1.5. Основные уравнения динамики вязкой жидкости в различных системах координат (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013)
Описание файла
Файл "1.5. Основные уравнения динамики вязкой жидкости в различных системах координат" внутри архива находится в папке "Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013". PDF-файл из архива "Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "прикладная гидроаэротермогазодинамика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "книги и методические указания", в предмете "прикладная гидроаэротермогазодинамика" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
5. Основные уравнения динамики вязкой жидкости вразличных системах координат.5.1.Декартова система координатКак уже указывалось, в декартовой системе координат нет различиямежду ковариантными и контравариантными компонентами вектора итензора, а метрический тензор записывается в виде единичной матрицы.В этом случае основные уравнения динамики вязкой жидкости имеютследующий вид.Уравнение неразрывности∂ρ ∂+( ρui ) = 0∂t ∂xi(5.1)Уравнение количества движения∂∂ρu j ) +(( ρuiu j + δij p − τ ji ) = ρ Fj ,∂t∂xij = 1, 2,3(5.2)Уравнение энергии∂(ρE)∂t+∂∂xip ρ ui E + − u jτ ji + qi = ρ Fj u jρ(5.3)Напомним, что в этих уравнениях:ρ - плотность; ui - компоненты вектора скорости; p - давление;E -полная внутренняя энергия; F - плотность массовой силы.В случае линейной вязкой жидкости эти уравнения дополняютсявыражениями для компонент тензора вязких напряжений τ ij и вектораплотности теплового потока qi : ∂ui ∂u j 2∂u+− δ µ m, ∂x j ∂xi 3 ij ∂xm(5.4)∂T∂xi(5.5)τ ij = µ qi = −λгде µ- коэффициент динамической вязкости, λ- коэффициенттеплопроводности.Удельная внутренняя энергия e связана с полной - E соотношением:e=E−uiui2(5.6)Для идеального газа справедливо:p = ρ RT = ( γ − 1) CV T ρ = ( γ − 1) eρЗдесь:T-температура,γ-показатель адиабаты,(5.7)CV- удельнаятеплоемкость при постоянном объеме.Полная энтальпия H и удельная энтальпия вводятся по формулам:H =E+pρ,ui 2h=H −2(5.8)(5.9)Иногда удобнее использовать уравнение энергии в форме энтальпии.
Онополучается из уравнения (5.3) с учетом (5.8) и (5.9), а также уравненияколичества движения (5.2):∂∂dp ∂q∂u( ρ h ) + ( ρ u j h ) = − j + τ ij i∂t∂x jdt ∂x j∂x j5.2.(5.10)Цилиндрическая система координатВ цилиндрической системе точка M задается координатами ( r ,θ , z ) :ζ 1 = r, ζ 2 = θ , ζ 3 = z(5.11)Рис.10. Цилиндрическая система координат.Компоненты метрического тензора равныg11 = 1, g 22 = r 2 , g33 = 1g 11 = 1, g 22 =1 33, g =1r2(5.12)Ненулевые символы Кристоффеля второго рода:12Γ 221 = Γ12= , Γ122 = −rr(5.13)1) Уравнение неразрывностиФизические компоненты скорости равны ui = u i = v i gii , т.