lec_14 (962887)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

59

ЛЕКЦИЯ 14.

3.6 Понятие об устойчивости движения по Ляпунову.

Пусть уравнение движения системы является нелинейным и имеет вид
, при 3.23

Пусть известны начальные условия, заданные в виде вектора начальных состояний

Для любого момента времени t > 0 уравнение (3.23) при заданном векторе начальных состояний будет иметь единственное решение

(*)

Установившиеся равновесные режимы работы системы, уравнения движения которой имеют вид (3.23), определяются тривиальными решениями (3.23), т.е.

Эти решения можно представить в виде

Введем в рассмотрение новые переменные, определенные как отклонения переменных состояния от их установившихся значений , т.е.

(**)

Теперь уравнения движения системы (3.23) можно записать в отклонениях:

(3.24)

Уравнение (3.24) называется уравнением возмущенного движения. Его тривиальное решение определяется из (**) при и называется невозмущенным движением.
Невозмущенное движение определяется как

(3.25)

Значение отклонений в начальный момент, т.е. при t = 0 ,
называются возмущениями.

Решение уравнения (3.24) при заданных начальных условиях, т.е. заданных возмущениях, называют возмущенным движением

(3.26)
На базе введенных выше понятий определение устойчивости, какого – либо режима движения по Ляпунову осуществляется следующим образом.
Невозмущенное движение, определенное уравнением (3.25), называется устойчивым по отношению к возмущениям, если при любом заданном положительном числе ε, как бы мало оно ни было, можно выбрать другое положительное число (ε) такое, что для всех возмущений , удовлетворяющих условию (ε),

возмущенное движение будет удовлетворять условию

ε

или более просто: невозмущенное движение будет устойчивым, если малые возмущения приводят к малым отклонениям соответствующего возмущенного движения от невозмущенного.

Изложенное иллюстрирует рис. (3.21)

Рис. 3.21.

Из приведенного следует, что устойчивость невозмущенного движения определяется решением уравнения возмущенного движения (3.24). При этом следует различать два случая.
1 случай. Устойчивость линейной системы. В этом случае есть линейные функции . Тогда коэффициенты правых частей уравнения движения системы (3.23) и уравнения возмущенного движения (3.24) не будут отличатся, а поэтому решение исходной системы (3.23) полностью определяет и решение системы (3.24) и необходимость специального исследования на устойчивость уравнений (3.24) отпадает. Достаточно выяснить как ведет себя решение (3.23), что выполняется с помощью относительно несложных косвенных методов.

2 случай. Устойчивость нелинейной системы.

В этом случае коэффициенты правых частей уравнения движения (3.23) и уравнения возмущенного движения (3.24) не совпадают. Но если исходная система (3.23) решается методом численного интегрирования на ЭВМ (что с учетом высоких возможностей компьютеров является практически безальтернативным методом), то по своей природе все эти методы приближенные. Использование этих методов предусматривает на каждом шаге некоторую неточность в определении переменных, т.е. как бы создает возмущения по начальным условиям. Поэтому, если численное решение (3.23) сходится, то это свидетельствует об устойчивости невозмущенного движения по крайней мере «в малом».

Таким образом, вывод об устойчивости невозмущенного движения может быть сделан по результатам исследования уравнений движения системы в виде (3.23).

1. Схемы прохождения сигналов.

   1. Характеристики звеньев.

Ранее были рассмотрены структурные схемы кибернетических систем, состоящие из взаимодействующих передаточных звеньев. Однако характе­ристики этих звеньев на структурной схеме не указывались. Для того, чтобы структурные схемы давали достаточно полное представление о поведении кибернетической системы их необходимо детализировать и указать на их динамические свойства звеньев. Это делается с помощью так называемых характеристических функций, к которым относятся рассмотренные в 4.5 частотная характеристика и передаточная функция .

Часть характеристических функций , а именно может быть, определена непосредственно путем измерения. Этот способ определения называется экспериментальной идентификацией системы.

Передаточная функция может быть рассчитана непосредственно на основании фундаментальных физико-химических закономерностей, примененных к описанию процессов, происходящих в системе. Этот путь называют теоретической идентификацией.

В структурных схемах в условные обозначения линейного звена необ­ходимо вписать в той или иной форме его характеристическую функцию (рис. 3.22).

Рис. 3.22

В этом случае структурная схема содержит информацию, позволяющую осуществить расчет функционирования кибернетической системы.

3.7.2. Схемы прохождения сигналов

После описания статической и динамической характеристик звеньев и их символьного обозначения можно графически описать и саму систему с позиций кибернетики, т.е. передачу и преобразование его сигналов. Такое графическое изображение называется схемой прохождения сигналов.

Схема прохождения сигналов представляет собой графическое изображение математической модели системы. Для изображения схем прохождения сигналов наиболее употребительны два способа: структурная схема и сигнальные графы.

Рассмотренный ранее способ изображения в виде структурной схемы основан на том, что звенья изображаются в виде блоков с указанием их передаточных функций, а стрелками указывается направление прохождения сигналов.

Так на рис. 3.23.а представлена функциональная, а рис. 3.23.б – соответствующая ей структурная схема системы регулирования скорости двигателя постоянного тока.

Рис. 3.23. а

Рис. 3.23. б

При изображении схемы прохождения сигналов в виде графа сигналы условно изображаются узлами (вершинами), а звенья осуществляющие преобразования сигналов - ветвями с указанием направления передачи (рис. 3.24.а и 3.24.б).

а) б)

Рис. 3.24

При этом принимается, что изображению временной функции (рис. 3.24.а) соответствует выражение:

или ,

где, , а – оператор (обычно ), а изображению передаточной функции (рис. 3.24.б) – выражение .

Сигнальный граф допускает простое и наглядное изображение взаимодействия сигналов. Так, на рис. 3.25.а изображено суммирование, а рис 3.25.б - разветвление сигналов.

,

а) б)

Рис. 3.25

В качестве примеров приведем сигнальные графы для рассмотренных ранее систем. Так для системы регулирования скорости двигателя посто­янного тока (рис. 3.23.а) в частотной области имеем:

Рис. 3.26

Для системы первого порядка, уравнения которой имеют вид:

сигнальный граф во временной области изображен на рис. 3.27.

Рис. 3.27

Сигнальные графы представляют компактный аппарат представления информации особенно в случае сложных систем с большим числом взаимосвязей.

Итак, схемы прохождения сигналов содержат полную информацию о кибернетической системе: они отражают структуру системы и содержат в той или иной форме количественные соотношения между сигналами.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов лекций