Диссертация (786091), страница 50

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 50)

В случае микрополярной теории многослойных тонких тел равенства (4.5.12) следует заменить следующими236равенствами:(−)uα+1(+)(+)(−)αα+1(n) = u (n) ,φ(+)(−)(+)α(+)(−)(−)n · P ( u , φ , ϑ )· s = 0,α+1 α+1e α+1 α+1 α+1 α+1(n) = φ (n) ,(+)(+)(+)(+)(−)(+)n · P (u, φ , ϑ) · s = 0, n · P (u, φ , ϑ) · n = n · P ( u , φ , ϑ) · n ,ααααα α+1α α α αα α α αeee α+1 α+1 α α(−)(−)(−)(+)(+)(+)φ) · n = 0,n · µ ( φ ) · n = 0, n · µ (φα+1ααα αe α+1 α+1eα+1(+)(+)(−)(+)(+)(+)(+)(4.5.13)(+)φ) · s = n · µ ( φ ) · s , α = 1, K − 1, x′ ∈ S 0 ⊂ S .n · µ (φαααααα αee α+1 αα+1В данном случае наряду с вектором относительного перемещения вводится(−)(+)в рассмотрение вектор относительного вращения ψ = φ − φ соответствуюα(−)щих точек контактирующих поверхностей.

φ(n)α+1(−)(+)α+1ααα+1(+)и φ (n) — нормальные составαляющие векторов φ и φ соответственно. Заметим, что соотношения (4.5.13)написаны с учетом того, что каждый слой конструкций обладает центром симметрии. Если это не так, то их надо заменить другими соотношениями в зависимости от рассматриваемых определяющих соотношений. Например, если вкачестве ОС рассматриваются (3.2.3), то вместо (4.5.13) будем иметь(−)(+)u(n) = u (n) ,α+1α(+) (+)(−)(+)φ(n) = φ (n) ,α+1α(+)n · P (u, φ , ϑ)· s = 0,α eαα α α α(−)(−)(+)(−)(+)(+)(−)n · P ( u , φ , ϑ )· s = 0,α+1 α+1e α+1 α+1 α+1 α+1(+)(+)(+)(−)(+)n · P (u, φ , ϑ) · n = n · P ( u , φ , ϑ) · n ,ααα α+1α α α αee α+1 α+1 α αn · µ ( φ , u , ϑ )· n = 0,α+1e α+1 α+1 α+1 α+1α+1(+) (+)(−) (−)(+) (+)(+)φ, u, ϑ)· n = 0,n · µ (φαα α α α αe(−)(+)φ, u, ϑ)· s = n · µ ( φ , u , ϑ)· s ,n · µ (φααα α α α αe α+1 α+1 α αeα+1α = 1, K −1,(+)(+)αα(4.5.14)x′ ∈ S 0 ⊂ S .Заметим также, что контактные условия следует дополнить условиями теплового содержания на контактирующих поверхностях, что не представляет труда.

С целью сокращения письма на этом останавливаться не будем.4.5.6.2Условия при относительном перемещений точек шероховатых контактирующих поверхностей слоевВ рассматриваемом случае в процессе деформирования многослойного тонкоготела может происходить скольжение с трением слоев друг относительно друга.(+)До тех пор пока величина касательной составляющей силы взаимодействия Pα (s)(−)( P (s) ) (силы трения) между лицевыми поверхностями не достигнет предельα+1(+)∗ ( (−) ∗ ) P , относительногоного (максимально возможного) своего значения Pαα+1проскальзывания не будет, а значитv(x1 , x2 ) = 0,αα = 1, K − 1.(4.5.15)237При достижении силы трения предельного значения начинается скольжениеи вместо приведенных выше соотношений надо иметь другие.

Прежде всегозаметим, что для классической теории многослойных тонких тел вместо (4.5.12)будем иметь(−)(+)(−)(−)(+)n · P ( u , ϑ ) · s = P ∗(s) ,α+1 α+1e α+1 α+1 α+1 α+1(n) = u (n) ,α+1α(+)(−)(−)(+)u(+)(−)(+)(+)n · P (u, ϑ) · n = n · P ( u , ϑ ) · n ,ααα α+1α α αe α+1 α+1 αe(+)(+)(+)n · P (u, ϑ) · s = P ∗(s) ,αααα α αe(+)′α = 1, K − 1,(+)(4.5.16)x ∈S ⊂S,0ααа в случае микрополярной теории многослойных тонких тел, слои которых необладают центром симметрии, вместо (4.5.14) полагаем, что верны соотношения(+)(−)(n) = u (n) ,αα+1u(+)(+)(−)(−) (−)(+)φ(+)(+)(+)n · P (u, φ , ϑ) · s = P ∗(s) ,αααα α α αe(−) (−)(−)(+)(+)(+)(+)(−)(+)(+)n · P (u, φ , ϑ) · n = n · P ( u , φ , ϑ ) · n ,αα α+1αα α α αee α+1 α+1 α+1 α(−)n · µ ( φ , u , ϑ )· n = µ ∗(n) ,α+1e α+1 α+1 α+1 α+1 α+1α+1(+) (+)(−)(−)n · P ( u , φ , ϑ )· s = P ∗(s) ,α+1 α+1e α+1 α+1 α+1 α+1 α+1(n) = φ (n) ,α+1α(+) (+)(+)(+)φ, u, ϑ)· n = µ ∗(n) ,n · µ (φα α α α αααe(−)(+)φ, u, ϑ)· s = n · µ ( φ , u, ϑ )· s , α = 1, K −1,n · µ (φααα α α α αe α+1 α α+1 αeα+1(+)(+)ααЗдесь, конечно, µ ∗(n) = µ ∗ · n(µα(+)∗(n)α+1(−)(+)(+)αα(4.5.17)x′ ∈ S 0 ⊂ S .(−)(+)(+)(−)α+1α+1αα+1= µ ∗ · n ), где µ ∗ ( µ ∗ ) — интенсив-ность предельного момента.