е.:ur = v1 , uθ = v 2 r , u z = v 3(5.14)uθ, v3 = u zr(5.15)Отсюдаv1 = ur , v 2 =Дивергенция скорости определяется формулой (3.58)div v ≡ ∇i vi =∂ur ur 1 ∂uθ ∂uz+ ++∂rr r ∂θ∂z(5.16)Таким образом, уравнение неразрывности имеет вид:∂ρ ∂1 ∂∂ρu+ ( ρ ur ) +( ρuθ ) + ( ρuz ) + r = 0∂t ∂rr ∂θ∂zr(5.17)2) Уравнение количества движенияТензор вязких напряжений задается формулой (4.47):2τ ki = µ ( g kj ∇ j vi + g ij ∇ j v k ) − div ( v ) g ki 3(5.18)Ковариантные производные вектора равны∇iv k =∂v k+ v j Γ kji∂ζ i(5.19)С учетом определения физических компонент вектора (5.15) получаем:2 ∂u1∂u ∂u τ 11 = µ 2 r − ur + θ − z ,∂θ ∂z 3 ∂r r τ 22 = µ1r2 4 1 ∂uθ 2 ∂ur 4 12 ∂u z 3 r ∂η 2 − 3 ∂r + 3 r ur − 3 ∂z ,2 ∂u1∂u ∂u τ 33 = µ − r − ur + θ + 2 z ,3 ∂r r ∂θ ∂z 1 ∂u1 ∂uτ 12 = τ 21 = µ θ + r − uθ ,r ∂r r ∂θ ∂uz ∂ur+∂z ∂rτ 13 = τ 31 = µ 1 1 ∂u,∂u zτ 23 = τ 32 = µ + θr r ∂θ∂z Введем физические компоненты тензора вязких напряжений:(5.20)(5.21)(5.22)(5.23)(5.24)(5.25)2 ∂u1∂u ∂u τ rr = τ 11 g11 = τ 11 = µ 2 r − ur + θ − z 3 ∂r r ∂θ ∂z ∂u 2 ∂ur 2 ∂uθ+ 2 + ur − z 3 ∂r r ∂η ∂z τ θθ = τ 22 g 22 = τ 22 r 2 = µ −2 ∂u1∂u ∂u τ zz = τ 33 g 33 = τ 33 = µ − r − ur + θ + 2 z 3 ∂r r ∂θ ∂z ∂uθ 1 ∂ur+ − uθ ∂r r ∂θτ rθ = τ θ r = τ 12 g11 g 22 = τ 12 r = µ (5.26)(5.27)(5.28)(5.29) ∂u z ∂ur +∂z ∂r(5.30) 1 ∂u z ∂uθ +∂z r ∂θ(5.31)τ rz = τ zr = τ 13 g11 g33 = τ 13 = µ τ θ z = τ zθ = τ 23 g 22 g33 = τ 23r = µ Таким образом:1rτ 11 = τ rr , τ 12 = τ rθ , τ 13 = τ rz ,1rτ 21 = τ rθ , τ 22 =11τ , τ 23 = τ θ z ,2 θθrr(5.32)1rτ 31 = τ zr , τ 32 = τ zθ , τ 33 = τ zzКовариантные производные тензора равны:∂τ ikk∇ iτ =+ τ mk Γ imi + τ im Γ mii∂ηik(5.33)Рассмотрим уравнения для каждого значения индекса k .k = 1 : уравнение количества движения для компоненты скорости urКомпоненты ∇iτ ik :∇iτ i1 = ∇1τ 11 + ∇ 2τ 21 + ∇3τ 31 =∂τ 11 ∂τ 21∂τ 3111 122++−r+=ττ∂η 1 ∂η 2r∂η 3∂τ∂ 1 ∂τ zr 1= rr ++ (τ rr − τ θθ ) τ rθ +∂r ∂θ r ∂zrКомпоненты ∇i ( ρ vi v k ) :(5.34)∇i ( ρ vi v1 ) =∂1 ∂∂1( ρ u r ur ) +( ρuθ ur ) + ( ρuzur ) + ( ρur ur − ρuθ uθ )∂rr ∂θ∂zr(5.35)Градиент давления:g i1∇i p = g 11∇1 p =∂p∂r(5.36)Таким образом, уравнение количества для компоненты ur имеет вид:∂∂1 ∂∂( ρ ur ) + ( ρur ur + p − τ rr ) +( ρ uθ ur − τ rθ ) + ( ρ uzur − τ zr )∂t∂rr ∂θ∂z1+ ( ρ ur ur − ρ uθ uθ − τ rr + τ θθ ) = ρ Frr(5.37)k = 2 : уравнение для uθКомпоненты ∇iτ ik :∂τ 12 ∂τ 22 ∂τ 32 1∇iτ = ∇1τ + ∇ 2τ + ∇3τ =+++ ( 2τ 12 + τ 21 ) =∂r∂θ∂zr∂ 1 ∂ 11 11 ∂ 1= τ rθ +τ zθ + 2 τ rθ + τ rθ = 2 τ θθ +∂r r ∂θ rr rr ∂z r1 ∂1 ∂τ θθ ∂τ zθ 2 = τ rθ +++ τ rθ r ∂rr ∂θ∂zr i2122232(5.38)Компоненты ∇i ( ρ vi v k ) :1 ∂1 ∂∂1∇i ( vi v 2 ) = ( ur