Диссертация (786091), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Однаков частном случае они могут быть и перпендикулярами, а в более частном слу(∼)чае могут быть единичными векторами нормалей к базовым поверхностям Sα ,∼(∼)∈ {−, ∅, +}, ∀ α, обозначаемыми соответственно через n,α∼∈ {−, ∅, +}, ∀ α .Из вышеприведенного материала данной главы видно, что для каждого слоямногослойной области имеют место все соотношения первой главы. При условии, что величины, входящие в эти соотношения, снизу надо снабжать индексом, который обозначает номер данного слоя. В этой связи на подробном рассмотрении вопросов о параметризации многослойной области останавливатьсяне будем.
В дальнейшем при необходимости нужные соотношения из соответствующих соотношений первой главы выпишем только что указанным способом(снабжая величины снизу индексом рассматриваемого слоя), а некоторые соотношения, аналогичные которым не входят в первую главу, будем получать.4.1.4Мультипликативные базисыДля представления в предлагаемой теории тензоров, ранг которых не меньшедвух, полезно вводить в рассмотрение мультипликативные базисы [68].
Так какмы в основном будем иметь дело с тензорами, ранг которых не больше четырех, поэтому целесообразно вводить мультипликативные базисы, образованныес помощью тензорного умножения двух, трех и четырех базисных векторов израссматриваемых выше различных семейств базисов. Таким образом, опреде(⋆)лив Sα (⋆) -семейства базисов, ⋆ ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, не представляет труда составитьgαуказанные выше мультипликативные базисы рассматриваемого слоя α. В самомделе, введем следующее218Определение4.1.1.
Тензорныепроизведениябазисныхвекторовиз(⋆)Sα (⋆) -семейств, ∀ α, ⋆ ∈ {−, ∅, +}, обозначаемыеgα· ·R= rα m̃ ⊗ rα n̆ ,α m̃n̆∼, `,∨,∧· · ·R= rαm̃ ⊗ rαn̆ ⊗ rαp̂ ,α m̃n̆p̂· ···R= rαm̃ ⊗ rα ñ ⊗ rα p̂ ⊗ rα q̌ ,α m̃n̆p̂ q̌∈ {−, ∅, +}, ∀ α(4.1.32)и получаемые из них жонглированием индексами их образы, называются(⋆)Sα (⋆) -семействами двух-, трех- и четырехвекторных мультипликативных базисовgαслоя α.Если число слоев многослойной тонкой области не меньше двух то в общем случае можно было вводить, например, для мультипликативных базисовследующее(∼)(`)Определение 4.1.2.
Тензорные произведения из Sα (∼) - и S (`) -семейств базисgαных векторов, ∼,`∈ {−, ∅, +}, ∀ α β,· ·= rα m̃ ⊗ r n̆ ,R m̃n̆βαβ∼, `β gβ· n̆R m̃⊗ rn̆ ,· = rα m̃αββRm̆· ñ· = rα m̃ ⊗ r n̆ ,αββm̃R m̃n̆⊗ rn̆ ,· · = rααββ∈ {−, ∅, +}, ∀ α βназываются S (∼) (`) -семействами мультипликативных базисов1 , ∼,αβ g , gα β`(4.1.33)∈ {−, ∅, +},∀ α β.Следует заметить, что по терминологии, принятой, например, в [337], базисы (4.1.32) и (4.1.33) можно называть многоточечными базисами.
Так, чтопервый из (4.1.32) и (4.1.33) — двухточечные базисы, а второй и третий из(4.1.32) — трех- и четырехточечный базисы соответственно.4.1.5Деривационные формулы для мультипликативных базисовНетрудно вывести деривационные формулы для мультипликативных базисов,зная аналогичные формулы для базисных векторов. В связи с этим сперва(∼)выпишем деривационные формулы для Sα (∼) -семейств базисных векторов,gα∼∈{−, ∅, +}, ∀ α, которые на основании (1.1.28) получат видñr ,rαp̃q̃ ≡ ∂q rαp̃ = Γrñ = Γαp̃q̃,ñ ααp̃q̃ αñ1ñ p̃r,rαñ, q̃ ≡ ∂q rαñ = −Γαp̃q̃ α∼∈ {−, ∅, +}, ∀ α.(4.1.34)Напоминаем, что с целью сокращения письма знак тензорного умножения ⊗ часто будем опускать.219Теперь выведем деривационные формулы, например, для двухвекторныхмультипликативных базисов.
