Диссертация (786091), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Считаем, что лицевые поверхности каждого слоя— регулярные поверхности и в случае ограниченного незамкнутого слоя егобоковая поверхность является линейчатой поверхностью.Итак, рассматривая новую параметризацию области многослойного тонкоготела и учитывая сказанное в начале этого раздела, в силу (5.2.1) обобщенныйоператор типа Рейсснера при полном контакте (совершенной или идеальнойадгезии) слоев можно представить в видеK∑(−) (−) (−) (−) (+) (+) (+) (+)Ř(u, φ , γ , κ , P, µ , T, µ , u , φ , P , µ , u , φ , P , µ ) =α α α α α α α α α α α α α α α α αe ee eα=1e e e eK t22∑γγφ]dVα −κ−∇⊗(γ[W̌(γ)−P−∇u+C·φ)−µφ ) − ρF·u − ρm·φ=,κ⊗(κα α αα αα α≃ ααα ααα αααααeeeα=1 Vαeeeα{}Ks∑ sµφφ·(u−u)+µ−m·[P·(φ−φ)]dΣ+(P·u+µ·φ)dΣ−00αα0αα1α0 αα2ααααα αeα=1 Σ1Σ2eααŘ =−s(−)S1(−)(−)s (−) (−) (−) (−) (−)(−)(−)(−)(−)(−)n ·[ P ·( u − u 0 )+ µ ·( φ − φ 0 )]d S1 − ( P 0 · u + µ 0 · φ )d S2 −1111111e1 1 1(−)e1 1 1(−)S211−s(+)S1(+)(+)s (+) (+) (+) (+) (+)(+)(+)(+)(+)(+)n ·[ P ·( u − u 0 )+ µ ·( φ − φ 0 )]d S1 − ( P 0 · u + µ 0 · φ )d S2 −KKKKKe K KKKK(+)Ke K K(+)S2KK−K−1∑ sα=1 Sα(+)(−)(+)(−)αα+1[T· (u− u ) + µ · ( φ − φ )]dSα .ααα+1α(5.3.1)269(+)(−)Здесь Sα = Sα = S — поверхность контакта слоев α и α + 1 (α = 1, K − 1),α+1(+)(−)(+)(−)αα+1T= T= − T — вектор межслойных (контактных) сил, а µ = µ = − µ —ααα+1αвектор межслойных (контактных) моментов.Следует отметить, что внутри каждого объема Vα , α = 1, K варьируютсявекторы перемещений и вращений, тензоры деформаций и изгиба-кручения, а(−)также тензоры напряжений и моментных напряжений, на Σ, α = 1, K, S1 иα11(+)(−)(+), α = 1, K, S и S 2 –S 1 – тензоры напряжений и моментных напряжений, на Σα22KKвекторы перемещений и вращений, а на Sα – векторы контактных перемещенийи вращений, а также векторы контактных сил и моментов.Далее аналогично теории однослойных тонких тел введем определения:Определение 5.3.1.
Кинематической системой называются произвольные непрерывно дифференцируемые векторные поля u(вектор перемещений слоя α) иαφ (вектор вращения слоя α), α = 1, K, а статической системой — произвольαные тензорные поля P (тензор напряжений слоя α) и µ (тензор моментныхαeαeнапряжений слоя α), α = 1, K (необязательно удовлетворяющие условиям совместности).Определение 5.3.2. Кинематически допустимой называется кинематическаясистема, удовлетворяющая кинематическим граничным условиям = u0 ,uα Σ1ααφΣ = φ0 ,1α α(5.3.2)αа в случае динамической задачи и начальным условиямu= αf 1 ,α t=t0φt=t = g1 ,0ααu̇= αf 2 ,α t=t0φt=t = g2 ,φ̇0ααα = 1, K.(5.3.3)Определение 5.3.3.
