Глава 19. Излучение при переходах между дискретными уровнями (1121339), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Действительно, пусть ms = –½ , а ms' = +½. Тогда:
Такой же результат получается при другой паре: ms = +½ , а ms' = –½. Два условия, (4.6) и (4.7), можно объединить в одно
аналогичное (4.3).
19.5 Правила отбора по орбитальному квантовому числу
Некоторые атомные переходы не могут осуществляться по каналу электрического дипольного излучения. Их называют запрещёнными. Космические объекты дают многочисленные примеры запрещённых переходов: небулярные, наблюдаемые в газовых туманностях, корональные — в звёздных спектрах, а также линия λ=21 см нейтрального водорода. В этом разделе мы изложим способ выявления разрешённых и запрещённых переходов применительно к водородоподобным системам. Существуют правила отбора, на основании которых делают вывод о том, возможен ли данный переход как электрически дипольный, или же надо искать другие типы излучения.
На примере линейно поляризованного излучения покажем, как могут быть получены правила отбора для водородоподобной системы, точнее — для электрона, находящегося в кулоновском поле. Для решения этой задачи достаточно выяснить, при каких параметрах перехода матричный элемент радиус–вектора оказывается равным нулю. Даже такая, на вид несложная задача, требует определённой математической подготовки.
Когда матричный элемент отличен от нуля?
Правила отбора полностью определяются зависимостью волновых функций от угловых переменных. Ниже нам потребуется формула, связывающая присоединённые полиномы Лежандра с тремя последовательными значениями нижнего индекса: 
, 
, и 
. Приведём её без вывода:
где
Вероятность линейно поляризованного излучения пропорциональна квадрату модуля матричноого элемента <k|z|n>, угловая часть которого содержит интеграл
Для упрощения записи формул здесь и в дальнейших выкладках этого параграфа мы опускаем индекс m у сферических функций — сейчас он не играет никакой роли. Согласно (4.1), последний интеграл равен
Учитывая условие (4.4) ортонормированности сферических функций, окончательно получаем:
Теперь очевидно, что матричный элемент отличен от нуля только в том случае, если l' отличается от l на единицу в ту или иную сторону. Аналогично вычисляется вероятность излучения, поляризованного по кругу, только в подынтегральной функции, согласно (3.4), надо заменить произведение 
Опуская математические выкладки, сообщим, что результат остаётся тем же самым, что и для линейной поляризации.
Итак, сформулируем правило отбора по орбитальному квантовому числу l для атома водорода или водородоподобного иона в кулоновском приближении: вероятность электрического дипольного излучения отлична от нуля при выполнении условия
Позднее мы увидим, что это правило сохраняется и при переходе к более сложным системам. Оно остаётся справедливым для одноэлектронных переходов в поле с центральной симметрией.
Схема переходов без учёта тонкой структуры
Схемы переходов того или ионного иона или атома называются диаграммой Гротриана. Такие схемы, по существу, мы уже приводили в четырнадцатой главе. Рисунки 14.1.1 и 14.3.1 используют максимально упрощённую модель, в которой энергия любого состояния атома водорода полностью определяется величиной главного квантового числа. Такое упрощение вполне приемлемо, пока мы не интересуемся типом излучаемого кванта.
Теперь мы перейдём к рассмотрению только разрешённых переходов, то есть, излучения по каналу d1. Усложнение модели проведём в два этапа. Сначала учтём орбитальное квантовое число l, но временно не будем учитывать тонкую структуру. Диаграмма Гротриана для первых четырёх уровней атома водорода приведена на рис.19.5.1
Серия Лаймана в этом приближении состоит из одиночных линий,
np → 1s, n 2,
и учёт орбитального квантового числа не приносит ничего нового по сравнению с рис.14.1.1. Переходы остальных серий содержат несколько компонент. В серии Бальмера три компоненты:
np → 2s,
ns, nd → 2p, n 3
и её схема усложнилась по сравнению с рис.14.3.1. В серии Пашена уже пять компонент:
np → 3s,
ns, nd → 3p, n 4
np, nf → 3d,
а в общем случае их число равно 2n–1, где n — главное квантовое число нижнего уровня. В кулоновском приближении все компоненты в сумме дают одну линию.
19.6. Правила отбора по полному моменту
Спин–орбитальное взаимодействие приводит к тому, что орбитальный момент l перестаёт быть сохраняющейся величиной, и формула (4.3), строго говоря, становится приближённой. Интегралом движения остаётся полный момент атома ћj, условием сохранения которого является только отсутствие внешних полей. Поэтому в случае изолированного атома действует точное правило отбора по квантовому числу j. Его мы определяем из следующих соображений.
Дипольное излучение
Из квантовой электродинамики известно, что каждому каналу излучения соответствует своё значение внутреннего момента фотона Q. Так, в случае дипольного излучения величина Q равна единице:
(6.1) QE1, M1 = 1.