Следовательно, в соотношениях (4.5.16) и (4.5.17)(+)(−)(+)Pα ∗(s) , P ∗(s) , µ ∗(n)α+1α∗(n)α+1(−)и µявляются неизвестными величинами, определяемымииз некоторых априорных зависимостей – условий проскальзывания с трением, которые, вообще говоря, должны зависеть от геометрических и физикомеханических свойств контактирующих тел.В классическом случае можно предположить, что имеем соотношениеL(x1 , x2 , vs , v̇s , [T ], P(l)∗ , ...) = 0,(4.5.18)где vs и v̇s — касательные составляющие векторов относительного перемещения и относительной скорости, [T ] — перепад температуры, P(l)∗ — предельныйвектор напряжения на площадке с нормалью l, многоточие обозначает зависимость еще от каких-либо параметров.

На основании (4.5.18) можно принять,что верна обобщенная модель трения КулонаP∗(s) = f (x1 , x2 , [T ], P∗(n) ) · v̇s .e(4.5.19)учитывающая анизотропию трения. Здесь P∗(s) и P∗(n) — предельные касательная и нормальная составляющие вектора напряжения P(l)∗ . Тензор второго ранга f (x1 , x2 , [T ], P∗(n) ) называется тензором коэффициентов трения.

Очевидно, вeизотропномслучае f = f E, где E — единичный тензор второго ранга. Представeee поверхностей многослойного тонкого тела,ляя (4.5.19) для контактирующихполучим недостающие искомые соотношения.На основании аналогичных рассуждений в случае микрополярной теорииможно утверждать, что имеют место априорные соотношенияL(x1 , x2 , vs , v̇s , ψ n , ψ̇ n , [T ], P(l)∗ , ...) = 0,M(x1 , x2 , vs , v̇s , ψ n , ψ̇ n , [T ], µ (l)∗ , ...) = 0,(4.5.20)238где ψ n и ψ̇ n — нормальные составляющие векторов относительного внутреннего вращения и относительной внутренней скорости вращения соседних слоев,µ (l)∗ — предельный вектор моментного напряжения на площадке с нормалью l,остальные параметры те же самые, что в (4.5.18).Исходя из (4.5.20), для микрополярной теории аналогично (4.5.19) можнопредполагать справедливость следующих соотношенийψ n,P∗(s) = f (x1 , x2 , [T ], P∗(n) ) · v̇s + h(x1 , x2 , [T ], P∗(n) ) · ψ̇eeψ n + l(x1 , x2 , [T ], µ ∗(s) ) · v̇n ,µ ∗(n) = g(x1 , x2 , [T ], µ ∗(s) ) · ψ̇ee(4.5.21)учитывающих анизотропию трения.

Здесь f , h, g и l — тензоры второго ранга,e e eСледовательно,eназываемые тензорами коэффициентов трения.в случае изотропного трения будем иметь f = f E, h = hE, g = gE и l = lE, где E —e Следуетe e заметить,e e что коэффициентыe ee тренияeединичный тензор второго ранга.определяются с помощью экспериментов и даются в таблицах. В этом направлении для микрополярной теории автору мало что известно, а для классическойтеории можно смотреть, например, работы [44, 183, 184]. Представляя (4.5.21)для контактирующих поверхностей многослойного тонкого тела, получим недостающие искомые соотношения в случае микрополярной теории.4.5.6.3 Условия при частичном отслаивании контактирующих поверхностей слоевВ этом случае для классической теории многослойных тонких тел будем иметьусловия(−)(+)v(x1 , x2 ) = u (x1 , x2 ) − u(x1 , x2 ) ̸= 0,ααα+1(+)(+)(x , x ) ⊂ Sα ⊂ Sα ,120(+)P(x1 , x2 ) = 0,α(−)P (x1 , x2 ) = 0,α+1(4.5.22)α = 1, K − 1,а для микрополярной теории многослойных тонких тел условия(−)(+)v(x1 , x2 ) = u (x1 , x2 ) − u(x1 , x2 ) ̸= 0,ααα+1P(x1 , x2 ) = 0,α(−)P (x1 , x2 ) = 0,α+1(−)(+)(+)(−)α+1ααα+1ψ (x1 , x2 ) = φ (x1 , x2 ) − φ (x1 , x2 ) ̸= 0,α(+)(+)(+)(x1 , x2 ) ⊂ Sα 0 ⊂ Sα ,µ (x1 , x2 ) = 0,µ (x1 , x2 ) = 0,(4.5.23)α = 1, K − 1.(+)(+)Заметим, что если Sα 0 = Sα , то имеет место полное отслаивание контактирующих слоев.

