1.1. Основные понятия (Математическое моделирование задач газодинамики и тепло-массообмена. Молчанов А.М. 2013)

Глава 1. Необходимые сведения из механикисплошной среды и термодинамики1. Основные понятия1.1. Основные гипотезы механики сплошной средыДля начала определимся с терминологией. В названии главы фигурируетслово «жидкость». Давайте договоримся, что этот термин имеет широкоезначение. Жидкость может быть несжимаемой (это собственно жидкость),сжимаемой (газ), проводящей и т.д.Дляпостроения математическойжидкости, необходимо получитьмоделилюбойзадачи динамикипредставление о такой науке, как«Механика сплошной среды». Наиболее полной монографией в этой областиявляется книга Седова Л.И.

[1]Механика сплошной среды — часть механики, посвященная движениюгазообразных, жидких и твердых деформируемых тел.Классическая теоретическая механика изучает движение материальнойточки, дискретных систем материальных точек и абсолютно твердого тела.Механика сплошной среды изучает движение таких материальных тел,которые заполняют все пространство непрерывно, сплошным образом.Расстояния между точками этих тел во время движения меняются, т.е. телопостоянно деформируется - изменяет форму.Механика сплошной среды строится на следующих основных гипотезах.Гипотеза сплошностиИзвестно, что все тела представляют собой совокупности разного сортамолекул и атомов. Может показаться, что науку следует развивать на базепредставления о материальном теле как совокупности элементарных частиц.Однако следить за движением каждой элементарной частицы из-за их весьмабольшого числа и неизвестности сил взаимодействия между ниминевозможно.

Кроме того, сложное строение молекул и удерживающие ихэлектрические силы взаимодействия не всегда известны.На самом деле для решения большинства практических задач требуютсятолько некоторые средние, суммарные, или глобальные, характеристики.Введем понятие сплошной среды. Все тела состоят их отдельных частиц,но их много в любом существенном для нас объеме, поэтому тело можноприближеннорассматриватькаксреду,заполняющуюпространствосплошным образом. Воду, воздух, железо и т. д.

будем рассматривать кактела, целиком заполняющие некоторую часть пространства.Заметим, что эта идеализация необходима еще и потому, что мы хотим приисследованиидвижениядеформируемыхтелиспользоватьаппаратнепрерывных функций и дифференциальное исчисление.Гипотеза о метрическом евклидовом пространстве.Под пространством понимают совокупность точек, задаваемых с помощьючисел, которые называются координатами. Будем рассматривать эвклидовопространство, точки которого задаются с помощью единой для всегопространства декартовой системы координат x, y, z . Расстояние между двумяточками x1 , y1 , z1 и x2 , y2 , z2 определяется по формуле:r=( x1 − x2 )22+ ( y1 − y2 ) + ( z1 − z2 )2(1.1)Гипотеза об абсолютности времениЛюбое механическое явление всегда описывается с точки зрения какоголибо наблюдателя.

Время, вообще говоря, может зависеть от системы отсчетанаблюдателя.Делаем допущение, что время течет одинаково для всех наблюдателей, т.е.мы будем пользоваться абсолютным временем. Такая идеализация пригоднатолько тогда, когда можно пренебречь эффектами теории относительности.1.2. Системы координат и закон движения сплошной среды с точкизрения ЛагранжаИтак, под пространством понимается совокупность точек, задаваемых спомощью чисел, которые называются координатами.Поэтому изучение вопросов, связанных с анализом систем координат,представляет большую важность.Укажем особые причины.Чаще всего в учебных пособиях основные уравнения динамики жидкостизаписываются в индексной форме в декартовой системе координат безразделения на ковариантные и контравариантные индексы.

В то же время,многие задачи, особенно в авиационной и ракетно-космической технике,удобнее решать в цилиндрической системе координат. Перевод основныхуравненийвцилиндрическуюсистемукоординатпредставляетнетривиальную задачу.При построении расчетных сеток производится переход от ортогональнойсистемы координат к криволинейной неортогональной системе, и наоборот.Движение всегда определяется по отношению к некоторой системе отсчета- системе координат. С помощью системы координат устанавливаетсясоответствие между числами и точками пространства. Для трехмерногопространства точкам ставятся в соответствие три числа ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 , которыеназываются координатами точки.Линии, на которых какие-либо две координаты сохраняют постоянныезначения, называются координатными линиями.Рис.1. Криволинейная и декартова система координатНапример,линия,вдолькоторойζ 2 = const , ζ 3 = const ,определяеткоординатную линию ζ 1 , вдоль этой линии различные точки определяютсязначениями ζ 1 , направление роста координаты ζ 1 определяет направлениевдоль этой линии.

Через каждую точку пространства можно провести трикоординатные линии. Касательные к координатным линиям в каждой точкене лежат в одной плоскости и образуют, вообще говоря, неортогональныйтриэдр.Условимся обозначать через {ζ 1 , ζ 2 , ζ 3} координаты относительно любойпроизвольной системы координат (втомчисле, и декартовой), а через{ x1, x2 , x3} или { x, y, z} - координаты относительно ортогональной декартовойсистемы координат. Иногда для произвольной системы координат удобноиспользовать обозначения без индексов: {ξ , η , ζ } .Координаты каждой точки меняются во времени. Сплошная средапредставляет собой непрерывную совокупность точек.

