4.1. Общие положения (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013), страница 2

проведем осреднение уравнения (1.11), используя правила(1.8),∂∂∂∂ 2u∂ 2u22′′′( ρu ) + ρu + ρ u + p + ρu v + ρ u v = µ 2 + µ 2∂t∂x∂y∂x∂y()()(1.13)Действительно, например,∂∂∂∂( ρ uv ) = ρ uv =  ρ ( u + u′ )( v + v′)  =  ρ ( u v + u′v + uv′ + u′v′ )  =∂y∂y∂y∂y∂∂∂ρ u′v′=  ρ u v + u′v + uv′ + u ′v′  = ( ρ u v ) + ∂y∂y ∂y( )()()Плотность не надо осреднять, т.к. она не пульсирует.По форме записи уравнение (1.13) очень похоже на исходное уравнение(1.11), но в нем появились два дополнительных члена: ρ u′2 , ρ u′v′ . Этосвязано с тем, что корреляции пульсаций случайных величин не равны нулю.Попробуем понять физический смысл этих дополнительных членов.Прежде всего, введем понятие турбулентной кинетической энергии:11K = ui′2 = u′2 + v′2 + w′222()(1.14)Эту энергию несут турбулентные вихри, и она отнюдь не равна нулю.

Какуже указывалось, турбулентность носит существенно трехмерный характер, ипоэтому не один из трех членов, входящих в (1.14), не равен нулю.Дополнительный член u ′2 является одной из составляющих турбулентнойкинетической энергии.Длятого, что понять смысл величины ρ u′v′ , представим следующуюумозрительную картину. Пустьв каком-то поперечном сечении слоясмешения профиль скорости имеет вид как на рисунке 2.В какой-то момент времени возникает крупный турбулентный вихрь ипусть в результате появляется положительная пульсация поперечнойскорости v′ .

За счет этого происходит перенос вещества вверх: из слоя скоординатой y1 (рис. 2) в слой с координатой y2 . Расстояние между слоями Lпримерно равно размеру возникшего вихря.В результате количество движения в слое y2 составит ρu1 = ρu ( y1 ) вместоколичества движения ρu2 = ρu ( y2 ) , которое было до возникновения вихря.Таким образом, произойдет изменение скорости, т.е. возникнет пульсацияпродольной скоростиu′ = u1 − u2Рис.2. Профиль скорости в поперечном сечении слоя смешения.(1.15)В данном примере эта пульсация имеет отрицательный знак, т.к. на рис.2скорость u1 меньше скорости u2 .

Т.е. происходит торможение потока в слоеy2 .Исходя из профиля скорости, представленного на рисунке, эту разницускоростей можно приблизительно выразить через производную скорости:u1 − u2 ≅ − L∂u∂y(1.16)В результате получается, что положительная пульсация случайнойвеличин v′ вызвала пульсацию случайной величины u′ , определяемуюформулой (1.16), т.е.u ′v′ ≅ −v′LАналогично,вслучае∂u∂y(1.17)отрицательнойпульсацииv′вызываетположительную пульсацию u′ , и в общем случае получается формулаu ′v′ ≅ − v′ L∂u∂y(1.18)В качестве оценки интенсивности пульсации поперечной скорости можноиспользовать среднеквадратичную величинуv′2 , и в результате послеосреднения имеем:ρ u′v′ ≅ − ρ v′2 L∂u∂y(1.19)Влияние пульсаций проявляется в том, что более медленный слойжидкости тормозит более быстрый, и, наоборот, более быстрый слойувлекает за собой более медленный. Такой физический процесс похож наобычное трение и называется турбулентным трением.При ламинарном режиме течения молекулярное трение в слое смешенияопределяется формулойτ =µ∂u∂yПо аналогии строится турбулентное трение(1.20)τ T ≡ − ρ u′v′ = µT∂u,∂y(1.21)гдеµT = C1 ρ v′2 L -(1.22)так называемый коэффициент турбулентной вязкости.В этой формуле C1 - константа порядка единицы.Вводим определения: величинаv′2 -масштаб пульсаций поперечнойскорости, L - масштаб турбулентности.

