lec_07 (962874)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

28

Лекция 7

2.2.4. Физические принципы и их использование при построении модели

а). Общие положения

Построение математической модели, т.е. получение совокупности требуемых математических соотношений, опирается на применение физических принципов, законов и правил. Их конкретное содержание – предмет изучения соответствующих результатов прикладной физики. Здесь же внимание будет сосредоточено на основных моментах и идеологии использования физических принципов в процессе построения математической модели.

Во всех случаях лучше всего применять физические принципы, законы и правила в их наиболее чистом, простом и фундаментальном виде. Уравнения, полученные из исходных формул, а также специальные и сложные уравнения используются в частных случаях, и в соответствующих конкретных условиях они оказываются очень полезны. Однако в общем случае и, особенно, в новых необычных условиях желательно использовать только основные и простейшие физические принципы.

Понимание физических принципов и правильное их применение – залог построения математической модели адекватной решаемой задаче.

б). Формальный и концептуальный подходы

Как было отмечено, при построении модели следует использовать основные законы природы, а не специальные или частные уравнения, выведенные как следствие из общих законов. Таким образом, при решении задач моделирования рекомендуется непосредственно применять второй закон Ньютона, первый и второй законы Кирхгофа, первый и второй законы термодинамики, закон сохранения массы.

Приведем пример, иллюстрирующий достоинства подхода, базирующегося на использовании основных законов природы.

Рассмотрим построение математической модели, отражающей процессы, протекающие в проточной полости переменного объема (например, цилиндре двигателя внутреннего сгорания, цилиндре пневмопривода и т.п.).

Схема моделируемой системы приведена на рис. 2.3.

Рис. 2.3.

Здесь 1-1, 0-0, 2-2 – конкретные поверхности, выделяющие рабочие тела, к описанию которых применяются основные законы физики.

Применим закон сохранения энергии и закон сохранения массы к рабочему телу, находящемуся в полости и ограниченному физически существующими и мысленными контрольными поверхностями 0-0 и 2-2.

Изменение энергии тела за время составит:

(2.1)

где – секундный приход энергии к рабочему телу вместе с присоединяемой массой газа;

– секундный расход энергии от рабочего тела с отделяемой массой газа;

– элементарная работа, совершаемая телом:

– элементарная работа изменения объема, воспринимаемая окружающей средой;

– элементарная работа, совершаемая газом над рабочим телом, при вводе в него присодиняемой массы;

– элементарная работа, совершаемая рабочим телом, при выводе из него отделяемой массы.

, но , откуда

.

, но , откуда

.

Здесь , – давление и удельный объем газа в соответствующих сечениях;

, – скорость и расход газа в соответствующих сечениях;

W – объем газа в полости.

Учитывая выражения, полученные для , и из (3.1) получим:

.

,

где – удельная энтальпия (по определению).

Но в соответствии с законами сохранения энергии и массы для элемента потока:

, а G₀= G₁, тогда

. (2.1б)

Обычно скорости ₁ и ₂ незначительны, т.е. , тогда из (2.1б) следует:

. ( * )

Закон сохранения массы, примененный к выделенному рабочему телу, дает:

или (2.2)

где m – масса рабочего тела в полости.

Учитывая, что , а уравнения ( * ) и (2.2) преобразуются к более удобному для применения виду:

, (2.1а)

. (2.2а)

Уравнения (3.2а) и (3.3а) непосредственно отражают основные законы сохранения. Для получения искомой математической модели их дополняют уравнением состояния, например:

. (2.3)

и уравнением, отражающим движения твердых звеньев системы (поршня):

, (2.4)

. (2.5)

Однако, в расчетной практике уравнения модели применяют в преобразованном виде, Эти преобразования относятся к уравнению (2.1а) и включают:

• использование соотношений идеального газа:

и (здесь );

• использование для подстановки уравнения (2.2а).

В итоге уравнения (2.1а) преобразуется к виду:

. (2.6)

Таким образом, для описания процессов в полости получены две эквивалентные системы уравнений:

1 система – (2.1а), (2.2а), (2.3), (2.4) и (2.5).

