3.4. Конечно-объемная аппроксимация основного уравнения (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013)

4. Конечно-объемная аппроксимация основного уравненияЕсли представить, что параметры F , G, H , входящие в основное уравнение(1.1), являются компонентами некоторого вектора F в системе координат( x, y, z ) , то это уравнение можно записать в виде∂U+ div F = 0∂t(4.1)Проинтегрируем это выражение по некоторому неподвижному объему V∂UdV + ∫∫∫ div FdV = 0∫∫∫∂t VV(4.2)Здесь учитывается, что т.к. объем неподвижен, то∫∫∫V∂U∂dV = ∫∫∫ UdV∂t∂t V(4.3)Используя теорему Гаусса-Остроградского, получаем, что для любогоконтрольного объема V с поверхностью S: ∂UdV+F∫∫S indS = 0 ,∂t ∫∫∫Vгде n(4.4)- единичный вектор, направленный наружу по нормали кповерхности к рассматриваемому объему;ndS- векторный элементповерхности с нормалью n ; F - вектор вязких и невязких потоковконсервативной величины U , проходящих через поверхность объема.Рассмотрим в качестве объема V контрольный объем, имеющий формупараллелепипеда со сторонами параллельными осям x,y,z соответственно(V = ∆x × ∆y × ∆z ) .

Двумерный вариант этого контрольного на плоскости 0xyпоказан на рис.1 (заштрихованный участок).Интегрирование (4.4) по такому объему с учетом того, что F = ( F , G , H )дает следующее:∂UdV + ∫∫ ( Fi +1/ 2 − Fi −1/ 2 ) dydz + ∫∫ ( G j +1/ 2 − G j −1/ 2 ) dxdz∂t ∫∫∫V∆y ∆z∆x ∆z+ ∫∫ ( H k +1/ 2 − H k −1/ 2 ) dxdy = 0(4.5)∆x ∆yИндексы i,j,k нумеруют ячейки контрольных объемов по осям x,y,zсоответственно. Индекс i + 1/ 2 в функции Fi +1/ 2 означает, что эта функцияберется на грани, разделяющей ячейки ( i, j, k ) и ( i + 1, j , k ) . Аналогично, индексi − 1/ 2 относится к грани, разделяющей ячейки( i − 1, j, k ) и ( i, j, k ) , индексj − 1/ 2 относится к грани, разделяющей ячейки ( i, j − 1, k ) и ( i, j , k ) и т.д.Основное допущение состоит в том, что каждый поток постоянен по всейграни, т.е., например, для потока вдоль оси∫∫ ( Fi +1/ 2xсправедливо:− Fi −1/ 2 ) dydz = ( Fi +1/ 2 − Fi −1/ 2 ) ∆y∆z(4.6)∆y ∆zКроме того, полагаем, что∫∫∫ UdV ≅ UV = U i , j , k ∆x∆y∆z ,i, j ,k(4.7)Vгде U i , j , k - значение U в центре ячейки ( i, j, k ) .Тогда уравнение (4.5) принимает видFi +1/ 2, j , k − Fi −1/ 2, j , k Gi , j +1/ 2, k − Gi , j −1/ 2, k H i , j , k +1/ 2 − H i , j , k −1/ 2 ∂U +++=0∆x∆y∆z ∂t i , j , k(4.8)Это уравнение является основой для методов численного решенияуравнений Навье-Стокса.Обозначим через δ U n +1 приращения вектора U при переходе отn-гошага по времени к ( n + 1) -му шагуδ U n +1 = U n +1 − U n(4.9)На каждом шаге по времени стоит задача определения U n+1 по известнымзначениям U n .Потоки F,G,H являются функциями U :F = F (U ) , G = G ( U ) ,H = H (U )(4.10)Нетрудно показать, что для этих векторных функций справедливы те жеформулы дифференциального исчисления, что и для обычных функций.

Вчастности, можно выразить потоки на ( n + 1) -ом шаге через потоки на n-омшаге с помощью разложения в ряд Тейлора относительно приращения δ Un +1:nFn +1Gn +1 ∂F n +1= F + δU , ∂U nn ∂G n +1=G + δU , ∂U n(4.11)nHЗдесь∂F ∂G ∂H,,∂U ∂U ∂Un +1 ∂H n +1= H + δU∂Un- матрицы Якоби функций, входящих в векторыF,G,H, в пространстве функций, входящих в U. Например, ∂F1 ∂U 1 ∂F2∂F = ∂U1∂U   ∂F5 ∂U 1∂F1 ∂U 5 ∂F2 ∂U 5  ∂F5 ∂U 5 ∂F1∂U 2∂F2∂U 2∂F5∂U 2(4.12)Члены, содержащие производные выше первой, в формулах (4.11)отброшены.Выразимпотоки,входящиевуравнение(4.8),каклинейнуюкомбинацию значений на n -м и ( n + 1) -м шагах по времениnF = (1 − α ) F + α Fnn +1 ∂F n +1= F +α  δU , ∂U nnG = (1 − α ) G + α Gnn +1 ∂G n +1= G +α  δU , ∂U n(4.13)nH = (1 − α ) H + α Hnn +1 ∂H n +1= H +α  δU∂UnЗдесь α - параметр, характеризующий порядок точности представленияпроизводной по времени.

Если α = 0.5 , порядок равен 2, и схема подобнасхеме Кранка-Николсона; при α = 1 получается чисто неявная схема;значение α > 1 дает завышенную релаксацию, но это может улучшатьсходимость метода.Подстановка формул (4.9), (4.13) в уравнение (4.8) позволяет получитьконечно-объемную аппроксимацию основного уравнения (1.1):δ U in, +j ,1k∆t++nα  ∂F δU∆x  ∂U i +1/2, j ,knα  ∂G δU∆y  ∂U i , j +1/2,kn +1i , j +1/ 2, kn +1i +1/2, j , kn ∂F 1−δ U in−+1/2,j ,k  ∂U i −1/2, j ,kn ∂G −δ U in, +j −11/2,k  ∂U i , j −1/2, knnα  ∂H  ∂H n +1+δ U in, +j ,1k −1/2 δ U i , j ,k +1/ 2 − ∆z  ∂U i , j ,k +1/2 ∂U i , j ,k −1/2(4.14) Fi +n1/2, j ,k − Fi −n1/2, j ,k Gin, j +1/2,k − Gin, j −1/ 2,k H in, j ,k +1/ 2 − H in, j ,k −1/2 = −++∆x∆y∆zДля того, чтобы получить из (4.14) замкнутую систему линейныхалгебраических уравнений необходимо выразить неизвестную функцию U награнях контрольного объема через значения U в узловых точках.К сожалению, эта операция является отнюдь не тривиальной и требуетсущественных усложнений и без того громоздкого разностного уравнения(4.14)..