Таким образом, коэффициенттурбулентной вязкости пропорционален произведению масштаба пульсацийскорости на масштаб турбулентности, который имеет порядок линейногоразмера крупных турбулентных вихрей.Стоит отметить, что вывод формулы для обыкновенной молекулярнойвязкостидаетаналогичныйрезультат,тольковнейиспользуетсясреднеквадратичная скорость теплового движения молекули длинасвободного пробега молекул.Оценка величин, входящих в уравнение (1.13), показывает, что в слоесмешения справедливо:u ′2 u 2 ,∂ 2u∂ 2u∂x 2∂y 2(1.23)При использовании всех описанных допущений уравнение (1.13)принимает вид:∂∂∂∂ ∂u ( ρ u ) + ( ρ u 2 + p ) + ( ρ u v ) = ( µ + µT ) ∂t∂x∂y∂y ∂y 1.4.(1.24)Алгебраические модели турбулентностиФормула (1.22), полученная для двумерного слоя смешения, лежит воснове большинства используемых на практике способов моделированиятурбулентных течений - моделей турбулентности.Простейшими из них являются модели, основанные на алгебраическихформулахдлямасштабапульсацийскоростиv′2имасштабатурбулентности L .Для течения в пограничном слое успешно использовалась модель путисмешения (перемешивания) Прандтля.Она основана на двух предположениях.1) Турбулентный вихрь (комок жидкости) при перемещении изодногослояпограничногоиндивидуальность(своислоявсвойства)другойнасохраняетнекоторомсвоюрасстоянии,называемом путем перемешивания.

Это расстояние ассоциируется смасштабом турбулентности L .2) Средние пульсации поперечной скорости v′2 пропорциональныпульсациям продольной скорости, т.е. для них можно использоватьформулу (1.16)В результате получается следующая формула для коэффициентатурбулентной вязкостиµT = C2 ρ L2∂u∂y(1.25)Чаще всего полагают, что длина пути перемешивания пропорциональнарасстоянию от стенки.Для слоя смешения большее распространение получила формула,основанная на предположении, чтоv′2пропорциональна разностискоростей смешивающихся потоков жидкости ∆u , а масштаб турбулентностипропорционален ширине слоя смешения ∆y . В этом случаеµT = C3 ρ ∆u ∆y(1.26)Разумеется, числовые коэффициенты пропорциональности C1 , C2 , C3 имеютсовершенно разные значения в рассматриваемых формулах (1.22), (1.25) и(1.26).Основнымдостоинствомалгебраическихмоделейтурбулентностиявляется их простота.

Основная система уравнений, описывающих движениежидкости и называемых уравнениями Рейнольдса, по форме практическисовпадает с системой уравнений Навье-Стокса. Только вместо коэффициентадинамической вязкости µ используется некая эффективная вязкостьµ ef = µ + µT ,(1.27)а вместо мгновенных значений параметров ( например, u ) используетсяих осредненные аналоги ( u и т.п.)1.5.Турбулентностьвпотокахпеременнойплотности.Осреднение по Фавру.ПравилаосредненияРейнольдсаможноприменитькосновнымуравнениям динамики жидкости и в случае сжимаемых течений, т.е. в случае,когда плотность не является константой.

Однако для сжимаемых течений вполученныхуравненияхсодержитсябольшоеколичествочленов,содержащих пульсации плотности.Для устранения этой проблемы используется метод, предложенныйФавром [2], в котором используются так называемые среднемассовыезначения параметров или средние по Фавру:ρTT =ρ(1.28)Мгновенные значения величин в этом случае представляются в виде:T = T + T ′′ ,(1.29)где T ′′ - пульсационная составляющая по Фавру, т.е. мгновенноеотклонение параметра от среднего по Фавру.Для средних по Фавру и соответствующих пульсаций справедливыследующие соотношения:ρ ( A ± B) A± B == A ± B,(1.30) = A ρ B = AB,AB(1.31)ρρ()ρ A′′ = ρ A − A = ρ A − ρ A = ρ A − ρ A = 0,()()((1.32)) + B′′ = ρ + A′′ B+ρ AB = ρ A + A′′ BABAB′′ + A′′B′′ =(1.33) + ρ A′′ B + ρ + ρ A′′B′′ = ρ + ρ= ρABAB′′ + ρ A′′B′′ = ρ ABABA′′B′′,()( ρ + ρ ′) A + A′ρAA′′ = A − A = A− A= A−= A−=(= A−)ρρ( ρ A + ρ ′ A + ρ A′ + ρ ′A′) = − ρ ′ A′ ≠ 0ρρ(1.34).