Допустимые изменения момента
Δj = j΄ – j
определяются уже известным нам правилом сложения векторов. Пусть в результате поглощения кванта момент атома изменяется с j на j΄. Из закона сохранения момента вытекает:
(6.2) j΄ = j + Q.
Проекция момента Qz может принимать три значения:
(6.3) Qz = –1, 0, +1.
Как и в предыдущем разделе, полезно рассмотреть два варианта: j < 1 и j 1. В первом случае, согласно (12.2), j равно нулю, либо половине.
Конечно, полный момент одного электрона не может быть равен нулю. Поэтому в случае атома водорода или водородоподобного иона можно было бы начинать сразу со случая j = ½ . Но рассматриваемое здесь правило отбора по полному моменту имеет общий характер: оно применимо ко всем ионам и атомам. Здесь важно только отсутствие внешнего поля. Внутренний момент системы из нескольких электронов уже может оказаться равным нулю, поэтому мы обсудим все возможные варианты.
-
j = 0. В этом случае jz принимает единственно возможное — нулевое значение, и полный набор проекций j΄z совпадает с (6.3). Следовательно, j΄ = 1 и
(6.4a) j΄ = j+1.
-
j = ½. Задача с сочетанием моментов 1 и ½ в другом контексте уже была решена в разделе (18.4). Мы можем воспользоваться формулой (18.4.5), заменив в ней j на j΄ и l на j. В результате получим
(6.4b) j΄ = 1/2, 3/2.
-
j 1. По аналогии с разделом 18.4, все 3*(2j+1) значения пар проекций Qz и jz запишем в таблицу с тремя строками и 2j+1 столбцами.
Таблица 19.6.1 Случай j 1
| –j – 1 | –j | –j +1 | –j + 2 | … | j – 4 | j – 3 | j – 2 | j – 1 |
| –j | –j +1 | –j + 2 | –j + 3 | … | j – 3 | j – 2 | j – 1 | j |
| –j +1 | –j + 2 | –j + 3 | –j + 4 | … | j – 2 | j – 1 | j | j + 1 |
Первая строка отвечает значению Qz, равному «–1» из (6.3), вторая — нулю, третья — «+1». Красным цветом помечены 2j+3 = 2*(j+1)+1 проекции, отвечающие полному моменту j΄, равному j+1. Зелёный ряд — 2j+1 проекция момента j, а чёрный — 2j–1 = 2(j–1)+1 проекция момента j–1. Итак, j΄ может принять три значения:
(6.4c) j΄ = j–1, j, j+1.
Все три формулы (6.4a,b,c) можно объединить следующим образом:
(6.5a) Δj = 0, ±1,
(6.5b) j + j΄ 1.
Полученный результат напоминает (5.3), но между ними есть и серьёзное различие. Орбитальный момент обязан измениться, а полный момент, если он отличен от нуля, может сохранить своё прежнее значение. Противоречия здесь нет. Дело в том, что существуют ещё правила отбора по чётности. Они формулируются отдельно от правил отбора по моменту, но формула (4.3) учитывает их автоматически.
В этом пункте мы не различали два канала дипольного излучения. Действительно, фотоны E1 и М1 имеют одно и то же значение момента, равное ћ, следовательно, их свойства по отношению к правилу отбора по моменту одинаковы. Но различие между ними, конечно, существует. Оно связано с дополнительными запретами излучения по каналу М1 и будет рассмотрено позднее.
Квадрупольное излучение
Внутренний момент фотона, излучаемого или поглощаемого по каналу Е2, равен 2ћ:
(6.6) QE2 = 2
Дальнейшие рассуждения во многом аналогичны случаю дипольного излучения и новым в них является только численное значение момента фотона. Проекция момента Qz теперь может принимать пять значений:
(6.7) Qz = –2, –1, 0, +1, +2.
Следовательно, надо рассмотреть два варианта: j 2 и j < 2. Для первого варианта справедлива таблица 19.6.2
Таблица 19.6.2 Случай j 2
| –j – 2 | –j–1 | –j | –j + 1 | … | j – 6 | j – 5 | j – 4 | j – 3 | j – 2 |
| –j – 1 | –j | –j +1 | –j + 2 | … | j – 5 | j – 4 | j – 3 | j – 2 | j – 1 |
| –j | –j +1 | –j + 2 | –j + 3 | … | j – 4 | j – 3 | j – 2 | j – 1 | j |
| –j + 1 | –j + 2 | –j + 3 | –j + 4 | … | j – 3 | j – 2 | j – 1 | j | j + 1 |
| –j + 2 | –j + 3 | –j + 4 | –j + 5 | … | j – 2 | j – 1 | j | j + 1 | j + 2 |
Она составлена аналогично таблице 19.6.1, но имеет пять строк, по числу проекций внутреннего момента фотона. Хорошо видно, что пять цветных рядов проекций отвечают пяти возможным значениям момента j':
| Красный | Синий | Зелёный | Оранжевый | Чёрный |
| j' = j + 2 | j '= j + 1 | j' = j | j' = j – 1 | j' = j – 2 |
Ясно, что вместо правила (6.5а) мы получаем условие
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
