ztm18 (850192), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Н
33.6
аиболее распространены постоянные силы (например, сила тяжести), упругие силы (упруго деформируется подавляющее большинство инженерных конструкций) и силы гравитации. Они относятся к классу потенциальных; покажите это самостоятельно (воспользовавшись критерием потенциальности в форме 33.3 или 33.5).
33.4. Формулы для вычисления потенциальной энергии в случаях действия сил тяжести, упругих и гравитационных сил
Из 30.1б и (б) подраздела 33.2 -
, 
а
,
т
33.10
.е. потенциальную энергию объекта, находящегося под действием потенциальной силы, удобно вычислять через работу этой силы на конечном перемещении точки её приложения. Формулы для вычисления работ сил тяжести, упругой и гравитационной приводились в подразделе 30.2.Таким образом.-
307
П
отенциальную энергию тела, находящегося под действием силы тяжести, можно вычислять по формуле:
, где
- высота, на которое поднято тело над плоскостью, принятой за плоскость с нулевым уровнем потенциала.
П
отенциальная энергия пружины: 
, где
- величина её деформации, 
- жёсткость.
Г
равитационно-потенциальная энергия тела:
, где
за нулевой уровень потенциала принята сфера радиуса 
с центром в притягивающей массе.
33.5. Закон сохранения полной механической энергии
Расположив себя в инерциальной системе отсчёта к рассмотрению принимаем консервативную систему.
Представляем её состоящей из частиц.
В соответствии с (а) предыдущего подраздела
, 
Как и ранее, последняя запись в развёртке мысленно представляется в виде столбца выражений (в 1-й строке нижний индекс – 1; во 2-й – 2; в 3-й - 3 и т.д.). Складывая все строки почленно получаем:
.
Обозначаем и называем:
- потенциальная энергия консервативной системы.
Учитываем (см. 30.25), что 
, где
- кинетическая энергия системы.
После интегрирования получаем
з
акон сохранения полной механической энергии:
или 
- для консервативных систем полная механическая энергия (сумма кинетической и потенциальной энергий) является постоянной во времени величиной.
308
П
К примеру на закон сохранения полной механической энергии
РИМЕР 33.1. - Кулисный механизм с пружиной Д Рисунок 33.1
ано. – На рис.33.1: 
м – кривошип, его момент инерции относительно точки 
- 
кгм2, 
– кулиса с моментом инерции относительно точки 
- 
кгм2; масса ползуна 
- 
кг; 
, 
; между ползуном и заплечиками 
расположена пружина с жёсткостью 
Н/м. Механизм расположен в горизонтальной плоскости и внешними силами не нагружен. В 1-м положении (
) пружина недеформирована, а угловая скорость кривошипа - 
.
Определить угловую скорость кривошипа во втором его положении (
).
Решение.- Применяем закон сохранения полной механической энергии:
а
.
В первом положении ( ):
=
(кг. м2)/с2.
Потенциальная энергия в первом положении 
(по условию).
Во втором положении ( ) кинетическая энергия кулисы 
. Но несложно видеть, что 
и поэтому:
.
(кг. м2)/с2.
309
Подставляем вычисленные значения для 
в (а) и получаем:
.
33.6. О вечных двигателях
Открытие закона сохранения полной механической энергии во многом обусловлено имевшим место в обществе настроением создавать «вечные двигатели». Идея о возможности создания «perpetuum mobile» появилась в 12 веке. Упоминает о нём в своём трактате индийский математик и астроном Бхаскар Ачарья (1114-1185). Пропагандировал работу над созданием вечных двигателей Роджер Бэкон (1214-1292). До наших дней дошла «Книга рисунков» (1235-1240 годы) французского инженера и архитектора Виллара д’Оннекура, где вечный двигатель предложен в форме колеса с шарнирно прикреплёнными к его ободу молоточками.
