1.2. Элементы тензорного исчисления (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013), страница 2

Цилиндрическая система координат.Преобразованиекоординатотцилиндрическихкдекартовымосуществляется по формулам:x = r cos (θ ) = ξ cos (η )y = r sin (θ ) = ξ sin (η )(2.49)z = z =ζИспользуя формулы (2.42), получаем: g11 g 21g 31g12g 22g32g13   1 0 g 23  =  0 r 2g 33   0 0001 (2.50)Обратная ей матрица контравариантных компонент тензора g имеет вид: g 11 21g g 31g 1222gg 32g 13   1023 g  = 0 1 / r20g 33   0001 (2.51)Аналогично можно получить основные соотношения для сферическойсистемы координат, для которой:x = ρ sin (ϕ ) cos (θ ) ,y = ρ sin (ϕ ) sin (θ ) ,z = ρ cos (ϕ )Рис.5. Сферическая система координат.В этом случае(2.52) g11 g 21g 31g13   1 0 g 23  =  0 r 2g33   0 0g12g 22g322.8.0,r 2 sin 2 (ϕ ) 0 g 11 21g g 31g 12g 22g 321g 13   g 23  =  0g 33  000122r sin (ϕ ) 01r20(2.53)Ковариантные компоненты вектора и тензораИспользуя формулы (2.39) и (2.41), введем ковариантные компонентывектора и тензора.A = Ai g i = Ai gij g j = Aj g j ,(2.54)Aj = Ai gij(2.55)гдеВидно, что у контравариантных компонент A j вектора A, как и уконтравариантных векторов базиса g j индекс опускается с помощьюковариантных компонент тензора gij .Следовательно, Ai преобразуются так же, как и gj, т.

е. ковариантнымобразом:Aj′ = aii ij AiAjназываютсяковариантными(2.56)компонентамивектораAвконтравариантном базисе g j . Следовательно, для каждого вектора A можноввести компонентыназываемыеAj ,преобразующиеся с помощью матрицы B,контравариантнымикомпонентами,икомпонентыAiпреобразующиеся с помощью матрицы A, называемые ковариантнымикомпонентами.Вобщемслучаековариантныеиконтравариантныекомпоненты вектора отличаются друг от друга, A j ≠ A j .Рассуждения, проведенные для вектора, можно применить к тензорамлюбого ранга.T = T ij g i g j = g ik g jmT ij g k g m = Tkm g k g m ,(2.57)Tkm = g ik g jmT ij(2.58)T = Tiiji g i g j(2.59)гдеАналогичноКомпонентыTij(ковариантным поковариантными,индексуи контравариантными по индексу i )jаTiijiназываютсясмешаннымикомпонентами тензора T.

Формулы преобразования для смешанныхкомпонент осуществляется так, что преобразование ковариантное идет понижним индексам, а контравариантное по верхним индексам.Мы видим, что с помощью тензора g у компонент любого тензора можноопускать и поднимать индексы. Эта операция носит название операциижонглирования индексами. Например,T = Tij g i g j = Tij g ik g k g j = Ti kj ⋅g k g j(2.60)т.е. вместо записи тензора T с помощью ковариантных компонент мыполучили его выражение через смешанные компоненты.

При этомTi kj ⋅ = g ikTij(2.61)Ясно, что опускание индексов проводится с помощью gij , а поднятие - спомощью g ik .Заметим, что складывать и вычитать можно только компоненты тензоровс одинаковыми строениями индексов. Свойства симметрии и антисимметриитензоров также определялись нами относительно одинаково расположенныхиндексов.2.9.Скалярные инварианты тензораКомпоненты тензора зависят от выбора системы координат, но можноотыскать такие функции Φ (Tiiji ) от компонент тензора, которые будутинвариантными относительно выбора системы координат, т. е.Φ (Tiiji ) = Φ (Ti′ji i )(2.62)Такие функции компонент тензора называются инвариантами тензора.Они являются числами или функциями точек пространства.

Именно такиефункции компонент тензоров и векторов должны, наряду с другимиинвариантными объектами, входить в математическую запись физическихзаконов, которая должна быть инвариантной относительно способовописания физического явления и, в частности, не должна зависеть от системыкоординат.Укажем простые правила образования инвариантов вектора и тензора.Возьмем векторA = A j g j = Ai g i = A j gij g iи составим скалярное произведениеAi A = Ai A j g i ig j = Ai g ij A j = Ai Ai(2.63)Полученное выражение является инвариантом (квадратом длины вектораА), так как преобразования разноименных компонент вектора взаимнообратны. У вектора только один независимый инвариант - его длина, всеостальные инварианты являются ее функциями.Теперь возьмем любой тензор второго рангаT = T ij ei e jи образуем свертку по обоим индексам с метрическим тензором T ij g ij(сверткой называется операция суммирования по верхнему и нижнемуиндексам), которая даст число, не зависящее от системы координат, так какпреобразования компонент с верхними и нижними индексами взаимнообратны.

Можно записатьT ij g ij = Tiii i = Ti11i + Ti 22 i + Ti33i(2.64)Можно сделать двойную сверткуT ik g jk T jm g im = TiijiTi ij i(2.65)TiijiTi kj iTi ik i ,(2.66)и тройнуюкоторые тоже будут инвариантами. Для тензора второго ранга мыполучилитриинварианта:линейный,квадратичныйикубичныйотносительно компонент. Можно показать, что в случае симметричноготензора второго ранга, особенно важного для приложений, все остальныескалярные инварианты будут функциями этих трех..