Диссертация (786091), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

Если определяющие соотношения (5.1.7) таковы, что для любых двух тензоров второго ранга h и l справедливо неравенство[( e ) ]eµ T 4∂P 4∂P∂µ⊗(h ⊗ l) +e ⊗(h ⊗ h) + e +κ∂γγ∂κ∂γγee ee ee22ee 2≥ a h ⊗h + 2b h ⊗l + c l ⊗l,e ee ee eµ 4∂µe ⊗(le ⊗ el) ≥κ∂κea > 0, ac − b2 > 0,(5.1.68)то стационарная точка (5.1.39) лагранжиана (5.1.38) является точкой минимума и обобщенное решение статической (квазистатической) задачи (5.1.3),(5.1.5), (5.1.7), (5.1.1) и (5.1.4) единственно.Вводя в рассмотрение тензорный столбец X, тензорно-блочную матрицу Meeи матрицу G(X=ehele) (X =eT(h, le e))∂P ∂γγeM= ∂µeµe∂γγee,∂Peκ ∂κe ,µ ∂µeκ∂κe(G=a bb c),(5.1.69)соотношение (5.1.68) можно записать в виде222XT ⊗M ⊗X = (XT G) ⊗X.ee eee(5.1.70)Следует заметить, что последние два неравенства в (5.1.68) — необходимые идостаточные условия для положительной определенности матрицы G, а первоесоотношение (5.1.68) или (5.1.70) — необходимое и достаточное условие дляположительной определенности тензорно-блочной матрицы M (см.

(5.1.69)).e M обычно —В линейной микрополярной теории тензорно-блочная матрицаe имеет 18положительно-определенная симметричная матрица и, следовательно,положительных собственных значений и полную систему собственных тензорных столбцов, состоящую из 18 тензорных столбцов. Подробно задача на собственные значения тензора и тензорно-блочной матрицы любого четного рангаи их некоторые применения в механике изложены в [302, 303].

Здесь на этихвопросах останавливаться не будем.Доказательство. Полагая в тождестве (5.1.67) u2 = w, φ2 = ψ (любаякинематически допустимая система), а u1 = u, φ 1 = φ (решение задачи (5.1.3),(5.1.5), (5.1.7), (5.1.1) и (5.1.4) (действительная кинематическая система)), всилу (5.1.68), правая часть которого при указанных условиях — положительноопределенная квадратичная форма, получимĽ(w, ψ ) ≡ Π̌(w, ψ ) − A(e) (w, ψ ) ≥ Π̌(u, φ) − A(e) (u, φ)+221∫ψ − φ )++[aγγ (w − u, ψ − φ ) ⊗ γ (w − u, ψ − φ ) + 2bγγ (w − u, ψ − φ ) ⊗ κ (ψ2V eeee(5.1.71)2κ (ψψ − φ ) ⊗ κ (ψψ − φ )]dV ≥ Π̌(u, φ ) − A(e) (u, φ ) ≡ Ľ(u, φ ).+cκeeНеравенством (5.1.71) доказано, что стационарная точка лагранжиана является точкой минимума.

Теперь докажем единственность обобщенного решения.Предположим противное. Пусть существуют два решения u1 , φ 1 и u2 , φ 2 . Тогдаиз (5.1.24), следует, что эти решения удовлетворяют тождеству∫V22µ(u2 , φ 2 ) − µ (u1 , φ 1 )] ⊗ κ (w, ψ )}dV.{[P(u2 , φ 2 ) − P(u1 , φ 1 )] ⊗ γ (w, ψ ) + [µeeeeee(5.1.72)253Далее, учитывая равенство∫1 dφ2 − φ 1 )]}dξ =P(u2 , φ 2 ) − P(u1 , φ 1 ) ={P[u1 + ξ(u2 − u1 ), φ 1 + ξ(φee0 dξ e{∫1 ∂P2φ2 − φ 1 )] ⊗ [γγ (u2 , φ 2 ) − γ (u1 , φ 1 )] +=e [u1 + ξ(u2 − u1 ), φ 1 + ξ(φ∂γγ0e}e2∂P eφ2 − φ 1 )] ⊗ [κκ (φφ2 ) − κ (φφ1 )] dξ+ e [u1 + ξ(u2 − u1 ), φ 1 + ξ(φκ∂κeee(5.1.73)и равенство, которое получается из (5.1.73), если P заменить на µ , а также,eполагая, что w = u2 − u1 , ψ = φ 2 − φ 1 , из (5.1.72) вeсилу (5.1.68) будемиметь∫[V2φ2 − φ 1 )+a||γγ (u2 − u1 , φ 2 − φ 1 )||2 + 2bγγ (u2 − u1 , φ 2 − φ 1 ) ⊗ κ (φeee]κ (φφ2 − φ 1 )||2 dV ≤ 0.+c||κe(5.1.74)На основании (5.1.74) заключаем, чтоγ (u2 , φ 2 ) = γ (u1 , φ 1 ),eeОтсюда, очевидно, получаемφ2 ) = κ (φφ1 ).κ (φeeu2 = u1 + u0 + (x − x0 ) · C· φ0,≃φ2 = φ1 + φ0,(5.1.75)где u0 и φ 0 — два произвольных постоянных вектора.Наконец, учитывая кинематические граничные условия (5.1.1), из (5.1.75)получим u2 = u1 и φ 2 = φ 1 , т.е.