Возможны и другие условия, накладываемые на деформированноеи силовое состояния лицевых поверхностей многослойных тонких тел: контактс твердыми или упругими телами, принудительное перемещение точек и т.п. Вовсех случаях введением соответствующей базовой поверхности основные соотношения теории тонких тел с использованием нескольких базовых поверхностейостаются в силе. Следует заметить, что автор перед изложением вопросов, касающихся условий на контактирующих поверхностях многослойных тонких тел,239ознакомился со следующими работами [44, 48–51, 138, 177, 182–184, 199–201, 328,329, 331, 351–355, 389].Следовательно, совершенно аналогично изложенному выше на основании[284,297] и [286] можно построить микрополярные теории многослойных тонкихтел с двумя малыми размерами и плоских областей с одним малым размеромсоответственно (остается выписать только соответствующие соотношения).

Сцелью сокращения письма на этом останавливаться не будем. Однако, отметим,что материал этой главы изложен также в [305, 306].2405Глава. Вариационные принципы микрополярной теории тонкихтел при применении метода ортогональных полиномов5.1О некоторых вариационных принципах в трехмерной микрополярной теории деформируемого твердого телаРассмотрены вариационные принципы Лагранжа, Кастильяно, а также обобщенные вариационные принципы типа Рейсснера в рамках трехмерной микрополярной теории и из них получены соответствующие вариационные принципыдля микрополярных теорий однослойных и многослойных тонких тел в моментах относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева.5.1.1Некоторые определения и интегральные соотношенияПрежде чем сформулировать эти вариационные принципы аналогично классической теории [338] введем определения и получим некие интегральные тождества.Определение 5.1.1.

Кинематической системой называются произвольные непрерывно дифференцируемые векторные поля u (вектор перемещений) и φ (векторвращений), а статической системой — произвольные тензорные поля P (тензорeнапряжений) и µ (тензор моментных напряжений) (необязательно удовлетвоe совместности).ряющие условиямОпределение 5.1.2. Кинематически допустимой называется кинематическаясистема, удовлетворяющая кинематическим граничным условиямu|Σ1 = u0 ,φ |Σ1 = φ 0 ,(5.1.1)а в случае динамической задачи и начальным условиямu|t=t0 = f1 ,u̇|t=t0 = f2 ,φ |t=t0 = g1 ,φ|t=t0 = g2 .φ̇(5.1.2)Определение 5.1.3.

Статически допустимой называется статическая система,удовлетворяющая уравнениям равновесия (движения в случае динамическойзадачи)( dv )∇·P + ρF = 0 ρ,dte( dω2ω)µ+C⊗ P + ρm = 0 J ·∇·µ,≃ee dteω=φdφ,dt(5.1.3)и статическим граничным условиямn·P = P0 ,eµ = µ0.n·µe(5.1.4)Определение 5.1.4. Действительной кинематической системой u и φ и действительной статической системой P и µ называются соответственно векторыe напряженийперемещений и вращений и тензорыи моментных напряжений,eудовлетворяющие уравнениям равновесия (5.1.3) (движения в случае динамической задачи), кинематическим соотношениямφ,κ = ∇φe(5.1.5)µ = Ǧ(γγ , κ )e e e e(5.1.6)γ = ∇u − C· φ,≃eопределяющим соотношениямP = F̌(γγ , κ ),e e e e241или в случае потенциальности операторов F̌ и Ǧ определяющим соотношениямe eследующего вида∂ W̌∂ W̌(5.1.7)P=, µ=,κ∂γγ∂κeee (5.1.4) eграничным условиям (и началькинематическим (5.1.1) и статическимным условиям (5.1.2) в случае динамической задачи).Здесь W̌ (γγ , κ ) — оператор (потенциал) деформации и изгиба-кручения и есe e то определяющие соотношения задаются с помощью формулли он существует,(5.1.7).Заметим, что при неизотермических процессах вместо W̌ (γγ , κ ) рассматриeвается свободная энергия F̌ (γγ , κ , ϑ) = W̌ (γγ , κ ) − HT , где H —e энтропия,T —eeeтемпература, а ϑ = T − T0 —eперепад температуры.О свободной энергии речьпойдет ниже.Получим теперь некие интегральные тождества.

Характеристики

Список файлов диссертации