Глава 10. Барьер и яма конечной глубины (1121330), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

.

Следовательно, с ростом n уровни опускаются всё глубже по сравнению с их положением в яме с бесконечно высокими стенками. На рис. 10.2.5 изображены уровни энергии и графики волновой функции в сравнении с бесконечно глубокой ямой. Слева повторена левая часть рис. 9.3.2. Смещение первого уровня невелико, для третьего оно — самое большое.

Ещё одно важное свойство ямы конечной глубины заключается в том, что у неё вообще могут отсутствовать связанные состояния. Локализуем частицу в области Δx ~ L. Минимально возможная энергия E_min связанного состояния получается из соотношения неопределенностей, где точность локализации частицы полагаем равной ширине ямы L:

/L.

Отсюда следует

.

Связанные состояния существуют, если

то есть при выполнении неравенства

Положение уровня определяется произведением . Связанные состояния имеются либо у достаточно широкой ямы, либо в достаточно сильном поле. Если при фиксированной ширине L мы будем уменьшать U₀, то дискретный уровень постепенно поднимается наверх, ближе к границе ямы, и наступит момент, когда уровень «всплывёт» в континуум. То же самое произойдёт, если в заданном поле U₀ будем уменьшать размер ямы L.

10.3. Рассеяние на потенциальном пороге

Задача ставится следующим образом. Частица, двигаясь слева направо с энергией E, налетает на потенциальный барьер U₀ < E, расположенный на рис. 10.3.1 в точке x = 0. График функции U(x), как и прежде, обозначим синим цветом, а энергию частицы — зелёным. В классической механике частица преодолевает порог, испытывая некоторое торможение на участке (0, L). Обсудим поведение квантовой частицы. Стрелками помечены

амплитуда падающей волны (A), а также прошедшей (B) и отражённой (C) волн. Аналогичная задача уже была решена в четвёртом разделе предыдущей главы, но для случая, когда энергия частицы меньше высоты порога. Там мы убедились, что существует вероятность проникновения частицы внутрь порога. Здесь же мы увидим, что частица может испытать отражение, несмотря на то, что её энергия превышает высоту барьера.

Приступим к решению задачи. По аналогии с разделом 9.4 введём следующие обозначения:

для области слева от барьера и

справа от барьера. Очевидно, . Запишем уравнение Шредингера для каждой из областей:

.

Слева от барьера волновая функция равна сумме падающей и отражённой волн,

,

в то время как справа от разрыва распространяется только прошедшая волна:

.

Граничные условия

были выведены в разделе 9.4 предыдущей главы. Напомним, что они отражают отсутствие процессов рождения и гибели частиц, а также ограниченность потенциала. С их помощью мы можем выразить два неизвестных параметра в (3.2) через третий, например, так:

Коэффициент отражения R равен отношению квадратов амплитуд падающей и отражённой волн:

Отсюда видно, что вероятность отражения отлична от нуля при любом значении энергии налетающей частицы. В этом проявляются её квантовые свойства. Правда, при отражением можно пренебречь, что соответствует классическому случаю .

Аналогия с классической механикой наблюдается также при максимально возможном понижении энергии частицы. Если величина E практически не отличается от высоты порога: , то коэффициент отражения становится близок к единице. В классической механике этот результат соответствует отражению частицы от барьера, если E < U₀.

Рассмотрим теперь иной вариант задачи: частица «падает из-за порога». На рис.10.3.2

области слева и справа от разрыва поменялись местами по сравнению с рис.10.3.1. Поэтому можно воспользоваться решением предыдущей задачи, выполнив замену . Тогда вместо (3.3) получим:

Коэффициент отражения предыдущем случае. Однако, имеется и существенное различие. Легко убедиться, что знаки C и A в (3.3) одинаковы, а в (3.5) — противоположны. Таким образом, падающая и отражённая волны находятся в противофазе.

В классической физике имеется аналог этого явления. В третьем разделе пятой главы приведена «оптико–механическая аналогия»: импульс частицы p или волновое число k являются аналогами показателя преломления n, причём n является растущей функцией k. Из оптики известно, что отражение от оптически более плотной среды (3.5) происходит без изменения фазы, а при отражении от менее плотной среды (3.3) фаза меняется на π. Итак, в первом случае (падение на порог) происходит потеря полуволны.

Сбой фазы имеет важные последствия для рассеяния на потенциальной яме. В самом деле, потенциальную яму можно составить из двух порогов. Если между двумя разрывами укладывается целое число полуволн, то две отражённые волны компенсируют друг друга, и отражённая волна пропадает. Так как дебройлевская длина волны связана с импульсом частицы, то «провал» отражения имеет место для частиц определённых энергий. Рассмотрим рассеяние на потенциальной яме подробнее.

10.4. Рассеяние на потенциальной яме

Задача предыдущего раздела позволит нам понять интересные квантовые эффекты, имеющие место при рассеянии на потенциальной яме. На рис. 10.4.1 присутствуют амплитуды уже пяти волн:

A — падающей,

B — прошедшей через первый барьер,

D — отражённой от первого барьера,

F — отражённой от второго барьера,

C — прошедшей через второй барьер.

Амплитуда F с точностью до потерь на отрезке (0, L) равна D по модулю и противоположна по знаку. Если на ширине ямы укладывается целое число полуволн, то в области произойдёт взаимное погашение волн. Это явление известно в классической физике как эффект просветления оптики.

Рассматриваемая задача имеет строгое решение. Бросаем на потенциальную яму волну с амплитудой A и записываем выражения для волновой функции на трёх участках:

Параметры k₁ и k₂ определены в (3.1). Граничные условия для волновой функции на двух границах

приводят к системе из четырёх линейных уравнений с пятью неизвестными. Все искомые амплитуды можно выразить через одну из них, например через A. Опуская простые, но длинные вычисления, приведём окончательное выражение для коэффициента отражения:

Из этого соотношения вытекает, что коэффициент отражения обращается в нуль не только в уже известном нам случае больших энергий налетающей частицы. Отражение отсутствует также, когда ширина ямы равна целому числу полуволн и волны, отражённые от двух краёв ямы, гасят друг друга:

Полученный результат объясняет так называемый эффект Рамзауэра, наблюдаемый при упругом рассеянии электронов на атомах благородных газов: аргона, криптона и ксенона. Он заключается в том, что вероятность рассеяния резко уменьшается при некоторых значениях энергии электрона, как это схематически показано на рис. 10.4.2.

Наличие «провала» можно объяснить следующим образом. Атом инертного газа представляет собой компактное образование (заполненные подоболочки). Так что потенциал взаимодействия в грубом приближении можно заменить потенциальной ямой с резко очерченными краями. При определённых значениях энергии электрона E_m на отрезке длиной L может уложиться целое число полуволн. Две волны, отражённые от краёв ямы, гасятся, и электрон пролетает свободно, не испытывая взаимодействия.

Характеристики

Список файлов лекций