Глава 5. Особенности расчета химически реагирующих потоков (1013339), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Дело в том, что система уравненийнеразрывности химических компонентов (6.9), во-первых, также являетсяжесткой, а, во-вторых, для ее решения применимы все те идеи и методы,которые были изложены в п. 6.3.Рассмотрим для начала систему (6.9) без учета конвекции и диффузии:d ( ρYI )= SIdt(6.44)В векторной форме это уравнение можно представить в виде:dY= f (Y )dt(6.45) Y1 Y2где Y =  YN C - вектор массовых долей компонентов, S1 / ρ  S2 / ρ f = - вектор источников SN / ρ  CК уравнению (6.45) можно применить те же методы, что и к линейнымОДУ, только вместо матрицыпостоянных коэффициентов необходимоиспользовать матрицу Якоби: ∂f1∂Y∂f  1A== ∂Y  ∂f Nc∂Y 1∂f1∂YN∂f Nc∂YN…(6.46)Неявный метод Эйлера применительно к системе (6.45) имеет вид:y n +1 − y nτ(= f n + A y n +1 − y n)(6.47)Откуда(E − τA ) yn +1n− ynτ= fn(6.48)А метод Розенброка:(E − ατA − βτ2)A2 ⋅y n +1 − y nτ(( ))= f y n + γ ⋅τ ⋅ f y n(6.49)Решение (6.49) основано на следующих действиях, выполняемых накаждом n-ом шаге интегрирования:1.Вычисляется матрица производных (6.48) в точке y nСледующая точка y n +1 находится из матричного уравнения(6.49) с коэффициентами (6.43)Приведем классический пример – cистему Робертсона.

Рассмотрим2.систему трех уравнений: dy1 dt = −a1 y1 + a 2 y 2 y3 , dy 2= a1 y1 − a2 y 2 y3 − a3 y 2 , dt dy3 dt = a3 y 2Начальные условия: y1 (0) = 1,y 2 (0 ) = 0,(6.50)y3 (0) = 0Система (6.50) представляет модель химического взаимодействия трехвеществ: вещество «1»медленно превращается в «2»:«1» → «2» (соa1 = 0.1 ),скоростьювещество «2» превращается очень быстро в вещество «3»:«2» → «3»( a3 = 103 ).И, наконец, вещество «2» при каталитическом воздействии вещества «3»,превращается в вещество «1» ( a 2 = 10 2 ) : «2» + «3» → «1» + «3»Используем метод Розенброка.Матрица Якоби имеет вид: − a1A =  a1 0Результаты расчета представлены на рисункеa2 y3− a 2 y 3 − a3a3a2 y 2 − a2 y2 0 Рисунок 6.1 Результат решения системы (6.50)6.5Методрасщеплениядлясистемыуравненийпереноса химических компонентовОсновную систему (6.9) можно представить в векторной форме∂Y= L(Y ) + f (Y )∂t(6.52)где L(Y ) - оператор, учитывающий диффузию и конвекцию:L(Y ) =∂∂x j ΓIeff ∂Y∂x j ∂ ( ρu j Y )−∂x j(6.53)f (Y ) - вектор источников (см.

п. 6.4). В системе (6.52) лучше отдельнорассматривать процессы переноса (конвекция и диффузия) и процессобразования компонента в результате химических реакций. Поэтому для еерешения имеет смысл применить метод расщепления по физическимпроцессам. Он состоит в следующем. На каждом шаге по времени вместосистемы уравнений (54) решается последовательность уравнений:∂Y1= L(Y1 )∂t(6.54)∂Y2= f (Y2 )∂t(6.55)при выполнении условий:( ) ( )( ) ( )( ) ( )Y1 t n = Y t n ,nn +1,Y2 t = Y1 t n +1n +1= Y2 tY t(6.56)В работе [24] показано, что для сходимости такой системы (т.е.аппроксимации и устойчивости) достаточно, чтобы сходилась каждая изсистем (6.54) и (6.55).Схема расщепления позволяет существенно сократить вычислительныересурсы.В каждое уравнение системы (6.54) входит только один химическийкомпонент; таким образом, можно решать каждое уравнение отдельно.

Причисленном решении это приводит к системе, состоящей из N nodes уравнений( N nodes - число узлов сетки).Уравнение (6.55) решается для каждого узла сетки для всех компонентов.Число неизвестных в нем равно N C .Если же решать сразу всю систему (54), то число неизвестных будетравно N nodes × N C .7.

Характеристики

Список файлов книги