ztm4 (850178), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Естественный способ описания движения тесно связан с человеческой деятельностью - вытекает из практической потребности рассмотрения переме-щений по железным и автомобильным дорогам, по рекам, горным и лесным тропам, по пещерам и горным выработкам, по направляющим станков, т.е.
д
17.2
вижение точки считается описанным естественным способом (см. рис.17.1), если для неё определены траектория (
), координата 
вдоль траектории (которая является алгебраической величиной), начало её отсчёта (
), положительное (+) или отрицательное (-) направления; траектория – это непрерывная линия, образованная точками системы отсчёта, вдоль которой перемещается движущаяся точка 
.
Д
17.3
вижение точки считается описанным прямоугольно-декартовым (иначе: координатным) способом (см. рис.17.1), если для неёо
Косоугольная система координат
пределены как функции времени абсцисса (
), ордината (
) и аппликата (
), т.е. если оказываются известными три функции - 
. Д
ля определения положения точки в пространстве можно придумать (и существует) много других систем отсчёта.
На рис.17.2 изображена косоугольная система координат. 
- её оси; 
- межосевые углы (в общем случае отличающиеся от 90о); координатами точки в системе 
являются 
; 
; 
.
Рисунок 17.2
91
Н
К понятиям «цилиндрическая»,
«сферическая» и «полярная» системы координат
а рис.17.3 изображена цилиндрическая система координат. В ней - движущаяся точка; 
принадлежит плоскости 
; 
. Цилиндрическими координатами точки являются: - аппликата; 
- полярный радиус; 
- полярный угол.
П
оложение точки можно определить и сферическими координатами (см. тот же рис.17.3): - долгота; 
- широта; 
- расстояние до точки.
При 
сферическая и цилиндрическая системы координат вырождаются в полярную: 
- полюс; - полярная ось; - полярный угол; - полярный радиус.
Д
Рисунок 17.3
ля описания положения точки применяют также эллиптические, параболические, тороидальные и другие системы координат. Е
17.4
сли движение точки описано способом, отличающимся от тройки простейших – векторного, естественного и координатного, то будем говорить: «движение точки задано обобщённо-координатным способом»;о
К понятию о скорости точки
бщий подход, с иллюстрацией примером, к определению скоростей и ускорений точек при обобщённо-координатном способе описания движения рассматривается в подразделе 17.5.17.2. Понятия о скорости и ускорении точки
Н
а рис.17.4: 
- точки траектории, в которых движущаяся точка находится в моменты времени 
. Соответствующие им радиус-векторы обозначены 
.
Понятия скорости и ускорения точки являются конкретными приложениями уже известных студентам понятий и правил векторной алгебры.
В соответствии с ними записываем:
Рисунок 17.4
.92
Разность (
) принято обозначать 
и называть приращением радиус-вектора 
(за промежуток времени 
). Иначе: - это вектор перемещения точки за промежуток времени 
.
С
17.5
редняя скорость точки (на заданном промежутке времени ) – это кинематическая мера, математически определяемая как частное от деления вектора перемещения точки на соответствующий ему промежуток времени , т.е. 
и т.д.
Для мысленно представляемого множества средних скоростей применяют запись:
.
Наряду со средней, в практике используется и понятие «мгновенная скорость». В частности, она является одним из основных критериев безопасности движения транспортных средств.
При 
также стремится к нулю. При таком условии ( ) называют вектором элементарного перемещения движущейся точки и обозначают 
.
М
гновенная скорость точки в некоторый момент времени 
– это кинематическая мера, математически определяемая как предел, к которому стремится средняя скорость на промежутке времени 
, содержащему . Скорость точки: -
17.6
- это непрерывное множество мгновенных её скоростей (при 
; при 
; при 
; и т.д.)
С
17.7
целью сокращения письма математики производные отображают штрихами. В теоретической механике наиболее часто встречаются производные по времени. Их выделяют из остальных переменных и обозначают иначе - точками над буквами - 
.Исходя из понятий «скорость точки», «элементарное её перемещение», «траектория» (как линия) и «касательная к линии» получаем:
93
с
17.8
корость движущейся точки направлена по касательной к траектории (по касательной в той точке траектории, в которой в рассматриваемый момент времени находится движущаяся точка).П
К понятию о годографе скорости
ереходим к введению второго базового понятия кинематики – к понятию «ускорение точки». Замечание: И.Ньютон не оперировал понятием «ускорение»; понятие об ускорении (как о геометрической величине) введено в 1841г. - Ж.Понселе (1788 - 1867). В общем случае скорость точки является переменной во времени величиной (как по модулю так и по направлению) - см. рис.5.
В
Рисунок 17.5
той же системе
(в которой рассматривалась траектория точки) построим ещё одну линию - г
17.9
одограф скорости точки – это траектория, которую описывает конец скорости, при условии, что её начало во времени совмещено с началом системы отсчёта и изображается она в одном масштабе - рис.17.6.С
О годогрфе скорости
и ускорении точки
математической точки зрения понятие ускорения подобно введенному понятию скорости: 
.
называют приращением скорости за промежуток времени .
С
Рисунок 17.6
17.10
реднее ускорение точки (на заданном промежутке времени ) – это кинематическая мера, математически определяемая как частное от деления приращения скорости на соответствующий ему промежуток времени , т.е.: 
.Наряду со средним, в практике используют также понятие «мгновенное ускорение». В частности, его необходимо знать для проведения прочностных
расчётов, для оценки допустимых перегрузок, действующих на лётчиков и космонавтов.
94
М
17.11
гновенное ускорение точки (как элемент множества - в некоторый момент времени ) – это кинематическая мера, математически определяемая как предел, к которому стремится среднее ускорение на промежутке времени , при условии, что принадлежит этому промежутку времени 
. У
17.12
скорение точки – это, как и для скоростей, непрерывное множество мгновенных ускорений этой же точки (при
; при 
; при 
; и т.д.,) что в свёрнутом виде записывают: 
, или 
, или 
, или 
.
17.3. Кинематика точки при естественном способе описания движения
Аксиома (о гладкости траекторий):
в
17.13
кинематике все траектории являются гладкими линиями - ни они сами, ни первые и вторые их производные не имеют разрывов.Сформулированное не противоречит встречающимся качественным исследованиям - мягкие и жёсткие удары в кулачковых механизмах и т.д., ибо при количественных исследованиях оказывается, что острие иглы под микроскопом смотрится как холм, взаимодействующие поверхности всегда деформируются.
П
17.14
одвижная касательная (на рис.17.7 -
; 
- её орт.) - это направленная в сторону возрастания координаты (
) полукасатель-ная с началом во времени совпадающим с движущейся точкой ( ).
К понятию
«подвижная касательная»
В общем случае орт подвижной касательной – величина переменная (по направлению); если же траекторией точки является отрезок прямой, то 
.
П
5
0
2
1
3
4
S
M
9
7
6
8
T
роекцию скорости точки на подвижную касательную (
) будем обозначать просто 
. Тогда: 
17.15
.П
Рисунок 17.7
роекция скорости точки на подвижную касательную – величина алгебраическая – может быть большей и меньшей нуля. 95
Из математического анализа известно, что для гладких линий длины бесконечно малых дуг равны длинам соответствующих стягивающих хорд с точностью до бесконечно малых второго порядка малости. Это, а также 7 и 15, приводят к выводу:
17.16
- проекция скорости точки на подвижную касательную равна производной по времени от криволинейной её координаты.С целью рассмотрения ускорения точки, необходимо обратиться к некоторым понятиям и результатам дифференциальной геометрии.-
Соприкасающаяся плоскость – это плоскость, в которой находится движущаяся точка с прилегающим к ней бесконечно малым участком траектории. Очевидно, что подвижная касательная находится в соприкасающейся плоскости. Если траекторией является плоская кривая, то соприкасающейся плоскостью является плоскость расположения траектории, т.е. её положение не зависит от времени (она является постоянной). Если же траекторией точки является пространственная кривая, то в различных её точках касательные плоскости будут различными.
П
17.17
К понятию «подвижный трёхгранник»
одвижная главная нормаль (её орт -
) - это ось, начинающаяся в движущейся точке, перпендикулярная подвижной касательной, расположенная в соприкасающейся плоскости и направленная в сторону вогнутости бесконечно малого участка траектории, примыкающему к движущейся точке. П
17.18
n
b
одвижная бинормаль (её орт - 
) - это ось, дополняющая подвижные касательную и главная нормаль до прямоугольной системы координат, удовлетворяющей условию: 
. П
17.19
Рисунок 17.8
одвижный трёхгранник (см. рис.17.8) - это совокупность трёх взаимно перпендику-лярных подвижных касательной, главной нормали и бинормали. Е
17.20
сли
- угол между касательными, проведенными в начале и конце элементарного участка траектории, длиной 
и содержащего точку 
, то величину 
называют кривизной траектории в её точке . Величину, обратную кривизне 
, называют радиусом кривизны траектории в точке А.96
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
