1.4. Основные уравнения динамики вязкой жидкости (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013), страница 2

определение идеального газа.Идеальный газ — математическая модель газа, в которой предполагается,что потенциальной энергией молекул можно пренебречь по сравнению с ихкинетической энергией. Между молекулами не действуют силы притяженияили отталкивания, соударения частиц между собой и со стенками сосудаабсолютноупруги,пренебрежимомалоаповремявзаимодействиясравнениюсомеждусредниммолекуламивременеммеждустолкновениями.Вмолекулярно-кинетическойтеорииустанавливаетсяследующеесоотношение между средней кинетической энергией ε поступательногодвижения молекул и абсолютной температурой T:32ε = kT(4.31)где k - постоянная Больцмана.Внутренняя энергия 1 моля идеального газа равна произведению ε начисло Авогадро N A :33U = kN AT = RµT ,22(4.32)где Rµ - универсальная газовая постоянная.При изменении температуры на ∆T внутренняя энергия изменяется навеличину∆U =3Rµ ∆T = CV µ ∆T2(4.33)Коэффициент пропорциональности между ∆U и ∆T равен мольной32теплоемкости CV µ = Rµ при постоянном объеме.Это соотношение хорошо подтверждается в экспериментах с газами,состоящими из одноатомных молекул (гелий, неон, аргон).

Однако, длядвухатомных (водород, азот) и многоатомных (углекислый газ) газов этосоотношение не согласуется с экспериментальными данными. Причинатакого расхождения состоит в том, что для двух- и многоатомных молекулсредняя кинетическая энергия должна включать энергию не толькопоступательного, но и вращательного движения молекул.В общем случае верная формула:CV µ =Где i -iRµ2(4.34)степень свободы молекулы.

Одноатомная молекула имеет 3поступательные степени свободы, «жесткая» двухатомная молекула имеет 5степеней (3 поступательные и 2 вращательные), а многоатомная молекула – 6степеней свободы (3 поступательные и 3 вращательные).Соответственно мольная теплоемкость при постоянном давлении ипоказатель адиабаты равны:CPµ = CV µ + Rµ =γ=CP µCV µ=i+2Rµ2i+2i(4.35)(4.36)Для идеального газа можно записать уравнение состоянияp = ρ RTгде(4.37)R=RµM-(4.38)газовая постоянная, M - молекулярная масса газа.4.4.ВУравнения Эйлера для невязкого газаслучаеневязкогогазаполагается,чтоковариантныеиконтравариантные компоненты тензора напряжений выражаются через одинпараметр – давление p :p ki = − pg ki ,(4.39)pki = − pg ki(4.40)В этом случае уравнение количества движение (4.25) имеет вид:∂( ρ vk ) + ∇i ( ρ vivk ) = ρ F k - g ki∇i ( p )∂t(4.41)∂ρ v k ) + ∇i ( ρ vi v k + g ki p ) = ρ F k(∂t(4.42)Или4.5.Линейная вязкая жидкостьВязкой жидкостью называется среда, в которой компоненты тензоранапряжений представляются в видеp ki = − pg ki + τ ki ,(4.43)p = p ( ρ , T ,...) -(4.44)гдедавление, аτ ki = ϕ ki ( eαβ , g αβ , T ,...) -тензор вязких напряжений,(4.45)- компоненты тензора скоростейeαβдеформации, заданного формулой (3.64):eαβ =1( ∇α vβ + ∇β vα )2(4.46)Чаще всего для тензора вязких напряжений используется линейнаязависимость от тензора деформаций:23τ ki = 2µ g kα g iβ eαβ − µ g ki div v =2= µ g g ( ∇α vβ + ∇ β vα ) − µ g ki div v3kα(4.47)iβВторой член в правой части этой формулы добавлен для того, чтобыскалярные инварианты тензоров слева и справа совпадали.Уравнение количества движения для вязкой линейной жидкости имеетвид:∂ρ v k ) + ∇i ( ρ v i v k + g ki p ) = ρ F k + ∇iτ ik(∂t(4.48)В случае идеального газа в качестве зависимости (4.44) используетсяуравнение состояние в форме (4.37).4.6.Уравнение энергииУниверсальное соотношение,выражающее собой закон сохраненияэнергии и следующее из первого начала термодинамики, можно представитьв виде:(4.49)dEкин + dU = dA + dQгде dU - изменение внутренней энергии рассматриваемого тела, dEкин изменение его кинетической энергии, dA - элементарная работа внешнихмакроскопических сил, dQ - элементарный приток тепла к телу извне.Можно обобщить это уравнение на случай движения конечного объема Vсплошной среды, ограниченного поверхностью Σ .Полная энергия произвольного конечного объема Vопределяетсяследующим образом:1∫ ρ  2 vV2+U  dV(4.50)Обозначим:11E = v 2 +U = vk v k +U22(4.51)С учетом того, что масса M выбранного объема не меняется, получаем, чтоизменение полной энергии в единицу времени, т.е.

