Глава 19. Излучение при переходах между дискретными уровнями (1121339), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

создающая пучок атомов водорода в основном состоянии 1²s_1/2. Пучок, нагретый печью до температуры около 2·10³К ≈ 0.2 эВ, направлялся на электрод 4, способный эмитировать электроны, если его бомбардируют частицы, энергия которых превышает работу выхода. В эксперименте использовался образец с работой выхода несколько электронвольт, поэтому кинетическая энергия атомов была недостаточной для выбивания из него электронов. Но пушка 2 испускала электроны, достаточно энергичные для возбуждения атома водорода на высокие уровни. В дальнейшем, после каскада спонтанных переходов, атомы, большей частью, оказывались в основном состоянии. Но на метастабильном уровне 2²s_1/2 имеет место накопление атомов. Энергия возбуждения второго уровня — 10.2 эВ — вполне достаточна для преодоления работы выхода из вещества электрода. На электрод 4 попадает пучок возбуждённых атомов и выбивает из него электроны, генерируя в цепи электрический ток.

Величину энергетической щели между близкими уровнями позволяет измерить источник высокочастотного излучения 3. Например, если его частота равна частоте перехода 2²s_1/2 → 2²p_3/2, то атомы водорода под воздействием излучения переходят с метастабильного состояния на уровень 2²p_3/2, с которого уже возможен разрешённый радиационный переход в основное состояние. Распад состояния 2²p_3/2 происходит примерно за 10^–9 с, что значительно меньше времени пролёта от печи до мишени. Итак, в случае резонанса произойдет цепочка переходов

2²s_1/2 → 2²p_3/2 → 1²s_1/2.

На электрод попадут атомы только в основном состоянии, их энергия весьма мала, и тока не будет.

Частота излучения, соответствующая переходу 2²s_1/2 → 2²p_3/2 , лежит в диапазоне 10⁴ МГц, и соответствующее прекращение тока было обнаружено. Но в опытах Лэмба и Ризерфорда ток исчезал еще при одной частоте ВЧ–источника, равной (1062±5) Мгц. Это означает, что существует разница энергий между уровнями 2s_1/2 и 2p_1/2, и возможна другая цепочка переходов в основное состояние:

2s_1/2 → 2p_1/2 → 1s_1/2.

Таким образом, энергия уровня с n = 2 и j = ½ зависит от величины орбитального квантового числа l. Схематически это изображено на рис.19.9.2.

Зелёная стрелка справа на рисунке обозначает уже известное нам расщепление уровней с разными значениями j, оно определяется спин–орбитальным взаимодействием и зависимостью массы электрона от скорости. Двумя красными стрелками отмечена разность энергий s и p состояний при одном и том же значении j. Она получила название лэмбовского сдвига.

Лэмбовский сдвиг

В основе теории лэмбовского сдвига лежит понятие физического вакуума — низшего энергетического состояния квантованных полей, характеризующегося отсутствием каких–либо реальных частиц. Частицы как бы пребывают в виртуальном состоянии. Нулевые колебания вакуума проявляются только при взаимодействии с реальными частицами. Например, спонтанное излучение можно интерпретировать как превращение виртуального фотона в реальный квант света при переходе возбуждённого атома в основное состояние. И наоборот, поглощение излучения означает переход фотона в виртуальное состояние. Существует также электрон–позитронный вакуум, откуда возникают реальные частицы при рождении электрон–позитронных пар. Обратный процесс — аннигиляция электрона и позитрона соответствует их переходу в виртуальное состояние. Теоретическое обоснование лэмбовского сдвига в 1949 г. дал Бёте. Мы остановимся на упрощённом рассмотрении эффекта, ограничившись вкладом нулевых колебаний электромагнитного поля.

Электромагнитному вакууму соответствует нулевая энергия осцилляторов (11.1.10). Напомним выведенную в одиннадцатой главе формулу (11.1.9) для энергии гармонического осциллятора равна

E_n = ћω(n+½).

В основном состоянии при n = 0 имеют место вакуумные, или нулевые колебания. Они приведены на рис.11.2.1.

Колебания электромагнитного вакуума имеют хаотический характер, поэтому средняя напряжённость их электрического поля равна нулю. Но средний квадрат амплитуды напряженности поля отличен от нуля и именно с этим обстоятельством связан лэмбовский сдвиг. На рис. 19.9.3 изображены электрон e^– и ядро Ze/. Здесь r обозначает радиус–вектор электрона без учёта его движения под влиянием нулевых колебаний. Колебания вакуума вызывают «дрожания» электрона, которые

описываются вектором ξ. Эти дополнительные перемещения значительно меньше расстояния до ядра:

(9.1) ξ  r.

