3.6. Представление вязких потоков (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013)

6. Представление вязких потоков6.1.Векторно-матричное представлениеВекторы вязких потоков FV , GV , HV с учетом формул (1.11)-(1.13) имеютвид:000 −τ−τ xy xx −τ xz −τ yy −τ yx −τ yz , HV =  −τ zzFV =  −τ zx , GV =  −τ zy q − uτ qx − uτ xxτq−uzxzxy y −vτ yy − wτ zy   −vτ yz − wτ zz   −vτ yx − wτ zx  (6.1)Для компонент тензора вязких напряжений и вектора плотноститеплового потока используются формулы (1.7), (1.8).Тогда вектор FV , например, имеет вид0 4 ∂u 2 ∂v 2 ∂w− µ+ µ + µ 3 ∂x 3 ∂y 3 ∂z ∂v − µ − µ ∂u∂y ∂xFV =  (6.2) − µ ∂w − µ ∂u∂x∂z∂T 4∂u∂v∂w   2∂v∂u   2∂w∂u  − uµ− vµ − wµ− wµ    −λ +  u µ − vµ  +  u µ∂x 3∂x∂x∂x   3∂y∂y   3∂z∂z  Внутренняяэнергияидеальногогазаявляетсяфункциейтолькотемпературы и связана соотношением:CV =dedT(6.3)Отсюда∂T dT ∂e1 ∂e==∂x de ∂x CV ∂x(6.4)Если использовать число ПрандтляPr =µCP µγ CV=,λλ(6.5)∂T µγ ∂e=∂x Pr ∂x(6.6)то:λВ предыдущем параграфе был введен вектор V :ρ u  V = v   we Используя этот вектор, можно записать вектор вязкого потока FV вкомпактной векторно-матричной форме:FV = M FX∂V∂V∂V+ M FY+ M FZ∂x∂y∂z(6.7)где матрицы M FX , M FY , M FZ определяются соотношениямиM FX00= −µ  000043004u300001001v w00 00 ,M FY = − µ  000 0γ 0Pr 0010v02−3002− u30 00 00 00 0,M FZ = − µ  0 00 00 00 10 w0 00000002−3002− u300(6.8)00Для вязких потоков в направлениях y и z несложно получить формулыаналогичные (6.7):GV = M GX∂V∂V∂V+ M GY+ M GZ,∂x∂y∂z(6.9)HV = M HX∂V∂V∂V+ M HY+ M HZ∂x∂y∂z(6.10)УпражнениеОпределить матрицы M GX , M GY , M GZ и M HX , M HY , M HZ , входящие в формулы(6.9) и (6.10).6.2.Аппроксимация вязких потоков в явной формеПроизводные вектора V, входящие в вязкие потоки, легко представляютсяв разностной форме через значения в соседних по отношению к граням узлысетки.

Только это представление будет различным для каждого из потоков.Например, на грани ( i + 1 / 2, j, k ) рассматриваемого контрольного объемаэта аппроксимация имеет видV− Vi , j ,k ∂V = i +1, j ,k∆x ∂x i +1/ 2, j , k 1 Vi , j +1,k − Vi , j −1,k Vi +1, j +1, k − Vi +1, j −1,k  ∂V  ∂V 1  ∂V = +=  + (6.11)2∆y2∆y ∂y i +1/ 2, j , k 2  ∂y i , j ,k  ∂y i +1, j ,k  2 1 Vi , j ,k +1 − Vi , j ,k −1 Vi +1, j ,k +1 − Vi +1, j ,k −1  ∂V = +2∆z2∆z ∂z i +1/ 2, j , k 2 Параметры газа, входящие в матрицы M⋅⋅ , определяются как средниемежду значениями в соседних узлах. Например,( M GX )i +1/ 2, j ,k =1( M GX )i, j ,k + ( M GX )i +1, j ,k 2(6.12)Аналогично этим примерам строятся производные вектора V исоответствующие матрицы на других гранях контрольного объема.УпражнениеПолучить формулы для аппроксимации производных вектора Vнагранях ( i, j + 1 / 2, k ) , ( i, j , k − 1 / 2 )6.3. Неявное представление вязких потоков.

Предположение о«тонком слое»Вектор V является взаимно-однозначной функцией вектора U.Следовательно, формулы (6.7), (6.9), (6.10) можно записать в виде∂V ∂U∂V ∂U∂V ∂U+ M FY+ M FZ∂U ∂x∂U ∂y∂U ∂z∂V ∂U∂V ∂U∂V ∂UGV = M GX+ M GY+ M GZ∂U ∂x∂U ∂y∂U ∂z∂V ∂U∂V ∂U∂V ∂UHV = M HX+ M HY+ M HZ∂U ∂x∂U ∂y∂U ∂zFV = M FXВязкие потоки, таким образом, зависят, ввектораUx =аU,отего(6.13)основном, не от самогопространственныхпроизводных∂U∂U∂U, Uy =, Uz =.∂x∂y∂zПоэтому при выражении вязких потоков на ( n + 1) -м шаге по временичерез потоки наn -мшаге с помощью разложения в ряд Тейлора ( поформуле (4.11) ) следует использовать не приращение относительно δ U n+1 , аn +1приращения относительно δ (U x ) , δ (U y ) , δ (U z ) .