единственность обобщенного решения задачи(5.1.3), (5.1.5), (5.1.7), (5.1.1) и (5.1.4) доказана.Следует заметить, что если имеем только статические граничные условия,то решение задачи микрополярной МДТТ единственно с точностью до жесткогодвиженияu = u0 + (r − r0 ) · C· φ0,≃φ = φ0,u0 = const,φ 0 = const.Если закрепить какую-нибудь точку x0 , т.е. допустить, что u = 0 и φ = 0при x = x0 , то можно исключить жесткое движение.Заметим также, что при статических граничных условиях о разрешимостизадачи микрополярной МДТТ можно говорить лишь в том случае, когда «система самоуравновешена», т.е. для всего тела выполняются постулаты об изменении количества движения и момента количества движения, которые, очевидно, для случая равновесия можно записать в виде∫VρFdV +∫ΣP0 dΣ = 0,∫V∫ρ(r × F + m)dV + (r′ × P0 + µ 0 )dΣ = 0.ΣКроме того, из единственности решения задачи следует, что точка минимумаЛагранжиана является единственной.Далее нетрудно доказать, что аналогично (5.1.65) и (5.1.67) справедливытеорема и следствие.254Теорема 5.1.3.

Если дважды непрерывно дифференцируемая на отрезке 0 ≤ξ ≤ 1 функцияµ2 − µ 1 )],f (ξ) = π̌[P1 + ξ(P2 − P1 ), µ 1 + ξ(µeee eeeгде π̌ — потенциальная энергия напряжений и моментных напряжений (5.1.47),на этом отрезке допускает представление (5.1.64), то имеет место тождество]t[22µ2 − µ 1 ) dV +π̌(P2 , µ 2 ) = π̌(P1 , µ 1 ) +γ (P1 , µ 1 ) ⊗(P2 − P1 ) + κ (P1 , µ 1 ) ⊗(µe ee eeee e eVe e eee{t41∂γγµ2 − µ 1 )] ⊗(P2 − P1 )(P2 − P1 )++1 + η(P2 − P1 ), µ 1 + η(µe [P2 V∂Peee eee eeeee[ ∂γγµ2 − µ 1 )]++ e [P1 + η(P2 − P1 ), µ 1 + η(µµ e∂µee eee( ∂κ]4eκ )Tµ2 − µ 1 )] ⊗(P2 − P1 )(µµ2 − µ 1 )++ e [P1 + η(P2 − P1 ), µ 1 + η(µ∂Peee eee eee} e4κe∂κµ2 − µ 1 )] ⊗(µµ2 − µ 1 )(µµ2 − µ 1 ) dV.+ e [P1 + η(P2 − P1 ), µ 1 + η(µµ e∂µee eeeee eee(5.1.76)Следствие.

