Глава 18. Тонкая структура (1121338), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Волновая функция состояния с заданными значениями полного момента j и одной из его проекций m_j является линейной комбинацией функций (9.1) с такими значениями m_l и m_s, которые удовлетворяют условию (9.1)

На языке линейной алгебры сумма (9.3) означает переход от базиса (lm_lsm_s) к базису (lsjm_j). Это преобразование не затрагивает радиальную часть волновой функции, и в дальнейшем мы будем выписывать только угловые и спиновые множители:

В общем случае, при сложении двух произвольных угловых моментов, например, J₁ и J₂:

волновая функция Ф_JM представляется в виде суммы

Часто бывает удобнее пользоваться обозначениями Дирака:

где — трансформационная матрица перехода от базиса (J₁M₁J₂M₂) к базису (J₁J₂JM). Элементы этой матрицы или соответствующие им множители в формуле (9.6) называются коэффициентами Клебша–Гордана. Существует более симметричная форма для коэффициентов разложения — так называемые 3j–символы Вигнера . Коэффициенты Клебша–Гордана связаны с 3j–символами соотношением

Перечислим самые важные для нас свойства симметрии 3j–символов Вигнера

.

Они инвариантны относительно чётной перестановки столбцов:

а при нечётной перестановке меняют знак на (–1)^a+b+c.

Далее, 3j–символы отличны от нуля только при одновременном выполнении двух условий. Во–первых, сумма трёх чисел в нижней строке должна быть равна нулю:

Это условие с очевидностью вытекает из (9.1) и (9.8). Во–вторых, элементы верхней строки должны подчиняться правилу треугольника Δ(abc). Оно гласит, что ни одно из трёх чисел не может быть меньше разности двух других и не может превысить их сумму. Правило треугольника, по существу, является отражением теоремы сложения моментов, частные случаи которой рассмотрены в четвёртом разделе этой главы.

Коэффициенты Клебша–Гордона подчиняются условиям ортогональности:

В совокупности с (9.8) эти условия дают полезное для расчётов свойство 3j–символов:

Общие формулы для вычисления 3j–символов громоздки, но для важнейших частных случаев они приведены в монографии И.И. Собельмана «Введение в теорию атомных спектров», Физматгиз, 1963. Для равного нулю полного момента (J=0, соответственно, и M=0) 3j–символ вычисляется совсем просто:

Приведём таблицу коэффициентов Клебша–Гордана для атома водорода или водородоподобного иона (s=½).

Таблица 18.9.1. Коэффициенты Клебша–Гордана для одноэлектронной системы.

Пользуясь ею, можно вычислить коэффициенты разложения волновых функций полного момента по волновым функциям базиса (lm_lsm_s), то есть, по спиновым и угловым функциям . Отметим, что сумма квадратов коэффициентов в таблице 18.9.1 по строкам и столбцам равна единице.

Теперь мы можем более глубоко проанализировать правило сложение моментов и выяснить причину повторяющихся проекций. Например, рассмотрим таблицу 18.4.1, где вычислен полный момент p–электрона. Выпишем соответствующие разложения волновых функций:

Красным цветом мы выделили две формулы, описывающие состояние с m_j = 1/2. Верхняя формула отвечает значению j=1/2, а для второй j=3/2. Сравнивая коэффициенты в правой части обеих формул, приходим к следующему выводу: состояние с полным моментом j=3/2 и проекцией m_j = ½ на две трети включает в себя состояние исходного базиса и на одну треть — состояние . С другой стороны, уровень p_1/2 на одну треть «состоит» из и на две трети — из .

18.10 Сверхтонкая структура

Подобно электрону, ядро обладает собственным магнитным моментом. Магнитные моменты ядер принято выражать в ядерных магнетонах, то есть, в единицах

Напомним, что здесь m_p — масса протона, а μ₀ — магнетон Бора. В этих единицах магнитный момент протона равен

μ_p = g_ll + g_ss; g_l = 1, g_s = 5.58.

Магнитный момент ядра также задаётся через гиромагнитное отношение

μ = g_II,

где I — собственный момент, или спин ядра. Под магнитным моментом μ ядра обычно понимают максимальную величину проекции вектора μ на направление магнитного поля

μ = g_II.

Именно эта величина приводится в таблицах.

Взаимодействие магнитных моментов электрона и ядра приводит к тому, что сохраняющейся величиной является полный момент атома, то есть сумма

F = I + j,

а не каждое слагаемое в отдельности. В результате уровень с моментом j расщепляется на ряд компонент, каждая из которых соответствует определённому значению полного момента атома. Это расщепление носит название сверхтонкого. Оно значительно меньше спин–орбитального взаимодействия, пропорционально отношению масс электрона и ядра. Так, сверхтонкое расщепление основного состояния атома водорода соответствует частоте перехода ν = 1420 Мгц, или длине волны λ=21 см. Это излучение было предсказано ван де Хюлстом в 1945 году. А в 1951 году оно было открыто в эксперименте Юэна – Перселла. В таблице приведена величина сверхтонкого расщепления для различных элементов.

Радиоизлучение нейтрального водорода является мощным инструментом исследования структуры нашей Галактики и соседних систем.

Характеристики

Список файлов лекций