Так как электрон находится в поле ядра, то его дополнительные перемещения вызывают изменения кулоновского потенциала φ. В силу (9.1) изменение потенциала относительно невелико, и мы можем применить разложение в ряд Тейлора по малому параметру ξ. Введём обозначения x₁, x₂, x₃ для координат xyz радиус–вектора r. Аналогичным образом обозначим компоненты ξ₁, ξ₂, ξ₃ смещения ξ. Тогда

(9.2) φ(r+ξ) – φ® = ξ_i ∂φ/∂x_i + ½ξ_iξ_j ∂²φ/∂x_i ∂x_j + …

Здесь по повторяющимся индексам выполняется суммирование. Усредним изменение потенциала по угловым переменным, учитывая хаотичный характер «дрожания» электрона. Хаотичность означает, что в среднем электрон не меняет своего положения

(9.3a) <ξ_i> = 0,

смещения по разным направлениям статистически независимы,

(9.3b) <ξ_i·ξ_j> = <ξ_i> ·<ξ_j> = 0

и их средние значения одинаковы:

(9.3c) <ξ_x2> = <ξ_y2> = <ξ_z2>.

Три формулы (9.3a,b,c) имеют компактную форму записи:

(9.4) <ξ_i·ξ_j> = ⅓<ξ²>δ_ij,

где

<ξ²> = <ξ_x2> + <ξ_y2> + <ξ_z2.

С помощью (9.2) и (9.4) получим:

Сумма в правой части (9.5) является оператором Лапласа. Поэтому с помощью уравнения Пуассона

её можно выразить через плотность ρ зарядов, создающих поле с потенциалом φ. В данном случае поле создаётся ядром. Поэтому весь заряд, определяющий электростатический потенциал, сосредоточен в начале координат:

Энергия электрона в поле с потенциалом φ равна

(9.8) U = –eφ.

Подставим (9.7) и (9.6) в (9.5) и с помощью (9.8) получим выражение для среднего значения изменения энергии электрона:

Величину <ξ²> найдём из уравнения движения электрона в поле нулевых колебаний.

(9.10)

Здесь  — напряжённость электрического поля электромагнитного вакуума. Перепишем последнее уравнение для Фурье–компонент смещения и поля:

(9.11)

где ω_k — частоты мод колебаний. Для Фурье–компонент уравнение (9.10) превращается в алгебраическое с простым решением:

(9.12)

Теперь найдём Фурье–компоненты поля волны. Посредством ΔN_k обозначим число колебаний в узком интервале волновых чисел от k до k + Δk. Оно совпадает с числом колебаний ΔN_ω в интервале частот от ω до ω + Δω, если частота и волновое число связаны известным дисперсионным уравнением ω = kc. Тогда из (2.2.8) следует

Внутри диапазона волновых чисел Δk сосредоточена энергия колебаний поля, равная

(9.13) E_k = ½ћω_k·ΔN_k

С другой стороны, эта же энергия определяется Фурье–компонентой напряжённости поля:

(9.14)

Приравняв друг другу левые части (9.13) и (9.14), получим:

(9.16)

откуда, согласно (9.12), следует выражение для среднего значения квадрата смещения:

(9.17)

Просуммируем (9.17) по модам колебаний:

Заменим суммирование интегрированием и вычислим определённый интеграл с нижним пределом ω₁ и верхним ω₂:

(9.18)

Полученный интеграл имеет логарифмическую расходимость на нижнем и верхнем пределах. Нижний предел ω₁ выберем из условия резонанса электрона и волны:

(9.19a) ћω₁ = 2·Z² Ry.

Действительно, рассматриваемая модель предполагает, что можно пренебречь скоростью движения электрона в кулоновском поле ядра по сравнению со скоростью его «вибрации» в поле нулевых колебаний. Это предположение не выполняется для колебаний, частота которых меньше частоты обращения электрона по орбите ~ Z² Ry/ћ. Выбор множителя «2» в правой части (9.19) обсудим ниже.

Вибрация релятивистского электрона значительно ослаблена вследствие значительного увеличения его массы. Поэтому верхнюю границу частоты ω₂ можно выразить через энергию покоя электрона:

(9.19b) ћω₂ = m_ec² = Ry/².

Подставив (9.19ab) в (9.18), получим:

(9.20)

В результате выбора множителя «2» в формуле (9.19a) аргумент логарифма в (9.20) совпал с результатом точного расчёта, выполненного Бёте по рецептам квантовой электродинамики. Отметим, что ошибка в два–три раза при вычислении отношения ω₂/ω₁ не меняет существенно величины логарифма. Конечно, это справедливо только до тех пор, пока это отношение достаточно велико. Например, в случае атома водорода (Z=1) оно превосходит 10⁴. Поэтому увеличение аргумента в два раза приводит к изменению логарифма всего на 6%.

С точностью до множителя численное значение <ξ²>^½ — размера области, занятой

«дрожащим» электроном, есть среднее геометрическое классического радиуса электрона и его комптоновской длины волны:

(9.21) .

Характеристики

Список файлов лекций