Если P1 и µ 1 — действительная статическая система, а P2 и µ 2e система,e— статически допустимаято из (5.1.76) следует тождествоeeπ̌(P2 , µ 2 ) = π̌(P1 , µ 1 ) + AiΣ1 (P2 − P1 , µ 2 − µ 1 )+e ee e {ee ee41 t ∂γγµ)]⊗(P−µ+η(µ+−P),µ[P+η(P12 − P1 )(P2 − P1 )+21211e e2 V∂Pee eeee eeee[ ∂γγµ2 − µ 1 )]++ e [P1 + η(P2 − P1 ), µ 1 + η(µµ e∂µee eee]4( ∂κeκ )Tµ2 − µ 1 )] ⊗(P2 − P1 )(µµ2 − µ 1 )++ e [P1 + η(P2 − P1 ), µ 1 + η(µ∂Peee eee eee} e4κe∂κµ2 − µ 1 ) dV.µ2 − µ 1 )] ⊗(µµ2 − µ 1 )(µ+ e [P1 + η(P2 − P1 ), µ 1 + η(µµ e∂µee eeeeee ee(5.1.77)Теорема (5.1.76) и следствие (5.1.77) доказываются совершенно аналогично(5.1.65) и (5.1.67).Теорема 5.1.4. Если ОС (5.1.49) таковы, что для любых тензоров второгоранга h и l справедливо неравенствоe e[) ](κ T 4∂γγ 4∂γγ∂κ⊗(h⊗h)+⊗(h ⊗ l) ++eeeµ∂P∂µ∂Pe ee eee22e2≥ k h ⊗h + 2m h ⊗l + n l ⊗l,e ee ee eκ 4∂κe ⊗(l ⊗ l) ≥µ e e∂µek > 0, kn − m2 > 0,(5.1.78)то стационарная точка (5.1.54) кастильяниана (5.1.53) является точкоймаксимума.Доказательство.

Принимая в тождестве (5.1.77) P2 = Q и µ 2 = τ (любаяeeстатичеe eстатически допустимая система), а P1 = P и µ 1 = µ (действительнаяe eeская система), на основании (5.1.78)eполучим(i)(i)Ǩ(Q, τ ) ≡ −π̌(Q, τ ) + AΣ1 (Q, τ ) ≤ −π̌(P, µ ) + AΣ1 (P, µ )−e ee ee1 ee e∫2(i)−(k||Q||2 + 2mQ ⊗ τ + n||ττ ||2 )dV ≤ −π̌(P, µ ) + AΣ1 (P, µ ) ≡ Ǩ(P, µ ),2Vee ee ee eee e(5.1.79)255что требовалось доказать.Следует заметить, что (5.1.78) можно аналогично (5.1.70) записать с помощью тензорно-блочной матрицы и представить ее в каноническом в виде.Однако с целью сокращения письма на этом останавливаться не будем.Теорема 5.1.5. В положении равновесия, характеризующемся векторами перемещений u∗ и вращения φ ∗ и тензорами напряжений P∗ и моментных напряжений µ ∗ , лагранжиан совпадает с кастильянианом ee∗∗∗∗Ľ(u , φ ) = Ǩ(P , µ ),e e(5.1.80)Ǩ(P, µ ) ≤ Ǩ(P , µ ) = Ľ(u , φ ) ≤ Ľ(u, φ ).e ee e(5.1.81)а для любых u, φ , P и µ справедливы неравенстваe e∗∗∗∗Доказательство.

Равенство (5.1.80) следует из (5.1.52), записывая его дляположении равновесия, а из (5.1.80) и предыдущих теорем следуют неравенства(5.1.81).Неравенства (5.1.81) являются мощным источником для получения так называемых двухсторонних оценок.Следует заметить, что, пользуясь принципом Д’Аламбера и заменяя ρF иρm на ρF−ρ∂t2 u и ρm−J·∂t2φ соответственно, вариационные принципы Лагранeжа, Кастильяно и Рейсснераможно сформулировать для случая, когда учитываются силы и моменты инерции. Кроме того, легко видеть, что лагранжианявляется частным случаем оператора (5.1.58), если считать заранее справедливыми кинематические соотношения (5.1.5) и ОС (5.1.7), а кастильяниан в силупреобразования∫V∫∫222×P)·φ]dV+(P × γ + µ × κ )dV = − [∇ · P · u + (∇ · µ + Cn · (P · u + µ · φ)dΣ≃eeee e e eΣVeeявляется частным случаем оператора (5.1.61), если выполняются уравненияравновесия (5.1.3) и статические граничные условия (5.1.4).φ соответственно,Заметим также, что, заменяя в (5.1.10) w и ψ на δu и δφполучим принцип виртуальных работ в виде∫V∫22κ ]dV = [ρ(F − ∂t2 u) · δu + (ρm − J · ∂t2 φ) · δφφ)]dV +[P ⊗ δγγ ) + µ ⊗ δκeeVeee∫ eφ)dΣ,+ (P(n) · δu + µ (n) · δφ(5.1.82)Σφ, δκκ = ∇δφφ, а δu и δφφ — произвольные виртуальныегде δγγ = ∇δu − C· δφ≃eeперемещение и вращение.

