2.3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013)

3.Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости.Подробноеописаниеэтихпонятийсовсеминеобходимымиматематическими доказательствами содержится, например, в книге ГодуноваС.К., Рябенького В.С. [2].3.1. Сходимость, порядок точностиБудем говорить, что решение дискретной φ ( h) задачи (2.7) сходится крешению дифференциальной задачи (2.1) , еслиφh − φ [h] → 0 при h → 0 ,(3.1)где φh - множество значений искомой функции в сеточных узлах, т.е.φh = (φ ( x1 ) ,φ ( x2 ) ,φ ( x3 ) ,...,φ ( xN ) )(3.2)Напомним, что через φ ( h) обозначается набор решений алгебраическихуравнений, полученных в результате дискретизации – формула (2.6).Нормана сеточных узлах может быть задана разными способами,например, как максимальное значение модуля:φh − φ [h] = max φ ( xn ) − φn ,n(3.3)или как1/ 2φh − φ[h]21=  φ ( xn ) − φn N(3.4)Кроме определения (3.1) можно ввести еще и порядок точности: есливыполнено неравенствоφh − φ [h] < ch k ,(3.5)где c > 0, k > 0 некоторые постоянные, не зависящие от h , то говорят, чтодискретная схема имеет k − ый порядок точности.3.2.

Невязка, аппроксимацияПодставим φh , т.е. множество значений искомой функции в сеточныхузлах, в уравнение (2.7), которое является дискретным аналогом исходногодифференциального уравнения. При этом возникнет так называемая невязка,определяемая какLhφh = f ( ) + δ f (hh)(3.6)В качестве примера определим невязку для уравненияd 2φdφ+ a ( x)=02dxdxИспользуемформулы(2.10)и(3.7)(2.11)длядискретизацииэтогодифференциального уравнения, т.е.Lhφ ( ) =hf( h)φn +1 − 2φn + φn −1h2+ a ( xn )φn +1 − φn −12h=0(3.8)=0Используем для точных решений искомой функции формулу Тейлора:111 ( IV )φ (ξ1 ) h 42624111φ ( xn +1 ) = φ ( xn ) + φ ′ ( xn ) h + φ ′′ ( xn ) h 2 + φ ′′′ ( xn ) h3 + φ ( IV ) (ξ 2 ) h 42624φ ( xn −1 ) = φ ( xn ) − φ ′ ( xn ) h + φ ′′ ( xn ) h 2 − φ ′′′ ( xn ) h3 +(3.9)где ξ1 и ξ2 -некоторые промежуточные точки отрезка [ xn −1 , xn +1 ] .Определяем Lhφh , т.е.

подставляем в (3.8) вместо φn искомую функциюφ ( xn ) , вместо φn −1 - φ ( xn −1 ) , вместо φn +1 - φ ( xn +1 ) , т.е.1 ( IV )1φ (ξ 2 ) h 2 + a ( xn ) φ ′′′ (ξ ) h 2 =241211hIV= f ( ) + φ ( ) (ξ 2 ) h 2 + a ( xn ) φ ′′′ (ξ ) h 22412Lhφh = φ ′′ ( xn ) + a ( xn ) φ ′ ( xn ) +Отсюда невязка равна:(3.10)δ f ( h) =1 ( IV )1φ (ξ 2 ) h 2 + a ( xn ) φ ′′′ (ξ ) h 22412(3.11)Если искомая функция имеет ограниченные производные, то можнозаписать, чтоδ f ( h ) ≤ Ch 2(3.12)где C - некоторая постоянная, зависящая от φ , но не зависящая от h .Определение.Будемговорить,чтодискретнаясхемаLhφ ( h) = f ( h )аппроксимирует задачу Lφ = f на решение φ , если для невязки справедливо:δ f ( h ) → 0 при h → 0(3.13)Если, сверх того, имеет место неравенствоδ f ( h ) ≤ Ch k(3.14)где C > 0, k > 0 некоторые постоянные, не зависящие от h , то говорят, чтоимеет место аппроксимация порядка h k или порядка k относительновеличины h .3.3.

УстойчивостьДостаточно ли аппроксимации для сходимости?Можно показать [2], что одной аппроксимации недостаточно для того,чтобы решение дискретной задачи сходилось к решению дифференциальнойзадачи. Для сходимость необходимо еще и условие устойчивости.Определение. Будем называть дискретную схему Lhφ ( h) = f ( h ) устойчивой,если существуют числа h0 > 0 и δ > 0 такие, что при любом h < h0 и любомε ( h) , таком, чтоε (h) < δдискретная задачаLh z ( ) = f ( ) + ε ( ) ,hhhполученная из исходной дискретной схемы добавлением к правой частивозмущения ε ( h) , имеет одно и только одно решение z ( h ) , причем это решениеотклоняется от решения φ ( h) невозмущенной задачи на сеточную функциюhhz ( ) − φ ( ) , удовлетворяющую условиюz( ) − φ (hh)≤ C1 ε (h)(3.15)где C1 - некоторая постоянная, не зависящая от h .Равенство (3.15) означает, что малое возмущение ε ( h) правой частивызывает малое возмущение решения ( z ( h) − φ ( h) ) .В случае линейного оператора Lh сформулированное определениеравносильно следующему.Дискретная задача Lhφ ( h) = f ( h ) устойчива, если существует h0 > 0 такое,что при любом f ( h ) она однозначно разрешима, причемφ ( h ) ≤ C1 f ( h )(3.16)где C1 - некоторая постоянная, не зависящая от h и f ( h ) .Сформулируем важную теорему, характеризующую зависимость междуаппроксимацией, устойчивостью и сходимостью.Теорема.

Пусть дискретная схема Lhφ ( h) = f ( h) аппроксимирует задачуLφ = f на решении и с порядком точности hk и устойчива. Тогда решение φ (h)задачи Lhφ ( h) = f ( h) сходится к φh , причем имеет место оценкаφh − φ [h] < CC1h k ,где C , C1 - числа, входящие в оценки (3.14) и (3.16).(3.17).