1.4. Основные уравнения динамики вязкой жидкости (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013)

4. Основные уравнения динамики вязкой жидкости.4.1.Уравнение неразрывности.Одним из основных законов ньютоновской механики является законсохранения массы m любого индивидуального объема, состоящего из одних итех же частиц среды. Масса такого объема определяется по формуле:m = ∫∫∫ ρ dV(4.1)Vгде ρ - плотность.Закон сохранения массы для индивидуального объема сплошной средыможно, очевидно, теперь записать в видеdρ dV = 0dt ∫∫∫V(4.2)Применим формулу (3.72) из предыдущего раздела к (4.2):d ∂ρρ dV = ∫∫∫  + ∇i ( ρ v i )  dV = 0∫∫∫dt V∂tV (4.3)В силу произвольности выбора объема V из (4.3) следует:∂ρ+ ∇i ( ρ vi ) = 0∂ti∂ρ ∂ ( ρ v )++ ρ v j Γ iji = 0∂t∂η i(4.4)Это и есть уравнение неразрывности.4.2.Уравнение количества движения.Теоретическая механика рассматривает в основном сосредоточенные, иликонцентрированные силы, т. е. конечные силами, действующие в точке.

Вмеханике сплошной среды мы встречаемся в основном с распределеннымисилами, т. е. действующими в каждой части объема Vэлементе поверхностиΣили на каждомсплошной среды, причем при стремлениибесконечно малого элемента объема или поверхности к нулю вектордействующих на него сил также стремится к нулю.Эти распределенные силы можно разделить на две категории: объемные иповерхностные.Обозначим через F главный вектор массовых сил, действующих наэлемент массы ∆m .

Тогда плотность F массовой силы в данной точке есть:F∆m → 0 ∆m(4.5)F = limЧисло различных видов массовых сил невелико. Это — сила тяжестиF = g и вообще гравитационные силы, подчиняющиеся закону всемирноготяготения Ньютона; электромагнитные силы; силы инерции, которыеприходится вводить при изучении движения в неинерциальных системахкоординат.В механике сплошной среды основную роль играют не массовые, аповерхностные, т.е. распределенные по поверхности сплошной среды, силы.Так, например, если взять воду, налитую в сосуд, то на поверхности Sсоприкосновения воды со стенками сосуда будет, очевидно, наблюдатьсясиловое взаимодействие.

Взяв элемент dσ поверхности S, можно ввестиэлементарную поверхностную силу dP = pdσ , где p = lim∆σ → 0∆P∆σ- плотностьповерхностных сил, действующих на площадку dσ .Выделим в сплошной среде некоторый произвольный объем V и разобьемего сечением S на две части V1 и V2 (см.рис.8).Рис.8. Силы внутренних напряжений.Если мы будем рассматривать движение одной из частей V, например V1,то при этом действие на нее второй части, т.

е. V2, необходимо заменитьраспределенными по S поверхностными силами. Сечение S можно проводитьпо-разному, и, очевидно, распределенные поверхностные силы будут наразных S различными.Возьмем некоторую точку М внутри тела и рассмотрим в этой точкеразличные площадки dσ . Ориентацию этих площадок будем определятьнормалью n к ним, а полную силу, действующую со стороны части среды вобъеме V2 нa часть среды в объеме V1 на площадке dσ с нормалью n,обозначим через dP = pn dσ , где pn - конечный вектор.

Вектор pn можнорассматриватькакповерхностнуюплотностьсилывзаимодействияразделенных частей вдоль площадки dσ . В общем случае pn может зависетьот ориентации площадкиdσи других ее геометрических свойств.Направление нормали n будем выбирать всегда так, чтобы она была внешнейпо отношению к той части среды, на которую действует вводимая сила pn dσ .Такого рода поверхностные силы можно вводить в любой точкесплошной среды, они называются силами внутренних напряжений.В каждой точке М сплошной среды существует бесконечно многовекторовpn ,соответствующихбесконечномунаборуплощадок,проходящих через эту точку.