Следовательно, левая часть (5.1.82) — виртуальнаяработа внутренних сил и моментов, а правая часть виртуальная работа внешнихсил и моментов, а также инерционных сил и моментов.5.2О некоторых вариационных принципах в микрополярной теорииоднослойных тонких телИмея приведенные выше вариационные принципы для трехмерной микрополярной теории, не представляет труда сформулировать соответствующие вариационные принципы для микрополярной теории тонких тел.

Ниже с целью256сокращения письма на основании лишь обобщенного вариационного принципа типа Рейсснера рассмотрим способ получения соответствующих принциповдля теорий однослойных и многослойных тонких тел с одним малым размером при новой параметризации их областей, так как при необходимости другиепринципы могут быть выведены совершенно аналогично как при новой, так ипри других рассмотренных выше параметризациях областей этих тонких тел,а также тонких тел с двумя малыми размерами.5.2.1Обобщенный вариационный принцип типа Рейсснера в микрополярной теории тонких тел с одним малым размером приновой параметризации области телаСохраняя принятые выше обозначения, рассмотрим трехмерную тонкую область V с одним малым размером, ограниченную двумя лицевыми поверхно(−)(+)стями S и S и линейчатой боковой поверхностью Σ (см.

рис. 1.1 в первой главе). Тогда для тонкой области обобщенный оператор типа Рейсснера (5.1.58)представится в видеt(−) (−) (−) (−) (+) (+) (+) (+)Ř(u, φ , γ , κ , P, µ , u , φ , P , µ , u , φ , P , µ ) =[W̌ (γγ , κ )−e ee eVe e e ee e22κ − ∇φφ) − ρF · u − ρm · φ ]dV −−P ⊗ (γγ −∇u+C· φ ) − µ ⊗ (κ≃es eeesµ ·(φφ −φφ0 )]dΣ − (P0 · u + µ 0 · φ )dΣ−− m·[P ·(u−u0 )+µeΣ1Σ2e(−)s (−) (−) (−) (−)s (−) (−) (−) (−) (−)(−)(−)(−)− n ·[ P ·( u − u 0 )+ µ ·( φ − φ 0 )]d S − ( P 0 · u + µ 0 · φ )d S −e(−)(−)eS1−s(+)S1(5.2.1)S2(+)(+)(+)(+)(+)(+)(+)(+)s(+)(+)(+)(+)(+)n ·[ P ·( u − u 0 )+ µ ·( φ − φ 0 )]d S − ( P 0 · u + µ 0 · φ )d S ,e(+)eS2Σ = Σ1 ∪ Σ2 ,(+)(+)(+)S = S 1 ∪ S 2,Σ1 ∩ Σ2 = ∅,(+)(−)(−)(−)S = S 1 ∪ S 2,(−)(−)S 1 ∩ S 2 = ∅,(+)S 1 ∩ S 2 = ∅.Из (5.2.1) аналогично (5.1.60) легко получить искомый принцип в формеt ∂ W̌222∂ W̌µ) ⊗δκκ −(γγ −∇u+C ·φφ) ⊗δP−−µ[(−P) ⊗δγγ +(≃κ e∂γγ e∂κe eeVee2e2κ −∇φφ) ⊗δµµ −(∇·P +ρF)·δu−(∇·µµ +C ⊗P +ρm)·δφφ]dV −−(κ≃eees eeµ ·(φφ −φφ0 )]dΣ−− m·[δP ·(u−u0 )+δµeΣ1esµ − µ 0 )·δφφ]dΣ−− [(m·P − P0 )·δu+(m·µeΣ2e(−)s (−) (−) (−) (−)(−)(−)(−)− n ·[δ P ·( u − u 0 )+δ µ ·( φ − φ 0 )]d S −e(−)eS1(−)s (−) (−) (−)(−)(−)(−)(−) (−)− [( n · P − P 0 )·δ u +( n · µ − µ 0 )·δ φ )]d S −e(−)eDŘ =S2(5.2.2)257−s(+)S1−s(+)(+)(+)(+)(+)(+)(+)(+)n ·[δ P ·( u − u 0 )+δ µ ·( φ − φ 0 )]d S −ee(−) (+)(+)(+)(+) (+)(+)(+)(+)[( n · P − P 0 )·δ u +( n · µ − µ 0 )·δ φ )]d S = 0.e(+)eS2(−)(−)(−)(−)(+)(+)φ, δγγ , δκκ , P, µ , δ u , δ φ , P , µ , δ u , δ φ ,Отсюда, учитывая произвольность δu, δφ(+)e ee e(+)P и µ , получим уравнения равновесия, кинематические соотношения, кинемаe e и статические граничные условия, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации