образуют 2(2l+1) пар. Легко видеть, что два последних числа совпадают только при l=0. Таким образом, если l1, то атом имеет, по крайней мере, два уровня. Перед тем, как поставить задачу для произвольного l, решим её в двух частных случаях: l=1 и l=2.

1. l=1. Выпишем в таблицу все 6 возможных значений суммы m_l+m_s:

Таблица 18.4.1 Проекции полного момента p–электрона

Первая строка содержит все возможные значения m_l, а первый столбец — все значения m_s._. На пересечении каждой строки и столбца написана сумма m_j = m_l +m_s. Красным цветом помечены четыре проекции m_j, соответствующие моменту, равному 3/2. Оставшиеся два числа, очевидно, описывают момент j=1/2. Таким образом, в p–состояниях возможны два уровня: j=1/2 и j=3/2.

1. l=2. Аналогичным образом оформим таблицу из 2·(2·2+1)=10 чисел:

Здесь последовательности красных и чёрных чисел указывает на значения полного момента, равные, соответственно, 5/2 и 3/2.

1. Произвольное значение l1. Выпишем таблицу сумм l_z + s_z в два ряда:

Хорошо видно, что 2l+2 = 2(l+1/2)+1 числа красного ряда соответствуют полному моменту j = l+1/2, а 2l = 2(l–1/2)+1 чёрных числа являются проекциями момента, равного l–1/2.

Собирая вместе полученные результаты, приходим к выводу, что положительным значениям орбитального момента соответствуют два значения полного момента:

(4.5) j = l ± 1/2.

Приведём обозначения соответствующих уровней:

n ²p_1/2, n ²p_3/2, n ²d_3/2, n ²d_5/2, n ²f_5/2, n ²f_7/2 и т.д…

Напомним, что в приближении чисто кулоновского поля энергии уровней с одним и тем же значением n оказываются одинаковыми. Кулоновское вырождение снимается релятивистскими и радиационными эффектами. Два из них — спин–орбитальное взаимодействие и зависимость массы электрона от скорости мы рассмотрим в этой главе.

Итак, для s = ½ мы показали, что, если орбитальный момент не меньше спинового: ls, то состояние с заданным значением l имеет 2s+1 уровень. Величину 2s+1 называют мультиплетностью и приводят вместо спина в обозначении уровня (4.4). Мы убедились также, что при l<s число уровней не равно 2s+1. Тем не менее, и в этом случае в левом верхнем углу приводят именно значение мультиплетности.

18.5 Спин–орбитальное взаимодействие

Внутренний магнитный момент электрона во время его движения в поле ядра с зарядом Ze приводит к его дополнительному взаимодействию с магнитным полем. Ещё раз напишем формулу (1.3.3) для потенциальной энергии магнитного момента  в магнитном поле H, обозначив её посредством V:

Магнитное поле H возникает в системе отсчёта электрона во время его движения в электростатическом поле ядра. Если скорость электрона V не слишком велика, и можно ограничиться слагаемыми, в которые отношение V/c входит только линейно, то справедлива формула

Здесь  — вектор напряжённости электростатического поля, создаваемого ядром в лабораторной системе:

Подставим (5.3) и (5.2) в (5.1):

.

Векторное произведение в скобках только множителем m_e отличается от орбитального механического момента электрона:

Во втором равенстве мы подставили (12.1.2). С помощью (2.2) выразим внутренний магнитный момент через спин электрона:

Последняя формула позволяет оценить зависимость энергии спин–орбитального взаимодействия от безразмерных параметров задачи: постоянной тонкой структуры, заряда ядра и главного квантового числа. Подставив в (5.5) радиус круговой орбиты электрона (13.5.1) и пренебрегая отличием приведённой массы от массы электрона, получим:

Сравнивая (5.6) с (13.7.8), приходим к выводу, что спин–орбитальное взаимодействие и зависимость массы электрона от скорости — оба этих фактора одинаково зависят от  и Z. Естественно, что обе релятивистские поправки быстро уменьшаются у возбуждённых состояний. Зависимость от n сейчас интереса не представляет. Здесь формулы классической механики оказываются слишком грубыми и необходим квантовомеханический расчёт, к которому мы и переходим.

В квантовой теории степень классического расстояния r до ядра надо заменить средним значением соответствующего оператора:

Характеристики

Список файлов лекций