Например,n +1nFVn +1 ∂F ∂F n +1= FV +  δ ( U ) x +  ∂U x  ∂U ynn +1nn ∂F n +1n +1 δ ( U ) y +  δ (U ) z ∂U z (6.14)Такое представление не очень удобно для численного решения системыалгебраических уравнений. Дело в том, что появление смешанныхпроизводных в неявной аппроксимации основного уравнения приведет ктому, что ленточная матрица этой системы будет иметь значительнобóльшую ширину ленты, чем было бы без учета смешанных производных. Вчастности, для двухмерных задач ширина лента становится равной 9, вместо5. Это существенно усложнит решение системы.Поэтому используется так называемое предположение о «тонком слое»,введенное Tysinger, T., Caughey, D.

[4]. Оно состоит в том, что смешаннымипроизводными в неявном представлении вязких потоков можно пренебречь.Исходя из этого предположения, в формуле (6.14) можно пренебречьn +1n +1членами, содержащими δ (U ) y , δ (U ) z . Действительно, поток FV входит вn +1производную по координате x, следовательно, именно δ (U ) y , δ (U ) zn +1приводят к появлению смешанных производных в неявном представлениивязких потоков.Введем обозначения:L=Тогда∂FV∂G∂HV∂V∂V∂V≡ M FX; N = V ≡ M GY; K=≡ M HZ∂U x∂U∂U y∂U∂U z∂Uформулыдлянеявногопредставлениявязких(6.15)потоковпредставляются в виде:∂δ U n +1 )(∂x∂n +1GV n +1 = GV n + N nδ ( U ) y = GV n + N n (δ U n +1 )∂y∂n +1HV n +1 = HV n + K nδ (U ) x = HV n + K n (δ U n +1 )∂zFV n +1 = FV n + Lnδ (U ) xn +1= FV n + Ln(6.16)При этом вязкие потоки на n-ом шаге рассчитываются по полнымформулам(6.7),(6.9),(6.10),вкоторыхучитываютсясмешанныепроизводные.

Т.к. эти потоки представлены в явной форме, никаких проблемсо смешанными производными не возникает.Матрица∂V∂Uопределяется по формуле (5.40), рассмотренной впредыдущем параграфе.Конкретныезначенияпотоковнаграняхконтрольногообъемаопределяются, исходя из формул (6.16). Например, на грани ( i + 1 / 2, j, k ) :n( FV )i +1/2, j ,k = ( FV )i +1/ 2, j ,k + α Lni+1/2, j ,k1δ U in+1, j ,k − δ U in, j ,k ) ,(∆x(6.17)1(δ Uin, j ,k − δ Uin, j −1,k )∆y(6.18)на грани ( i, j − 1 / 2, k ) :n( GV )i, j −1/2,k = (GV )i, j −1/ 2,k + α N in, j −1/ 2,kи т.д.6.4. Неявное представление вязких потоков.

Предположение о«малости дивергенции скорости»Предположение о «тонком слое» позволяет получить достаточно быстросходящий процесс итераций при численном решении основной системыуравнений.Однако входящие в него гипотезы никак не обоснованы с физическойточки зрения.Рассмотрим, например, течение впограничном слое или в слоесмешения, когда основной поток движется по направлению оси x, а ось yнаправлена перпендикулярно этому движению.

В этом случае:∂u ∂v ∂v ∂u∼ ;∂x ∂y ∂x∂y(6.19)Тем не менее, при использовании предположения о «тонком слое» вовторой компоненте вектора F 4 ∂u 2 ∂v − 3 ∂x 3 ∂y τ xx = µ отбрасывается член∂u∂v, который имеет такой же порядок, как и.∂x∂yВ третье компоненте вектора F ∂u ∂v +  ∂y ∂x τ yx = µ отбрасывается член∂u, который на самом деле значительно больше чем∂y∂v.∂xПримеры можно продолжить.Такие нестыковки могут приводить к замедлению процесса сходимостиитерационного процесса и даже к потере устойчивости.Вероятно, более правильно было бы при упрощении вязких потоков внеявномпредставлениипредпосылки.использоватьреалистичныефизическиеПредлагаемое здесь допущение основано на том, что даже в сжимаемыхтечениях дивергенция скорости невелика.