По поводу невозможности создания вечного двигателя, опираясь на данные науки того времени (в основе которых, как и сегодня лежали опытные данные), высказывали своё мнение многие крупные учёные.- Леонардо да Винчи (1452-1519): «Искатели вечного движения, какое количество пустейших замыслов пустили вы в мир»! Кардано (1501-1576): «Нельзя устроить часы, которые заводились бы сами собою и сами поднимали гири, движущие механизм». Галилей (1564-1642): «Машины не создают движение; они только его превращают. Кто надеется на другое, тот ничего не понимает в механике». Известны также работы Стевина (1548-1620) и Уилкинса (1599-1658). Зачатки современного научного обоснования бесперспективности работ по созданию вечных двигателей имеются у Гюйгенса (1629-1695): «Тело не может под действием тяжести подняться выше той высоты, с которой оно упало». Перечень фамилий учёных, советовавших не заниматься изобретением вечных двигателей, будет продолжен, но пока 2 констатации:
экспериментально-теоретические данные и назойливость «изобретателей» вечных двигателей вынудили Парижскую Академию наук в 1775 году принять официальное постановление, что впредь она «не будет рассматривать никакой машины, дающей вечное движение», ибо «Создание вечного двигателя абсолютно невозможно»;
и всё же, несмотря на созревшую в обществе ясность в рассматриваемом вопросе, по данным Британского патентного бюро с 1850-го по 1903 год было подано около 600 заявок на вечные двигатели; аналогичная картина наблюдалась и в других странах; к сожалению, вопрос с изобретателями вечных двигателей не прост; такие энтузиасты встречаются и по сей день – см., например, книгу «Бродянский В.М. Вечный двигатель – прежде и теперь.- М.:, 1989 – 256 с.».
310
Далеко не все имеют инженерное образование, что обязывает нас пояснить результат - в том направлении, чтобы инженер мог не на эмоциональном, а строго научном уровне (с формулами, фамилиями, опираясь на многовековой опыт) убедительно пояснять, при необходимости, бесперспективность занятий по поиску вечных двигателей.
Если бы было получено не , а
,
т
33.12
огда можно было бы говорить о наличии явления приращения механической энергии с возрастанием времени и рекомендовать проводить работы по созданию вечного двигателя. Более того, из опыта хорошо известно, что в реальных системах в процессе преобразования одного вида механической энергии в другой происходит ещё и нагрев деталей (это за 800 лет работы над вечными двигателями повседневно наблюдали и энтузиасты, и их оппоненты), т.е. 33.10 отображает идеализированную механическую систему. Если же учитывать потери на нагрев, то следует констатировать: полная механическая энергия системы со временем уменьшается (рассеивается) и справедливыми оказываются противоположные неравенства:
33.13
33.11
Заканчивая рассматривать вопрос о бесперспективности работ над созданием «perpetuum mobile», заметим:
в течение прошедших 800 лет были «успехи» и у создателей вечных двигателей - Орфиреус (1680-1745), Кили (19-й век, умер в 1896) и другие, но всегда выяснялось - это были мошенники;
вопрос был не прост – это сейчас есть чёткие количественные критерии к вопросу о бесперспективности работ над созданием «perpetuum mobile; тогда этого не было; ныне используемые понятия и количественные характеристи (потенциальная и кинетическая энергии, кинетический потенциал; консервативные и неконсервативные системы) были разработаны лишь к середине 19-го века; даже термин «энергия» был введен только в 1807 г. – Т.Юнг (1773-1829), вошёл же он в жизнь позже - благодаря стараниям У.Ренкина (1820-1872) и У.Томсона-Кельвина (1824-1907);
закон о сохранении механической энергии лишь наполовину решал проблему; но затем стал известен механический эквивалент тепловой энергии (4190 Нм/ккал), другие результаты, позволяющие заключить: усилиями С.Карно (1796-1832), Р.Майера (1814-1878), Д.Джоуля (1818-1889) и ряда других учёных 19-го века проблема была закрыта полностью – появился закон сохранения энер-гии в широком плане, учитывавшем не только кинетическую и потенциальную, но тепловую, магнитную, электрическую, звуковую и световую энергии.
311
33.7*. Уравнение невозмущённой траектории космического аппарата. Понятие о трёх космических скоростях
33.7.1. Понятие о невозмущённой траектории
Для выявления движения космического аппарата (КА) надо учитывать действия многих притягивающих его тел. Такой точный подход, известный среди специалистов как «задача N тел», наталкивается на огромные математические трудности. Даже для трёх тел задача решена лишь для нескольких частных случаев. Поэтому на практике для выявления траектории движения КА используют следующий двухэтапный подход.-
Полагают, что на КА действует сила лишь со стороны близлежащего притягивающего центра – Земли, Солнца и т.д.; действием других тел и ускорением близлежащего притягивающего центра относительно инерциальной системы пренебрегают.
Т
раекторию КА, вычисленную в предположении действия лишь одного, наиболее значимого притягивающего центра, называют невозмущённой.
При необходимости более точного определения траектории КА, начинают учитывать другие, наиболее существенные гравитационные силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
