ztm21 (850195), страница 2
Текст из файла (страница 2)
, 
, где
- частота 1-й (синоним: основной) гармоники;
- номера 1-й, 2-й, 3-й и т.д. гармоник;
и 
- постоянные; методы их определения хорошо разработаны: в [3] на c.552-556 см. таблицу из 47 наиболее распространённых видов периодических функций, разложенных в ряд Фурье; в [13] на c.74-88 - «Практический гармо-нический анализ»; в [6] на с.127-182 - «Элементы гармонического анализа».
В случае, если возмущающая сила является периодической функцией времени, то чисто вынужденные колебания определяются суммой частных решений дифференциальных уравнений
, 
,
и т.д., что в общем виде можно записать:
и
36.24
, на основании известной из курса высшей математики теоремы о наложении решений, получаем: ч
36.23
исто вынужденные колебания при периодической (состоящей из гармоник) возмущающей силе определяются выражениями - 
, где
Из полученного общетеоретического результата видим: громадные амплитуды колебаний у механической системы могут возбуждать не только первые (основные) гармоники, но и более высокого порядка.
Рекомендуемый подход по предупреждению резонансных явлений
У находящейся в эксплуатации механической системы массы и коэффициенты жёсткости отличаются от идеализированного расчётного варианта.
351
И не только по причине разбросов, обусловленных допусками на изготовление деталей. Могут отличаться, например, по причине происходящих во времени износов (абразивных, коррозионных и др.), что приводит к некоторым изменениям масс и коэффициентов жёсткости. Соединительные муфты и двигатели (это значит и моменты инерции) ещё на стадии монтажа механической системы могут несколько отличаться от идеального варианта. К тем или иным (особенно неподвижным) деталям могут быть прикреплены посторонние предметы (приборы, контролирующие устройства). И т.д., и т.п.
С целью гарантирования безотказной работы механической системы инженер устанавливает интервал возможных значений круговой частоты собственных её колебаний
например
.
Устанавливает и интервалы возможных значений круговых частот для периодической возмущающей силы. Например:
. Тогда:
.
Видно: есть опасность, что система может войти в резонанс от 3-й гармоники. Поэтому, по формуле 36.23 целесообразно определить резонансное значение амплитуды, вынуждаемое 3-й гармоникой - 
Эта амплитуда может оказаться несущественной.
Н
акопленный научно-инженерный опыт позволяет рекомендовать учитывать всего 3, но не более 5-ти нижних гармоник. Некоторое теоретическое основание к этому см. в [6] на с.148-152 – «Порядок убывания коэффициентов Фурье».
Если гармоника оказалась всё же резонансно опасной, то следует провести конструктивные изменения – взять упругие элементы с другими коэффициентами жёсткости, изменить моменты инерции, увеличить массы (если их уже нельзя уменьшить), но сделать так, чтобы 
вошёл в нерезонансный интервал круговых частот. Если иметь ввиду рассматриваемый пример, то надо сделать так, чтобы вошёл в интервал 
, либо 
.
Сложнее, но примерно такие же подходы имеют место при рассмотрении колебаний с несколькими степенями свободы.
352
36.7*. Рекомендации по предупреждению резонансных явлений в механических системах с несколькими степенями свободы
Конечной целью анализа по предупреждению резонансных явлений в системах с несколькими степенями свободы является построение линии согласования круговых частот. Идея этого подхода отражена на рис.10,
Примерный вид линии согласования круговых частот
Рисунок 36.10
где на числовой оси изображены:
толстыми отрезками - интервалы возможных круговых частот возмущающих гармоник;
отрезками двойных линий - интервалы собственных круговых частот системы;
отрезками тонких линий - незанятые (пустые) участки числовой оси (участки-гаранты резонансной безопасности).
Можно выделить 3 основных этапа в инженерном расчёте по предупреждению резонансных явлений в конкретной механической системе.
Первый этап – выявить интервалы круговых частот всех возможных возмущающих гармоник и нанести их на числовую ось. При этом, для периодических возмущающих сил целесообразно учитывать всего 3 нижние гармоники (основную, 2-ю и 3-ю).
Второй этап - установить частоты собственных колебаний системы.
Подэтап 2.1 - составить дифференциальные уравнения, описывающие свободные колебания системы.
Это позволяет сделать, например, уравнение возможных мощностей (см. раздел 32 и 12.6); при этом, следует учитывать лишь потенциальные силы (без возмущающих и сил сопротивления). Часто для этого используют также уравнения Лагранжа 2-го рода в форме через кинетический потенциал. В обобщённой форме (отвлекаясь от конкретной механической системы) составленные дифференциальные уравнения будут иметь вид:
а
,
,
................................................................................................................
,
где 
(в количестве 
) называют инерционными коэффициентами - они
353
являются алгебраическими выражениями от масс и моментов инерции тел системы;
(в том же количестве ) называют коэффициентами жёсткости (часто квазиупругими коэффициентами) - они в дифференциальные уравнения попадают из выражений для потенциальных сил.
Большого количества (
) коэффициентов и не следует бояться - число степеней свободы (
) обычно не столь велико – до десятка; матрицы симметричные; много нулевых элементов; из ненулевых больше постоянных, но в общем случае следует рассчитывать на наличие и коэффициентов, зависящих от обобщённых координат.
Подэтап 2.2 - линеаризация дифференциальных уравнений.
Для чего это нужно? - В случае нескольких степеней свободы подходы к решению разработаны практически лишь для линейных систем.
Обычно встречаются голономные, стационарные связи. Их и будем иметь ввиду. Такое ограничение позволяет констатировать: если и присутствуют переменные коэффициенты, то они являются функциями не сложнее, чем функции координат - 
; имеется ввиду, что для различных коэффициентов эти функции в общем случае различны.
Колебания происходят около положений устойчивого равновесия систем и, поэтому, начала отсчёта для обобщённых координат принимают такими, чтобы в положении равновесия они равнялись нулю. Тогда каждый из переменных коэффициентов раскладывают в ряд Маклорена и ограничиваются постоянной составляющей, т.е. от
берут лишь первое слагаемое - считают, что 
.
Такой подход уязвим - недостаточно строг в теоретическом плане (сохраняется лишь 1-й член ряда Маклорена, а остальные опускаются - как бесконечно малые 1-го, 2-го и т.д. порядков малости; на самом же деле перемещения являются конечными величинами). Однако практика подтвердила продуктивность такого подхода; несмотря на это замечаем: теория колебаний ещё не завершена – она, как одна из отраслей механики, сегодня ещё является передней линией науки; возможно появление и более точных подходов.
Подэтап 2.3 - переход от системы дифференциальных уравнений к частотному определителю.
Целью решения системы (а) является определение круговых частот свободных колебаний системы. Их количество - 
.
354
Для определения частот частные решения системы (а) ищут в виде:
б
.Вторые производные по времени от выражений (б):
в
.Подставляем (б) и (в) в (а):
,
,
..........................................................................................................
.
Известно, что система линейных (относительно 
) алгебраических уравнений может иметь решение отличное от нуля лишь в том случае, если её определитель равен нулю. Поэтому получаем
определитель для спектра частот собственных колебаний системы:
г
= 0
...............................................................................
Подэтап 2.4 - составление частотного многочлена
Разворачивая частотный определитель получают
ч
д
астотное уравнение 
, где
- квадраты неизвестных (определяемых) частот собственных колебаний системы. 
- числовые коэффициенты; при принятой расстановке знаков положительны; для их нахождения достаточно знания числовых матриц квазиупругих и инерционных коэффициентов:
.
355
В частности, их можно определять по предложенным нами (Игнатищев Р.М.) формулам:
; 
; 
;
; ................; 
; 
,
где 
и 
, как обычно, символы сумм и определителей;
нижний индекс «К2» символизирует о том, что речь идёт о комбинированной матрице, составленной из двух других - путём замены столбцов (или строк) одной матрицы на столбцы второй;
«
» символизирует. что столбцы одной матрицы замещаются столбцами второй с теми же номерами (
меняется на );
- количество столбцов, взятых из 
и заместивших столбцы с соответствующими номерами в 
; удобство для запоминания - и 
являются первыми буквами двух алфавитов (греческого и латинского)
- количество столбцов в комбинированной матрице, сохранившихся от .
При этом, рассматриваются все различные замещения, без повторений и перестановок. Например, при 
и 
определяются как суммы 5 соответствующих определителей; 
и 
- как суммы определителей 10-ти комбинированных матриц. Вот, в частности, по каким матрицам вычисляется коэффициент : с с с а а; с с а с а; с с а а с; с а с с а; с а с а с;
с а а с с; а с с с а; а с с а с; а с а с с; а а с с с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