Во всяком случае, величинадивергенции существенно меньше отдельных членов, входящих в еевыражение.В этом случае выражение для сил вязкости в уравнении количестваможно упростить:∂∂   ∂ui ∂u j   ∂   ∂u j  ∂  ∂uiτ ji ≈++µ µ   ≈µ ∂xi∂xi   ∂x j ∂xi   ∂xi   ∂xi  ∂xi  ∂x j =∂   ∂u j  ∂  ∂ui  ∂   ∂u j  =µ µ  + µ≈∂xi   ∂xi  ∂x j  ∂xi  ∂xi   ∂xi  т.к. предполагается, что дивергенция скорости(6.20)∂uiмала.∂xiТаким образом,j = 1:∂∂   ∂u   ∂   ∂u   ∂   ∂u  τ ji ≈  µ    +  µ    +  µ   ∂xi∂x   ∂x   ∂y   ∂y   ∂z   ∂z  j = 2:∂∂   ∂v   ∂   ∂v   ∂   ∂v  τ ji ≈  µ    +  µ    +  µ   ∂xi∂x   ∂x   ∂y   ∂y   ∂z   ∂z  j = 3:∂∂   ∂w   ∂   ∂w   ∂   ∂w  τ ji ≈  µ    +  µ    +  µ   ∂xi∂x   ∂x   ∂y   ∂y   ∂z   ∂z  Аналогичным образом можно приблизительно оценить вязкие члены вуравнении энергии: ∂u ∂u j   ∂ ∂∂ ∂ui  ∂u jτ ji ≈u j µ  i +  =u j µ+∂xi∂xi ∂x∂x∂x∂xjiij ∂xi∂u j ∂u ∂∂  ∂ui  ∂ = iµu j ) + u j µ(+u j µ=∂x j ∂xi∂xi  ∂x j  ∂xi ∂xi =∂ui ∂∂µu j ) + u j µ(∂x j ∂xi∂x jИли ∂ui  ∂ + ∂xi  ∂xi∂u j u j µ∂xi ∂u j ∂u j  ∂ u j µ≈u j µ∂xi  ∂xi ∂xi ∂∂  ∂u∂v∂w u jτ ji ≈ u µ+ vµ + wµ∂xi∂x  ∂x∂x∂x +∂  ∂u∂v∂w + vµ + wµu µ∂y  ∂y∂y∂y +∂  ∂u∂v∂w uvw++µµµ∂z  ∂z∂z∂z (6.21)Т.е.

для приблизительной оценки вязких потоков можно использоватьформулы:000∂u− µ ∂u  − µ  ∂u −µ  ∂y    ∂x ∂z  ∂v v∂ − µ  ∂v −µ   − µ  ∂y   ∂x ∂z    ∂w  , GV ≈  − µ  ∂w  (6.22)FV ≈  − µ  ∂w H≈,−µ V  ∂x ∂y∂z ∂u∂v  ∂u∂v∂u∂v    −u µ− vµuv−−µµ −u µ ∂y − vµ ∂y  ∂x∂x  ∂z∂z  ∂w µγ ∂e  ∂w µγ ∂e  µγ∂∂we−− − wµ − wµ − wµ ∂y − Pr ∂y  ∂x Pr ∂x  ∂z Pr ∂z  Таким образом, на основе физически обоснованных допущений полученывязкие потоки, в которых отсутствуют смешанные производные.Векторно-матричная форма потоков имеет вид:∂V∂V ∂U= MV,∂x∂U ∂x∂V∂V ∂UGV ≈ MV= MV,∂y∂U ∂y∂V∂V ∂UHV ≈ M V= MV∂y∂U ∂z(6.23)000MV = − µ 00(6.24)FV ≈ MVгде0 001 00 1000 01u v w0 0 0 0 γ Pr Матрица MV отличается от матриц M FX , M HY , M HZ , входящих в формулы(6.7), (6.9), (6.10), в основном, одним числовым коэффициентом (1 вместо4/3).Для неявного представления вязких потоков используются точно такиеже формулы, как в случае предположения о «тонком слое» - формулы (6.16):∂δ U n +1 )(∂x∂GV n +1 = GV n + N n (δ U n +1 )∂y∂HV n +1 = HV n + K n (δ U n +1 )∂zFV n +1 = FV n + LnТолько матрицы определяются какL = N = K = MV∂V∂U(6.25)Важно еще раз напомнить, что упрощенная матрица M V используетсятолько для неявного представления потоков, а для явного представленияиспользуются точные формулы.

Так как в результате итераций δU n +1 → 0 , тополученное в результате итераций решение разносной системы соответствуетименно точным формулам для вязких потоков..