По идее, чтобы задатьдвижение среды, нужно задать координаты каждой точки в каждый моментвремени. Если координаты точек в некоторый начальный момент времени t0обозначить как {ζ 01 , ζ 0 2 , ζ 03 } , то координаты точек в любой момент времени tопределяются какζ i = ζ i (ζ 01 , ζ 0 2 , ζ 03 , t ) ,i = 1, 2,3(1.2)Координаты ζ 01 , ζ 0 2 , ζ 03 , выделяющие конкретную точку, и время tназываются переменными Лагранжа.Основная задача механики сплошной среды заключается в определениифункций (1.2).1.3. Векторы базисаРадиус-вектор r точки P по отношению к началу координат 0 может бытьвыражен через координаты как:r = x1i1 + x2 i 2 + x3i 3 ,(1.3)где {i1 , i 2 , i3} или {i, j, k} - единичные векторы по осям координат { x1 , x2 , x3}соответственно. Альтернативная форма записи имеет видr = xi + yj + zk(1.4)Делаем допущение, что между координатами в основной декартовойсистеме координат икоординатамив произвольной системе координатсуществуетвзаимно-однозначноесоответствие,т.е.существуютдифференцируемые функцииxi = xi (ζ 1 , ζ 2 , ζ 3 ) , i = 1, 2,3 ,(1.5)а также, дифференцируемые функции, выражающие обратную связь:ζ j =ζj( x1 , x2 , x3 ) ,j = 1, 2,3(1.6)Дифференцируя уравнение (1.3) по ζ j , получаем систему ковариантныхвекторов базиса в системе координат {ζ 1 , ζ 2 , ζ 3} :gj ≡∂r∂x∂x∂x= 1j i1 + 2j i 2 + 3j i 3 ,j∂ζ∂ζ∂ζ∂ζкоторые в базовой декартовой системеj = 1, 2,3 ,(1.7)координат имеют следующиекомпоненты(g )j i=∂xi, i = 1, 2,3∂ζ j(1.8)Рис.2.

Ковариантные векторы базиса в точке P1.4. Вектор скоростиБесконечно малое перемещение dr точки P можно разложить поковариантным векторам базиса g1 , g 2 , g3 , взятым в точке P:dr = g1d ζ 1 + g 2 d ζ 2 + g 3d ζ 3где dζ 1 , dζ 2 , dζ 3 являются компонентами перемещения dr.(1.9)Данное разложение удобно записать в компактном виде:dr = g j dζj(1.10)где знак суммы опущен. В дальнейшем мы обычно будем опускать знаксуммы, подразумевая суммирование всякий раз, когда в выражениях типа(1.10) будут встречаться два одинаковых индекса, один из которых стоитвверху, а другой внизу.Поделив (1.10) на элемент времени dt, соответствующий перемещениюточки сплошной среды из точки P в точку P’, получим по определениюскорость точки сплошной среды:∂r∂ζ jv== gj= g jv j∂t∂t(1.11) ∂ζ j vj =  , ∂t ζ 0k(1.12)откудагде индексы ζ 0 k внизу указывают на то, что производные берутся припостоянных параметрах {ζ 01 , ζ 0 2 , ζ 03 } , индивидуализирующих точку среды.Величины {v1 , v 2 , v3 } называются компонентами вектора скорости v в базисе{g1, g 2 , g3} .Компоненты скорости в базовой декартовой системе координат будемобозначать {u1 , u2 , u3}1.5.

Скалярное и векторное произведение векторов в декартовойсистеме координат.Пусть имеется два вектора a и b, заданные в декартовой системе координат:a = a1i1 + a2 i 2 + a3i 3 ,(1.13)b = b1i1 + b2 i 2 + b3i 3Скалярное произведение этих векторов является скаляром и определяется поформуле:( )c = a ib = a1b1 + a2b2 + a3b3 = a b cos ab(1.14)Векторное произведение этих векторов является вектором c и определяетсяпо формуле:i1c = a × b = ( a2b3 − a3b2 ) i1 + ( a3b1 − a1b3 ) i 2 + ( a1b2 − a2b1 ) i 3 = a1i2a2i3a3b1b2b3(1.15)Справедливы следующие правила: вектор c ортогонален каждому извекторов a и b; вектор c направлен так, что тройка векторов abc являетсяправой.1.6.Тензорная форма записи и соглашение ЭйнштейнаКомпактный вид записи уравнений (1.10) и (1.11) является примером такназываемой тензорной формы записи основных уравнений.В тензорном анализе, при записи выражений из многокомпонентныхвеличин, пронумерованных верхними и нижними индексами (тензоров), дляэкономии записи бывает удобно использовать правило, называемоесоглашением Эйнштейна: если одна и та же буква в обозначении индексавстречается и сверху, и снизу, то такой член полагается просуммированнымпо всем значениям, которые может принимать этот индекс.