2 система – (2.6), (2.2а), (2.3), (2.4) и (2.5).

Причем первая система отражает непосредственно основные законы природы, а вторая этим качеством не обладает.

Используем теперь эти системы для построения модели частного, но важного в связи с широким распространением на практике, случая. Экспериментальные исследования процессов в полостях свидетельствуют о малом изменении температуры рабочего тела во времени. Поэтому при построении соответствующе математической модели можно считать, что:

(2.7)

Рассмотрим два подхода к построению математической модели для данного случая.

Первый подход. Использование уравнений, отражающих основные законы природы.

Применение допущения (2.7) приведет к необходимости замены одного из уравнений системы (2.1а), (2.2а). Но какого? Обоснование выбора следует осуществить, опираясь на анализ физической сущности исследуемых процессов. С этой позиции параметры состояния (температура и давление) являются следствием определенных энерговоздействий на систему, приводящих в первую очередь к изменению внутренней энергии рабочего тела. Поэтому необходимое малое изменение температуры есть результат малого изменения удельной внутренней энергии, т.е. уравнение (2.7) есть следствие уравнения (2.8):

(2.8)

Следовательно, уравнение (2.8) должно быть применено вместо (2.1а) и искомая модель запишется в виде:

,

,

что после преобразований дает:

. (2.9)

Второй подход. Использование преобразованных уравнений, не отражающих в явном виде законов природы.

Здесь, как и при первом подходе, стоит задача выбора одной из двух возможных систем (2.6), (2.7) или (2.2а), (2.7). Но в отличие от первого случая анализ ситуации на основе физики протекающих процессов не возможен, т.к. связи уравнений с физикой процесса нет. Использование системы (2.6), (2.7) приводит к итоговому уравнению (2.10):

. (2.10)

а системы (2.2а), (2.7) – к итоговому уравнению (2.11):

. (2.11)

Правые части этих уравнений отличаются в k-раз, а обоснованный выбор одного из двух невозможен. Таким образом, второй подход привел к парадоксальной ситуации.

Из приведенного примера следует, что первый подход предпочтительней, поскольку в этом случае можно глубоко вникнуть в решаемую задачу, более полно понять физические законы и принимаемые допущения. Кроме того при решении новых задач, а также при решении задач, когда физический принцип применим, а формально полученное уравнение не подходит, данных подход является единственным.

Второй подход имеет смысл применять в традиционной проверенной ситуации с целью экономии времени и средств.

Первый подход, базирующийся на определенном, связанным с основными законами природы, способе получения уравнений модели, называют концептуальным. Второй подход, использующий конкретные уравнения, полученные из общих, но не имеющие наглядной непосредственной связи с основными законами природы, называют формальным.

2.2.5. Пример построения математической модели

(стенд для балансировки автомобильных колес)

а). Постановка задачи.

При динамической балансировки колесо автомобиля должно быть приведено в движение с необходимой скоростью. Это процедура обеспечивается приводом, включающим какой либо двигатель с установленным на его выходе приводным цилиндром. Приводной цилиндр прижимают к покрышке и за счет возникающей при этом силы трения разгоняют колесо. Обычная методика работы на стенде следующая:

• закрепляется приводной двигатель и число его оборотов доводиться до требуемого;

• приводной цилиндр, вращающийся с требуемой скоростью, прижимают к покрышке колеса.

При такой методике часть энергии привода рассеивается в окружающую среду в виде тепла. Необходимо оценить эти потери.

Задача состоит в том, чтобы найти энергию, рассеиваемую в виде тепла в тот период, когда колесо автомобиля, находившееся в состоянии покоя, с помощью приводного цилиндра, вращающегося со скоростью _ц приобретет ускорение и достигнет скорости _к. Искомую энергию надо выразить через параметры системы, т.е. радиусы R_ц, R_к; моменты инерции J_ц, J_к; скорости _ц, _к приводного цилиндра и колеса соответственно.

б). Разработка модели.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций