ztm18 (850192), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Д
ано. – Механическая система по рис.32.3.
Требуется. - Определить натяжение 
троса, выразив его через веса 
- балки и 
- катков. Как и в предыдущей задаче, сопротивлениями пренебречь.
Р Рисунок 32.3
ешение.- Изображаем на рисунке возможные скорости: для центров катков -
, для балки - 2.
.
301
П
К определению реакций
в трёхопорной балке
РИМЕР 32.3.- Определение реакций в трёхопорной балке Д
ано. – На рис.32.4 вверху изображена исходная механи-ческая система. Размеры указаны на рисунке, 
кН.
Требуется. - Определить реакции на опорах 
и в шарнире 
.
Решение.- Из исходной меха-нической системы выделяем 4 подсистемы. На рис.32.4 они изображены одна под другой. Первая подсистема отличается от исходной лишь тем, что у неё убрана опора 
, но её действие учтено реакцией 
. Вторая подсистема отличается от исходной тем, что действие опоры 
заменено реакцией 
. У третьей подсистемы вместо опоры 
реакция 
.
У
Рисунок 32.4
каждой из трёх перечисленных механических подсистем степень подвижности равна 1. У четвёртой подсистемы (балка
) степень подвижности - два.За обобщённые координаты для всех 4-х случаев принимаем возможное вертикальное отклонение точки 
от горизонтали. За вторую обобщённую координату, определяющую возможное движение 4-й подсистемы принимаем горизонтальное отклонение точки от вертикали. Теперь видно:
для первой подсистемы - 
кН;
для второй подсистемы - 
кН;
302
для третьей подсистемы - 
кН (знак «минус», как и ранее, означает, что в действительности реакция направлена вниз).
Для четвёртой подсистемы:
по первой обобщённой координате - 
кН;
по второй обобщённой координате - 
.
Рекомендуем самостоятельно установить значение горизонтальной составляющей реакции на опоре и проставить единичные векторы 2-х возможных скоростей точки для четвёртой подсистемы (чтобы они соответствовали приведенным записям).
К определению ускорений в блочно-тросовой системе с S=2
П
РИМЕР 32.4.- Система «Два блока на неподвижной оси и один на подвижной – трос – две наклонные плоскости – три груза»
Дано. – На рис.32.5 cправа-вверху изображён вид сбоку на блоки, вращающиеся вокруг одной неподвижной оси. Наклоны плоскостей (
) заданы. Трос нерастяжим. Трением, массами блоков и троса пренебречь. Веса 
известны.
Составить систему уравнений для определения ускорений грузов 
.
Решение.- Положение заданной механической системы опреде-ляется тремя координатами - 
, которые связаны между собою уравнением
Рисунок 32.5
,
где 
- постоянные: 
- длина всего троса; 
- длина части троса, охватывающей первый блок с неподвижной осью; 
- длина части троса, охва-
303
тывающей нижний блок; 
- длина части троса, охватывающей второй блок с неподвижной осью.
Д
а
воекратно взяв производную от уравнения связи получаем:
.
Т.к. уравнение связи между 
есть, то независимых переменных два. За них принимаем 
и 
.
Возникает вопрос: «Почему и , а не и 
, или и »?
Общей рекомендации нет. Можно принять и первый, и второй, и третий варианты - для результата это безразлично, но в подобных случаях анализ на оптимальное решение может потребовать больше времени, чем затрачиваемое на решение случайно взятым (по интуиции) вариантом.
Итак, за независимые переменные принимаем: 
.
Выражения для сил инерции: 
.
Переходим к составлению двух уравнений.
Вначале варьируем первой обобщённой координатой – см. на рисунке 
; модуль для неё, а затем и для 
, в соответствии с рекомендацией 32.14 принимаем равным единице. Т.к. при первой одиночной вариации скорость центра тяжести 2-го тела равна нулю, то возможные мощности для 
и 
равны нулям; равна нулю и возможная скорость точки А, т.е. при первой одиночной вариации обобщёнными координатами она является мгновенным центром скоростей. Очевидно, что 1-я вариационная скорость точки равна единице и направлена вверх и, следовательно, первая вариационная скорость центра нижнего блока направлена вверх и равна 
. Таким образом, получаем:
. Откуда:
б
Из 2-й одиночной вариации обобщёнными координатами аналогично получается (рекомендуем сделать самостоятельно):
в
.
Далее из системы линейных уравнений (а) (б) и (в) находятся выражения (через известные) для 
и 
и, после двоекратного интегрирования, находятся законы движения первого, второго и третьего грузов.
304
33. Закон сохранения полной механической энергии
33.1. Введение в раздел
Имеются рядовые задачи, которые удобно решать с использованием рассматриваемого закона.
И
33.4
спользуется он и в общетеоретических построениях - уравнения Лагранжа 2-го рода для консервативных систем, теория устойчивости, малые колебания (см. подраздел 34.4 и раздел 35).Кроме того, ещё и сегодня встречаются изобретатели вечных двигателей. Инженер обязан уметь объяснить окружающим бесперспективность работ над ними и направить энергию заблудившегося в своих научно-технических изысканиях человека на полезные обществу дела. Закон о сохранении полной механической энергии прямо и научно отвечает на этот вопрос.
Р
33.5
анее рассмотренные опорные факты динамики (закон о движении центра масс; законы об изменениях количества движения, кинетического момента и кинетической энергии; методы кинетостатики и возможных перемещений) справедливы для любых механических систем. О законе сохранения механической энергии этого сказать нельзя. Он применим лишь к консервативным системам.
33.1
Консервативная система – это механическая система, на которую действуют только потенциальные силы.
33.2. Понятие о потенциальных силах и потенциальной энергии. Критерии потенциальности
В подразделе 30.1 давалось понятие о работе силы на конечном перемещении точки её приложения -
, где
- проекции силы на оси координат.
33.2
Силу называют потенциальной, если производимая ею работа не зависит от формы траектории точки приложения, а зависит лишь от начального и конечного её положений. Из определения следует две эквивалентные формы критерия потенциальности сил (одна удобна в одних случаях, вторая – в других).
Из курса высшей математики известно, что независимость криволинейного интеграла от формы пути равносильна равенству нулю этого интеграла вдоль всякой замкнутой кривой. Поэтому
п
33.3
ервая форма критерия для потенциальных сил: если для силы соблюдено математическое условие 
, то она является потенциальной.
305
Из курса высшей математики известно и другое: чтобы криволинейный интеграл не зависел от формы пути, необходимо и достаточно, чтобы подинтегральное выражение, т.е. 
, было полным дифференциалом некоторой функции координат, т.е.
е
сли сила потенциальная, то обязательно существует такая функция координат 
, которая удовлетворяет условию:
;
её называют силовой, а 
, где - произвольная постоянная, называют потенциальной энергией объекта (точки, тела) приложения потенциальной силы.
Из 33.4 следует
в
торая форма критерия для потенциальных сил:
-
Покажем справедливость результата 33.5.
В соответствии с понятием полного дифференциала:
а
.
Из 33.4:
б
.
Из (а) и (б):
в
.
Взяв частную производную от 
по 
, затем от 
по 
и, учитывая известную из курса высшей математики теорему о независимости результата от последовательности взятия производных, получаем:
.
Второе и третье равенства критерия потенциальности 5 показываются аналогично.
306
3
33.7
3.3. Примеры анализа сил на предмет отнесения их к классу потенциальныхПотенциальная сила зависит лишь от координат точки её приложения. Поэтому силу, с которой действует на электрон электромагнитное поле -
- нельзя отнести к классу потенциальных.
Н
33.8
епотенциальна и сила, с которой на тело действует поток жидкости или воздуха - эта сила зависит от скорости движущихся частиц.Теперь 2 случая, когда сила зависит от координат точки её приложения.
Первый случай: можно ли отнести к классу потенциальных силу
33.9
? - Нет. Потому, что для неё 
.
Второй случай: можно ли отнести к классу потенциальных силу, у которой
?
- Можно. Потому, что в этом случае
.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