Статически допустимой называется статическая система,удовлетворяющая уравнениям равновесия (движения в случае динамическойзадачи)()∇·P + ρF= 0 ρdv/dt ,α αα αe αα()2µωφ = dφφ/dt,∇·µ+C⊗P+ρm=0J·dω/dt, ωα = φ̇≃α ααααααααeee αα = 1, K(5.3.4)и статическим граничным условиямn·P = P,α αα0eµ = µ0,n·µααeα = 1, K.(5.3.5)Определение 5.3.4. Действительной кинематической и статической системойв случае многослойного тонкого тела называется совокупность векторов перемещений и вращения (uи φ , α = 1, K) и тензоров напряжений и моментныхαα270напряжений (P и µ , α = 1, K) всех слоев многослойного тонкого тела, удовлеαeαeтворяющая уравнениям равновесия [движения] (5.3.4), кинематическим соотношениямγ =∇u −C· φ,α α≃ αααeκ =∇φ,α ααeα = 1, K,(5.3.6)определяющим соотношениямP = F̌ (γγ , κ ),α α eαeee αµ = Ǧ(γγ , κ ),α α eαee αeα = 1, K(5.3.7)или при потенциальности операторов F̌ и Ǧ, α = 1, K определяющим соотноααeeшениям в видеP = ∂ W̌/∂γγ ,αααeeκ,/∂κµ = ∂ W̌αααeeα = 1, K,(5.3.8)кинематическим (5.3.2) и статическим (5.3.5) граничным условиям [и начальным условиям (5.3.3)], а также межслойным контактным условиям и граничнымусловиям на лицевых поверхностях.Здесь W̌ (γγ , κ ) — оператор (потенциал) деформации и изгиба-кручения слояα eαfα eα и если он существует, то определяющие соотношения задаются с помощьюформул (5.3.8).
Заметим, что при неизотермических процессах вместо W̌ (γγ , κ )α eαfα eрассматривается свободная энергия F̌ (γγ , κ , ϑ) = W̌ (γγ , κ ) − HT , где H— энтроα ααα eα αα eαefα eα eпия, Tα — температура, ϑ= Tα − Tα 0 — перепад температуры слоя α.αОбобщенный вариационный принцип типа Рейсснера для многослойного тонкого тела можно сформулировать в виде: из всех кинематических и статическихсистем и систем, описываемых тензорами γ и κ , α = 1, K, действительная выαeαeделяется тем, что для нее оператор (5.3.1) имеет стационарное значение, т.е.DŘ =K∑(−) (−) (−) (−) (+) (+) (+) (+)DŘ(u, φ, γ , κ , P, µ, T, µ, u , φ , P , µ , u , φ , P , µ ,α α α α α α α α α α α α α α α α αe ee eα=1e e e e(−)(−)(−)(−)(+)(+)(+)(+)(5.3.9)φ, δγγ , δκκ , δP, δµµ, δTµ, δ uδu, δφ, δµ, δ φ , δ P, δ µ , δ u, δ φ , δ P , δ µ ) = 0.ααααααααααααααααeeeeeeeeВ самом деле, пользуясь определением дифференциала оператора [338] итеоремой Остроградского-Гаусса, в силу (5.3.1) и (5.3.6) аналогично (5.2.1) соотношение (5.3.9) представится в следующей форме:DŘ =K∑α=1DŘ=α2K t [22∑κ − µ ) ⊗ δκκ − (∇)·δu−(∂ W̌/∂γγ − P) ⊗ δγγ + (∂ W̌· P + ρF/∂καααααααααααααeeeeα=1 Veeeα22φ − (γγ −∇κ−∇µ]dVα −−(∇·µ +C⊗P + ρm)·δφu +C· φ ) ⊗ δP − (κφ ) ⊗ δµα αα αα α≃≃ αααααααααeeαe α eee{}Ks∑ sµφφµφ−m·[δP·(u−u)+δµ·(φ−φ)]dΣ−[(m·P−P)·δu+(m·µ−−µ)·δφ)dΣ000ααα0α1α ααα αα2ααααα αee αα=1 Σ1Σ2eeαα271−+s(−)(−)(−)(−)(−)(−)S1s(−)(5.3.10)(−)(−)(+)s (+) (+) (+) (+)(−)(−)(+)(+)(+)(−) (−)(−)(−) (−)[( n · P − P 0 )·δ u +( n · µ − µ 0 )·δ φ ]d S2 −n ·[δ P ·( u − u 0 )+δ µ ·( φ − φ 0 )]d S1 +1 e111 11KK11e K K1K(−)(+)Kee K KsS1K(+) (+)(+)(+) (+)(+)(+)(+)(+)[( n · P − P 0 )·δ u + ( n · µ − µ 0 )·δ φ )]d S2 −K KKKK KKeKK(+)eS2K+(−)1S21+(−)n ·[δ P ·( u − u 0 )+δ µ ·( φ − φ 0 )]d S1 +11e1 1 1e1 1 1K−1∑ sα=1 Sα(+) (+)(+)(+) (+)(+)(−)K−1∑ sα=1 Sα(+)(−)(+)(−)α+1αα+1µ]dSα +[( u− u ) · δT+ ( φ − φ ) · δµαα(−)(−)(−)(−)α(−))·δ u + ( n · µ + µ )·δ φ ]dSα = 0.[( n·P − T)·δ u+ (n· µ − µ )·δ φ + ( n · P + Tαα αααα αα+1 α+1α+1α+1 α+1ααα+1eeee αφ, δγγ , δκκ,Нетрудно заметить, что в силу произвольности вариаций δu, δφααααe e(−)(−)(−)(−)(+)(+)(+)(+)µ, δTµ, δ uδP, δµ, δµ, δ φ , δ P, δ µ , δ u, δ φ , δ P и δ µ , α = 1, K, из (5.3.10)αααααααααeeeαααeeeследуют уравнения равновесия (5.3.4), определяющие соотношения (5.3.8), кинематические соотношения (5.3.6), кинематические (5.3.2) и статические (5.3.5)граничные условия на боковой грани, а также кинематические и статическиеграничные условия(−)(−)(−)(−)1111(+)(+)(+)(+)KKKKu = u 0,u = u 0,(−) (−)(−)φ = φ0на1(+) (+)(+)φ = φ0на(−)n · P = P 0,11 e1S1 ,(+)n · P = P 0,K KKeS1 ,K(−)(−)(−) (−)n·µ = µ01 11e(+) (+)(+)n·µ = µ0K KKeнаS2 ,1(+)на(5.3.11)S2Kна лицевых поверхностях и условия на межслойных границах (условия идеального контакта)(+)(−)(+)α+1αu= u,α(+) (+)(−)φ = φ ,α+1(−)(−)(+) (+)(−)(−)T= n·P = − n · P ,αα αα+1 α+1eeµ= n· µ = − n · µ на Sα ,α αα+1 α+1αeeα = 1, K − 1.(5.3.12)Заметим, что, применяя соотношение (5.1.46) (преобразование Лежандра),аналогично (5.1.61) можно получить двойственный оператору (5.3.1) обобщенный оператор типа Рейсснера, а затем из него вывести двойственный принципу(5.3.10) обобщенный принцип типа Рейсснера.
На основании изложенного выше рассматривать эти вопросы, а также сформулировать другие вариационныепринципы не представляет труда. В этой связи, а также с целью сокращенияписьма на них останавливаться не будем.2725.3.2Обобщенный вариационный принцип типа Рейсснера в микрополярной теории многослойных тонких тел с одним малымразмером при наличии областей ослабленной адгезииПрежде чем сформулировать этот принцип, рассмотрим некоторые вопросы,касающиеся многослойных тонких тел при наличии областей (зон) ослабленной адгезии.
Вообще говоря, если на некоторых частях межслойных границпри деформировании многослойного тонкого тела происходит нарушение полного (идеального) контакта, то говорят, что имеем дело с многослойным тонким телом с ослабленной адгезии (имеющим области ослабленной адгезии). Приналичии областей ослабленной адгезии на межфазных границах в многослойном тонком теле первостепенным является вопрос о моделировании поверхностираздела (межфазной границы).
