Диссертация (786091), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

Другими словами, дляматематически корректной постановки краевых задач в расширенной микрополярной теории оболочек (пластин) число неизвестных функций не должнобольше десяти (максимальное число неизвестных функций зависит от числа291уравнений относительно контравариантных компонент тензоров усилий и моментов). С целью решения этой проблемы, как было сказано выше в случаемикрополярной теории оболочек (пластин), аналогично классическому случаюможно сформулировать подходящие кинематические или статические гипотезы, или и те и другие так, что число неизвестных функций не было большедесяти. Хотя, используя метод классических ортогональных полиномов (иликакой-нибудь аналитический метод), можно обойтись без гипотез и построитьтакие теории тонких тел (а не оболочек), в которых число системы уравненийи, следовательно, число неизвестных функций могут быть значительно большедесяти (см.

выше III и IV главы, а также [305,306]), что вполне естественно принынешнем развитии вычислительной техники.Ниже в отличие от микрополярной теории оболочек более подробно рассмотрим некоторые вопросы из классической моментной теории оболочек.6.56.5.1Некоторые вопросы классической моментной теории оболочекУсилия и моменты. Тензор усилий и тензор моментовВ классической теории оболочек принимается гипотеза о том, что вместо точечного определения непрерывного поля напряжений в оболочке достаточноопределить их результирующие и пары. Так как предполагается, что оболочка представляет в достаточной мере жесткую механическую систему, то, если на всякой поперечной площадке систему действующих на нее непрерывнораспределенных сил заменить статически эквивалентной силой и парой, этимсущественно не исказится картина напряженно-деформированного состоянияоболочки.Пусть l̂ — орт тангенциальной нормали дуги dŝ координатной поверхностиŜ: x3 = const.

Обозначим через Σl линейчатую поверхность, образованную нормалями к S (базовой поверхности), проходящими через dŝ. Соответствующуюdŝ на базовой поверхности S дугу обозначим ds, а орт тангенциальной нормалик ней через l. Тогда, нетрудно заметить, что имеют место формулы (6.3.1) –(6.3.3).Пусть P̂(ˆl) — вектор напряжения, действующий на площадку dΣ̂ˆl = dŝdx3 снормалью l̂ в некоторой точке (x1 , x2 , x3 ) ∈ dΣ̂ˆl . Тогда имеем (см. первые двеформулы (6.3.4))ˆP̂(l̂) = l̂ · P̂ = ˆlIˆP̂I ,eP(l) = l · P = lI PI ,e(6.5.1)где, конечно, P̂ — тензор напряжений в точке (x1 , x2 , x3 ), а P = P̂|x3 =0 .eeВведем в рассмотрениеусилие и момент сил напряжений eT(l) ds =∫h−hP̂(l̂) dŝdx3 =∫h−hP̂(l̂) dΣ̂l̂ ,M(l) ds = n ×∫h−hP̂(l̂) x3 dŝdx3 = n ×∫h−hP̂(l̂) x3 dΣ̂l̂ .(6.5.2)действующих на Σl , а также тензор усилий T и тензор моментных усилий M,efдля которых аналогично (6.5.1) имеют место формулы(см.

первые две формулы(6.3.5) и (6.3.6))T(l) ds = l · T = lI TI ,eM(l) ds = l · M = lI MI .f(6.5.3)292Нетрудно видеть, что в силу (6.3.3), (6.5.1) и (6.5.3) из (6.5.2) имеемlI TI ds =∫h−hˆl ˆP̂Iˆdŝdx3 =I∫hˆϑ̂lI P̂I dsdx3 ,−hlI MI ds = n ×∫h−hˆl ˆP̂Iˆx3 dŝdx3 = n ×I∫hˆϑ̂lI P̂I x3 dsdx3 .−hОтсюда, очевидно, находимTI =∫hˆϑ̂P̂I dx3 =−h∫h−hˆMI = n ×ϑ̂gJI P̂I dx3 ,∫h∫hˆϑ̂P̂I x3 dx3 = n ×−h−hˆϑ̂gJI P̂I x3 dx3 ,(6.5.4)где TI и MI называются контравариантными составляющими тензоров усилийи моментных усилий. Заметим, чтоn × P̂J = n × rK P̂ JK = CKL rL P̂ JK = CK· L· rL P̂ JK .Учитывая последнее равенство, второе соотношение (6.5.4) можно представитьв видеMI = n ×∫hˆϑ̂P̂I x3 dx3 =∫h−h−hϑ̂gJI CK· L· P̂ JK rL x3 dx3 .ˆ(6.5.5)Из первой формулы (6.5.4) и (6.5.5) видно, что тензор усилий и тензор моментных усилий представляются в видеT = rI TI = T Ik rI rk ,eM = rI MI = M IK rI rK ,f(6.5.6)где в силу первой формулы (6.5.4) и (6.5.5) компоненты тензоров усилий имоментных усилий имеют видT Ik =∫h−hˆϑ̂gJI P̂ Ik dx3 ,∫hM IL =−hϑ̂gJI CK· L· P̂ JK x3 dx3 .ˆ(6.5.7)Из (6.5.7) видно, что тензор усилий имеет шесть компонент, а тензор моментных усилий четыре.Теперь с целью сокращения письмаTI =∫hˆ−hϑ̂gJI P̂I dx3 ,∫hMI =−hϑ̂gJI CK· L· P̂ JK rL x3 dx3ˆ(6.5.8)представим в линиях кривизны.

В этом случае имеемϑ̂ = (1 − k1 x3 )(1 − k2 x3 ),gαβ = 0,α ̸= β,g11̂ = (1 − k1 x3 )−1 ,g11̂ = (1 − k2 x3 )−1 , (6.5.9)поэтому формулы (6.5.8) представятся в видеTα =∫h−hϑ̂gαα̂ P̂α dx3 ,∫hMα =−hϑ̂gαα̂ CK· L· P̂ αK x3 dx3 rL .(6.5.10)В силу (6.5.9) из формулы (6.5.10), очевидно, имеем∫hT1 =−h∫hϑ̂g11̂ P̂1 dx3 =M1 =−h∫h−h(1 − k2 x3 )P̂1 dx3 ,(1 − k2 x3 )CK· L· P̂ 1K x3 dx3 rL ,T2 =M2 =∫h−h∫h−hϑ̂g22̂ P̂2 dx3 =∫h−h(1 − k1 x3 )P̂2 dx3 ,(1 − k1 x3 )CK· L· P̂ 2K x3 dx3 rL .293Таким образом, в линиях кривизны Tα и Mα имеют выраженияTα = T αk rk =αM =MαJ∫h−hrJ =[gαα − (k2 g1α + k1 g2α )x3 ]P̂α dx3 ,∫h−h(6.5.11)[gαα−(k2 g1α+k1 g2α )x3 ]CK· L· P̂ αK x3 dx3 rL .Очевидно, усилие (вектор усилия) T(l) и момент (вектор моментного усилия)M(l) представляют векторы, рассчитанные на единицу длины. Пусть s — орткасательной дуги ds.

Предположим, что орты l, s, n составляют триэдр правойориентации, т.е.n × l = s,l × s = n,s × n = l.Тогда усилие T(l) и момент M(l) можно представить в видеT(l) = T(ll) l + T(ls) s + T(ln) n,(6.5.12)M(l) = M(ll) l + M(ls) s.(6.5.13)Таким образом, усилие T(l) имеет три компоненты: T(ll) — нормальное усилие, T(ls) — касательное усилие и T(ln) — поперечное касательное усилие, котороееще называется перерезывающей силой. Момент M(l) имеет две компоненты:M(ll) — крутящий момент, M(ls) — изгибающий момент.Непрерывно распределенная на поперечной площадке Σl с нормалью l (l— тангенциальная нормаль к дуги ds серединной поверхности) система сил напряжений статически эквивалентна совокупности усилия T(l) и момента M(l) . Вклассических построениях теории оболочек принимают допущение, что заданиесовокупности усилия T(l) и момента M(l) на каждой поперечной площадке Σl ,как уже отмечалось выше, с вполне достаточной точностью дает картину распределения напряжений в оболочке.

Поэтому основной задачей классическойтеории оболочек считается определение усилий и моментов сил напряжений,действующих на поперечных площадках. Эти величины имеют важный механический смысл. Если мы нагружаем боковые поверхности оболочки поверхностными силами, то практически мы прилагаем к отдельным участкам поверхности статически эквивалентные им суммарные силы – усилия и моменты.Поэтому, естественно, вместо непрерывного распределения напряжений отыскать их результирующие и моменты.Далее сравним теорию приближения порядка N = 1 с классической моментной теорией. В этом случае тензор напряжений представляется в виде(0)x3 (1)P̂ ≈ P + Ph eee(6.5.14)(0)(1)и, следовательно, относительно компонент тензоров P и P имеем в отличиеee и шесть граничот классической теории (см.

ниже (6.5.76)) шесть уравненийных условий (выписывать их не будем, см. III и IV главы, а также постановкизадачи), с помощью которых можно определить не более шести неизвестныхфункций.294Далее в первую очередь найдем выражения для P(l) – вектора напряжения(0)(1)на площадке Σl через T(l) , M(l) , P и P. Нетрудно заметить, что в силу (6.3.3)e eи (6.5.1) из (6.5.2) имеемT(l) =∫h∫hˆϑ̂lI P̂I dx3 =−hM(l) = n×∫h−hIˆ 3ˆϑ̂lI gJI P̂J dx3 ,3ϑ̂lI P̂ x dx = n×−h(6.5.15)∫h−hˆϑ̂lI gJI P̂J x3 ddx3 .Учитывая, чтоgJI = ϑ̂−1 AJI ,ˆˆˆAJI = (1 − 2Hx3 )gJI + x3 bIJ ,2H = bII ,(6.5.16)формулы (6.5.15) можно представить в видеT(l) =∫h−hˆlI AJI P̂J dx3 ,M(l) = n×∫h−hˆlI AJI P̂J x3 ddx3 .(6.5.17)В силу (6.5.14) и второй формулы (6.5.16), из (6.5.17) для T(l) и M(l) послепростых вычислений получим следующие выражения(0)(1)2T(l) = 2hlI PI + h2 (bJI − 2HgJI )lI PJ ,3(0)(1)2 3 I2M(l) = h (bJ − 2HgJI )lI n× PJ + h2 lI n× PI .33(6.5.18)Учитывая (6.5.3), из (6.5.18) найдем(0)(1)22hPI + h2 (bJI − 2HgJI )PJ = TI ,3(0)(1)2 3 I2h (bJ − 2HgJI )n× PJ + h2 n× PI = MI .33(6.5.19)С целью сокращения письма введем обозначение2aJI = h2 (bJI − 2HgJI ).3(6.5.20)Тогда в силу (6.5.20) соотношения (6.5.19) можно записать в форме(0)(1)2hPI + aJI PJ = TI ,(1)(0)2haJI n× PJ + h2 n× PI = MI .3(6.5.21)(0)(1)В виде (6.5.21) получили систему уравнений для определения PI и PI .

Характеристики

Список файлов диссертации