uθ ) +( uθ uθ ) + ( uzuθ ) + 2ur uθ r ∂rr ∂θ∂zr(5.39)Градиент давления:g i 2∇i p = g 22∇ 2 p =1 ∂pr 2 ∂θ(5.40)Уравнение для компоненты uθ :∂∂1 ∂∂( ρ uθ ) + ( ρ ur uθ − τ rθ ) +( ρuθ uθ + p − τ θθ ) + ( ρ uzuθ − τ zθ )∂t∂rr ∂θ∂z2+ ( ρ ur uθ − τ rθ ) = ρ Fθr(5.41)k = 3 : уравнение для u zКомпоненты ∇iτ ik :∇iτ i 3 = ∇1τ 13 + ∇ 2τ 23 + ∇3τ 33 =∂τ rz 1 ∂τ θ z ∂τ+ + τ rz + zz∂rr ∂θ ∂z(5.42)Компоненты ∇i ( ρ vi v k ) :∇i ( ρ v i v 3 ) =∂1 ∂∂1( ρ ur u z ) +( ρ uθ uz ) + ( ρuzuz ) + ρ ur uz∂rr ∂θ∂zr(5.43)Градиент давления:g i 3∇i p = g 33∇3 p =∂p∂z(5.44)Уравнение для компоненты u z :∂∂1 ∂∂( ρ uz ) + ( ρur uz − τ rz ) +( ρ uθ uz − τ θ z ) + ( ρ uzuz + p − τ zz )∂t∂rr ∂θ∂z1+ ( ρ ur uz − τ rz ) = ρ Fzr(5.45)3) Уравнение энергииКомпоненты вектора vkτ ki обозначим:Ai = vkτ ki(5.46)Конкретные значения равныA1 = v1τ 11 + v2τ 21 + v3τ 31 = urτ rr + uθτ rθ + u zτ zr1( urτ rθ + uθτ θθ + uzτ zθ )r= urτ rz + uθτ θ z + u zτ zzA2 = v1τ 12 + v2τ 22 + v3τ 32 =A3 = v1τ 13 + v2τ 23 + v3τ 33Общий вид уравнения энергии:∂(ρE)∂tp+ ∇i ρ vi H + q i − vkτ ki = ρ F k vk ,где H = E + - полная энтальпияρ(5.47)Введем вектор f , контравариантные компоненты которого равны:f i = ρ vi H + q i − vkτ ki(5.48)Дивергенция этого вектора равна∇i f i =∂f r 1 ∂fθ ∂f z f r+++ ,∂r r ∂θ ∂z r(5.49)гдеf r = ρ ur H + qr − urτ rr − uθτ rθ − u zτ zr ,fθ = ρ uθ H + qθ − urτ rθ − uθτ θθ − u zτ zθ ,(5.50)f z = ρ u z H + qz − urτ rz − uθτ θ z − u zτ zzТаким образом, уравнение энергии примет вид:∂(ρE)∂t+∂f r 1 ∂fθ ∂f z f r+++ = ρ ( Fr ur + Fθ uθ + Fz u z ) ,∂r r ∂θ ∂zr(5.51)Компоненты плотности теплового потока равны:qr = q1 = −λ g 11∇1T = −λ∂T∂rqθ = q 2 r = ( −λ g 22∇ 2T ) r = −λqz = q 3 = −λ g 33∇3T = −λ1 ∂Tr ∂θ(5.52)∂T∂zОкончательно запишем основные уравнения в цилиндрической системекоординат:∂ρ ∂1 ∂∂ρu+ ( ρ ur ) +( ρ uθ ) + ( ρ uz ) + r = 0 ,∂t ∂rr ∂θ∂zr(5.53)∂∂1 ∂∂( ρ ur ) + ( ρur ur + p − τ rr ) +( ρ uθ ur − τ rθ ) + ( ρ uzur − τ zr )∂t∂rr ∂θ∂z,1+ ( ρ ur ur − ρ uθ uθ − τ rr + τ θθ ) = ρ Frr(5.54)∂∂1 ∂∂( ρ uθ ) + ( ρ ur uθ − τ rθ ) +( ρuθ uθ + p − τ θθ ) + ( ρ uzuθ − τ zθ )∂t∂rr ∂θ∂z,2+ ( ρ ur uθ − τ rθ ) = ρ Fθr(5.55)∂∂1 ∂∂( ρ uz ) + ( ρur uz − τ rz ) +( ρ uθ uz − τ θ z ) + ( ρ uzuz + p − τ zz )∂t∂rr ∂θ∂z,1+ ( ρ ur uz − τ rz ) = ρ Fzr∂(ρE)∂t+∂f r 1 ∂fθ ∂f z f r+++ = ρ ( Fr ur + Fθ uθ + Fz u z )∂r r ∂θ ∂zr(5.56)(5.57)Компоненты вектора f задаются формулами (5.50), компоненты тензоравязких напряжений – формулами (5.26)-(5.31), а компоненты вектораплотности теплового потока – формулами (5.52).Кроме того, для идеального газа используется формула (5.7)Упражнение.
Вывести основные уравнения динамики вязкого газа всферической системе координат..