В данном направлении наметились два подхода [329]. Первый — физический подход связан с учетом определенных свойствмежфазных адгезионных слоев. Впервые такой подход предложен для задачтеплопроводности в работе [351]. В дальнейшем он был обобщен на задачи механики [355]. Второй — феноменологический подход основан на представлениимежфазной границы поверхностью нулевой толщины, разделяющей объемныекомпоненты (фазы, слои) и постулировании существования скачков (разрыва)векторов перемещений и вращения, а также векторов напряжения и моментногонапряжения в зонах ослабленной адгезии.
Для этих подходов рассматриваютсяследующие модели: а) модель типа скачка (в случае описания межфазной границы поверхностью нулевой толщины); б) модель плавного перехода (наличиемежфазных слоев между взаимодействующими слоями); в) модель приведенных межфазных характеристик.В случае первых двух моделей основными параметрами являются векторы взаимных перемещений и вращений смежных (соседних) слоев (фаз). Приклассической теории, конечно, рассматривается только векторы взаимных перемещений смежных фаз. Третья модель характеризуется введением некоторыхкоэффициентов, отражающих влияние ослабленной адгезии и названных коэффициентами полноты межфазного контакта.
Ниже более подробно рассмотриммодель типа скачка.5.3.2.1Модель типа скачка. Векторы межфазных (межслойных) перемещений и вращений. Векторы обобщенных межфазныхсил и моментовПри наличии областей ослабленной адгезии, как было сделано выше, целесообразно ввести векторы межфазных (относительных) перемещений и вращений,т.е. v(x′ ) и ψ (x′ ) соответственно, где x′ ∈ Sα 0 ⊂ Sα , Sα 0 — область ослабленнойααадгезии, α = 1, K − 1, а K — число слоев. Однако для полного описания этоймодели наряду с векторами взаимных перемещений и вращений нужно рассматривать соответствующие этим векторам параметры состояния — векторы межфазных (вообще говоря, диссипативных) сил Pи моментов Q (α = 1, K − 1) вαα273областях ослабленной адгезии. Далее с целью сокращения письма индекс подвекторами межфазных перемещений, вращений, сил, моментов и величинами,относящимися к этому подразделу, опускаем, так как все получаемые ниже соотношения будут справедливыми и при сохранении индекса α.Из физических соображений сумма работ межфазных сил P и моментов Qна соответствующих векторах взаимных перемещений v(x′ ) и вращений ψ (x′ )смежных фаз должна быть неотрицательной, т.е.P·v +Q·ψ ≥ 0(5.3.13)для любых векторов v и ψ , при условии, что хотя бы один из них отличен отнуля.Заметим, что если рассматривается нестационарный процесс, то вместо v иψ = ∂tψ соответственно.ψ следует писать v̇ = ∂t v и ψ̇Из (5.3.13) следует, что векторы межфазных сил P и моментов Q должны быть функциями векторов взаимных перемещений v(x′ ) и вращений ψ (x′ )смежных фаз, а также некоторых других параметров, в частности, температуры, контактного давления, коэффициента трения и т.п., т.е.P = P(v, ψ , ...),Q = Q(v, ψ , ...),(5.3.14)где многоточие обозначает зависимость от других параметров.
Очевидно, вслучае потенциальности векторов P и Q существует диссипативный потенциал (оператор) χ̌(v, ψ ) векторов взаимных перемещений v(x′ ) и вращений ψ (x′ )смежных фаз, с помощью которого P и Q определяются формуламиP=∂ χ̌,∂vQ=∂ χ̌.ψ∂ψ(5.3.15)Из (5.3.15) следует, что условия в областях ослабленной адгезии основываются на построении или выборе диссипативного оператора χ̌(v, ψ ), выражающий механизм взаимодействия в этих областях.Рассмотрим некоторые возможные частные случаи задания оператора χ̌(v, ψ ),соответствующие различным условиям взаимодействия фаз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