Однако между ними имеется универсальная, независящая от частных свойств движущейся среды, связь.Основным динамическим уравнением движения материальной точкиявляется второй закон Ньютона:mdv=Fdt(4.6)Так как масса m точки постоянна, имеем:d ( mv )dt(4.7)=FПроизведение массы на скорость mv называется количеством движенияточки.Можно обобщить это уравнение на случай движения конечного объема Vсплошной среды, ограниченного поверхностью Σ :d( ρ v ) dV = ∫ ρ FdV + ∫ pn dσdt V∫VΣ(I )( II )( III )(4.8),где Q = ∫ ρ vdV - количество движения сплошной среды, занимающей объемVV ; член ( II ) - сумма внешних массовых сил, действующих на среду в объемеV , член ( III ) - сумма внешних поверхностных сил, действующих на среду вобъеме V .Уравнение (4.8) означает, что производная по времени количествадвижения объема Vсплошной среды равняется сумме всех внешнихдействующих на него массовых и поверхностных сил.

Выделяемыймысленно объем V является произвольным субстациональным подвижнымдеформируемым объемом, состоящим по определению из одних и тех жечастиц среды.С учетом того, что масса M выбранного объема не меняется, получаем:dddvdvρ vdV = ∫ vdm = ∫ dm = ∫ ρ dV∫dt Vdt MdtdtMV(4.9)Таким образом, уравнение количества движение можно представить ввиде:dv∫ ρ dt dV = ∫ ρ FdV + ∫ p dσnVV(4.10)ΣОстановимся теперь на выводе зависимости напряжений pn от ориентациисоответствующих площадок, взятых в данной точке, в случае непрерывныхдвижений сплошной среды.Рис.9 К свойству внутренних напряжений.Возьмем произвольную точку M сплошной среды и проведем из неенаправления, параллельные осям декартовой системы координат (рис.9).Отложим на них произвольные бесконечно малые отрезки dx = MA , dy = MC иdz = MB и рассмотрим объем V в виде построенного таким путем бесконечномалого тетраэдра MABC .

Его грани МВС , МАВ, MAC перпендикулярны ксоответствующим осям координат, а грань ABC ориентирована произвольно.Ее ориентация определяется единичным вектором нормалиn = cos ( nx ) i + cos ( ny ) j + cos ( nz ) k = ni g i(4.11)Напряжения на площадках с нормалями i , j, k , n обозначим соответственночерез p1 , p2 , p3 , pn .Если стягивать этот тетраэдр в точку, то можно показать, что из уравненияколичествадвиженияследует,чтомеждунапряжениямидолжновыполняться следующее соотношение:pn = p1 cos ( nx ) + p 2 cos ( ny ) + p3 cos ( nz ) = pi ni(4.12)Из теоремы Остроградского-Гаусса в форме (3.70) следует, что суммувнешних поверхностных сил∫ p dσ ,nдействующих на объем V сплошнойΣсреды, ограниченный поверхностью Σ , можно преобразовать в интеграл,взятый по объему: ∂p1 ∂p 2 ∂p3 123p=p+p+p=dσcosnxcosnycosnzdσ()()()∫Σ n∫Σ ∫  ∂x + ∂y + ∂z  dVV(4.13)В формуле (4.12) векторы p1 , p 2 , p3 можно разложить по ковариантномубазису.

Например, p1 = p11g1 + p 21g 2 + p31g3 . Проекции нормали есть не что иное,как скалярное произведение gi in . Таким образом, из (4.12) следует:pn = pi ni = p ki g k ni = p ki g k ( g i in )(4.14)Это равенство дает линейное (с коэффициентами p ij ) преобразование откомпонент вектора n к компонентам вектора pn . Оно было получено сиспользованиемследовательно,ортогональнойp ijдекартовойсистемыкоординат,и,были определены в произвольных ортогональныхдекартовых системах координат. Равенство (4.14) является соотношениеммежду векторами pn и n и поэтому может быть написано в любойкриволинейной системе координат. Отсюда следует, что не только вортогональных декартовых осях, но и в произвольных криволинейныхсистемах координат с помощью равенства (4.14) можно ввести величины p ij ,которые следует рассматривать как контравариантные компоненты тензораP = p ki g k gi(4.15)Этот тензор называется тензором внутренних напряжений.