ее производная повремени, равно:dddEdEρ EdV = ∫ Edm = ∫dm = ∫ ρdV∫dt Vdt MdtdtMVРаботасилвнутреннихнапряженийприперемещении(4.52)границывыбранного объема на элементарное расстояние dr равна pn idr = pn ivdt , а вединицу времени pn ivС учетом (4.14), получаем:pn iv =  p ki g k ( g i ⋅ n )  i( v j g j ) = p ki v j ( gi ⋅ n ) g k ig j = p ki v j ( gi ⋅ n ) g⋅kj ⋅ = vk p ki niНас интересует работа по внешней поверхности Σ объема V , т.е.(4.53)∫ p ivdσ = ∫ vnkΣp ki ni dσ = ∫ Ai ni dσ ,Σ(4.54)Σгде Ai = vk p kiПо теореме Гаусса — Остроградского:∫ A n dσ = ∫ ∇ A dV = ∫ ∇ ( viiiiΣiVkp ki ) dV = ∫ div ( v i P ) dVV(4.55)VРабота внешних массовых сил при перемещении на элементарноерасстояние dr равна ρ F idr = ρ F ivdt , а в единицу времени ρ F iv .

Для всегообъема V получаем:∫ ρ F ivdV = ∫ ρ FVk(4.56)vk dVVИ наконец, приток тепла к объему V извне равен:− ∫ q ⋅ ndσ = − ∫ divqdV = − ∫ ∇ i q i dVΣV(4.57)VЗнак «минус» обусловлен тем, что вектор нормали направлен отповерхности тела, а нас интересует приток тепла, а не отток.Таким образом, закон сохранения энергии для конечного объема Vсплошной среды имеет вид:dE∫ ρ dt dV = ∫ div ( v i P ) dV + ∫ ρ F ivdV − ∫ div qdVVVV(4.58)VВ силу произвольности выбора объема V :ρdE= div ( v i P ) + ρ F iv − div qdt(4.59)В индексной записи уравнение сохранения энергии имеет вид:ρ∂E+ ρ∇i ( vi E ) = ∇i ( vk p ki ) + ρ F k vk − ∇i qi∂t(4.60)Домножим уравнение неразрывности (4.4) на EE∂ρ+ E∇ i ( ρ v i ) = 0 ,∂tсложим его с (4.60) и получим уравнение энергии в(4.61)консервативнойформе:∂(ρE)∂t+ ∇ i ( ρ vi E ) = ∇ i ( vk p ki ) + ρ F k vk − ∇ i q i(4.62)Для вязкой жидкости имеем:p ki = − pg ki + τ ki(4.63)Откуда:∂(ρE)∂tp + ∇ i  ρ v i  E +   = ∇ i ( vkτ ki ) + ρ F k vk − ∇ i q iρ (4.64)илиρ∂E+ ρ v i∇i E = ∇i ( vkτ ki ) − ∇i ( v i p ) + ρ F k vk − ∇i q i∂t(4.65)Для теплового потока в идеальном газе справедлива формула Фурье:q = −λ ⋅ grad (T )(4.66)q i = −λ g ij ∇ jT(4.67)илиЗдесьλ- коэффициент теплопроводности, который, также как икоэффициент динамической вязкости µ , зависит только от температурыидеального газа.Можно ввести понятия полной энтальпии газа H и удельной энтальпии h :H =E+pρ,(4.68)h =U +11p= H − vk v k = E − vk v k +22ρρp(4.69)Нетрудно получить различные формы уравнения энергии, записанные дляэтих величин:ρ∂H∂p+ ρ vi∇i H = ρ F k vk +− ∇i ( q i − vkτ ki ) ,∂t∂t(4.70)∂hdp+ ρ v i∇i h =− ∇i q i + τ ki∇i vk∂tdt(4.71)ρгдеdp ∂p=+ v i∇i pdt ∂t(4.72).