При этом влюбой системе координат будет выполняться равенствоpn = P in = pi ni(4.16)где pn - напряжение на произвольной площадке с нормалью n, аni -ковариантные компоненты n.В уравнение количества движения (4.10) входит член∫ p dσ .nС учетомΣ(4.16) и теоремы Гаусса – Остроградского получаем:∫ p dσ = ∫ p n dσ = ∫ ∇ p dViniiΣΣi(4.17)VПодставляем полученное выражение в (4.10) и, в силу произвольностивыбора объема V, получаем уравнение количества движения в виде:ρdv= ρ F + ∇ i pidt(4.18)где∇ i pi = ∂p ki∂p ij ikiji kkj i +pΓ=∇pg= i + p Γ ji + p Γ ji  g kjiiki∂ζ ∂ζ(4.19)Напоминаем, что векторы pi мы разложили по базисуpi = p ki g k(4.20)Полная (субстанциональная) производная представляется в виде:k ∂v kdv ∂v∂v ∂v ki  ∂vj k =+ vi=g+v+vΓg=+ vi∇i v k  g k ikji  kidt ∂t∂ζ∂t ∂ζ ∂t(4.21)Тогда в проекции на ковариантный базис уравнение количества движенияпредставляется в виде:ρ∂v k+ ρ vi ∇ i v k = ρ F k + ∇ i p ki∂t(4.22)Если домножить уравнение неразрывности (4.4) на v kvk∂ρ+ v k ∇i ( ρ v i ) = 0∂t(4.23)и сложить его с (4.22), получим:∂ρ v k ) + ∇i ( ρ v i v k ) = ρ F k + ∇i p ki(∂t(4.24)∂ρ v k ) + ∇i ( ρ v i v k − p ki ) = ρ F k(∂t(4.25)илиТакая форма уравнения количества движения называется консервативной.Без использования символа ∇ те же операции приводят к:∂ ( ρ vk )∂t+∂ ( ρ vi v k )∂ζ i ∂p ki+ ρ v i v j Γ kji + ρ v j v k Γiji = ρ F k +  i + p ji Γ kji + p kj Γiji  ∂ζ(4.26)Можно показать, что тензор напряжений симметричен, т.е.

p ki = pik . Этообстоятельство дает возможность записать уравнение количества движения(4.18) в виде:∂( ρ v ) + ∇i( ρ vv − P ) = ρ F∂t(4.27)где, как мы помним, P - тензор внутренних напряжения, а vv = v ⊗ v диадное произведение векторов скорости.4.3.Понятие идеального газа.Понятие идеального газа, казалось бы, достаточно тривиально. Однако, невсе так уж просто. Дело в том, что существует некоторое расхождение вопределении этого понятия у различных авторов.Седов Л.И.

в книге «Механика сплошной среды» определяет идеальныйгаз как «среду, в которой вектор напряжения pn на любой площадке снормалью n ортогонален площадке». В результате получаются следующиеформулы для ковариантных иконтравариантных компонент тензоранапряжений:p ki = − pg ki ,(4.28)pki = − pg ki(4.29)где p - давление.Нетрудно видеть, что в этом случае тензор внутренних напряжений независит от вязкого трения.С другой стороны, известно выражение, впервые полученное Максвеллом,по которому вязкость идеального газа определяется по формуле:13µ = ρ vL(4.30)где ρ - плотность газа, v - средняя скорость теплового движения молекул,L - средняя длина свободного пробега молекул.Из этого выражения видно, что коэффициент вязкости не зависит отдавления, так как произведение ρ L не зависит от давления.Определение Седовапротиворечит и понятиям, введенным в ANSYSCFX, где рабочее тело «AIR as IDEAL GAS (Воздух как идеальный газ)»обладает вязкостью.Поэтому в дальнейшем нам удобнее использовать несколько отличное отСедова Л.И.