С этой целью продифференцируем, например, второе соотношение (4.1.33) по xp . Имеем· n̆⊗ rn̆ + rαm̃ ⊗ ∂p rn̆ = rαm̃p̃ ⊗ rn̆ + rαm̃ ⊗ rn̆, p̆ ,∂p R m̃· = ∂p rαm̃βαβ∼, `βββ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β.(4.1.35)При написании (4.1.35) было использовано правило дифференцированияобычного произведения функций, которое имеет место и в рассматриваемомслучае. Можно его строго доказать, но на этом не будем останавливаться.Учитывая (4.1.34) в (4.1.35), получаем искомую формулу· n̆· n̆ q̃∂p R m̃− R m̃· q̆· Γn̆q̆p̆ ,· = R q̃ · Γα m̃p̃αβαβαββ∼, `∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β.(4.1.36)∈ {−, ∅, +}, ∀ α.(4.1.37)Отсюда при α = β имеем· q̆ n̆· n̆· n̆ q̃∂p R=RΓ −RΓ ,α m̃ ·α q̃ · α m̃p̃α m̃ · α q̆ p̆∼, `Перенося члены, находящиеся в правых частях (4.1.36) и (4.1.37) в их левыечасти, будем иметьq̃∂p R m̃· n̆· − R q̃· n̆· Γ+ R m̃· q̆· Γn̆q̆p̆ = 0,α m̃p̃αβαβ· n̆∂p Rα m̃ ·−αβ· n̆ q̃RΓα q̃ · α m̃p̃+β· q̆ n̆RΓα m̃ · α q̆ p̆= 0,∼, `∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β.(4.1.38)Левые части соотношений (4.1.38) представляют ковариантные производные· n̆от мультипликативных базисов R m̃· n̆· и R, ∼, ` ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β.α m̃ ·αβВводя для ковариантной производной, как обычно принято, обозначение ∇p ,соотношения (4.1.38) коротко можно записать в виде∇p R m̃· n̆· = 0,αβ· n̆∇p R= 0,α m̃ ·∼, `∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β,(4.1.39)сохраняющие силу при жонглировании индексами (в жонглировании индексы,обозначающие номера слоев, не участвуют).Легко усмотреть, что, например, из второго соотношения (4.1.39) имеем формулы∇p rα m̃ = 0,∇p rα ñ = 0,∼∈ {−, ∅, +}, ∀ α.(4.1.40)Заметим, что формулы (4.1.40) можно было получить еще из (4.1.34), перенося их левые части в правые и вводя обозначение для оператора ковариантнойпроизводной.Аналогично (4.1.39) доказывается справедливость утверждений для мультипликативных базисов более высокого порядка, поэтому на этом останавливатьсяне будем.
Эти утверждения можно сформулировать следующим образом:Утверждение 4.1.1. Ковариантная производная от мультипликативного базиса любого порядка равняется нулю.2204.1.6Представление единичного тензора второго рангаНетрудно найти это представление.
В самом деле, исходя из обычного представления этого тензора [210, 337], на основании (4.1.29) и (4.1.30) получаем⋆⋆⋆⋆E = g n̆p̃ rαp̃ rαn̆ = g n̆p̃ rαp̃ g ·n̆m· rm⋆ = g p̃· m· rαp̃ rm⋆ = g ·p̃ m· g n̆· p̃· rn̆ rm⋆ = g ·n̆m· rn̆ rm⋆ = E.βββ ββ βαααeeβαβαβαβαββТаким образом, искомое представление имеет вид· n̆E = E = rαp̃ rαp̃ = R= g n̆p̃ rαp̃ rαn̆ = E = rn̆ rn̆ = R ñ· ñ· = g n̆p̃ rp̃ rn̆ = g ·p̃ n̆· rαp̃ rn̆ ,α n̆ ·ββ ββααeeeββ β βαβ∼, ` ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β,(4.1.41)сохраняющее силу при жонглировании немыми индексами.Как видно из (4.1.41), введенные выше величины (4.1.27) и (4.1.28) представляют компоненты единичного тензора второго ранга для многослойной тонкойобласти трехмерного евклидова пространства.Теперь введем следующие определения:Определение 4.1.3.
Рассмотренная выше параметризация, характеризующаяся заданием радиус-вектора произвольной точки любого слоя α в виде (4.1.1) исоблюдением условия (4.1.4) называется новой параметризацией многослойнойтонкой области.Определение 4.1.4. Компоненты gαβ· n̆, ∼ ∈ {−, ∅, +}, ` ∈ {−, +},p̃ ·∀ α, β и по-лучаемые из них жонглированием индексами их образы, называются компонентами переноса ЕТВР при новой параметризации многослойной тонкой области.Определение 4.1.5.
Компоненты gαβкомпоненты переноса gαβ··,p̃q̆gαβ· q̆, ∼p̃ ···,p̃q̃gαβ· q̃,p̃ ·gαβp̃q̃··∼= − (∼ = +), ∀ α, β и= +, ` = − (∼ = −, ` = +), ∀ α, β, называ-ются основными компонентами ЕТВР при новой параметризации многослойнойтонкой области, если в качестве базовых принимаются внутренние (внешние)базовые поверхности слоев.Нетрудно найти выражения для gαβpqпосредством основных компонент пе-реноса.
В самом деле, на основании (4.1.27) и (4.1.30) имеемgαβpqñ= rαp · rq = g m̆p gq gβαβ αβm̆ñ, ∼,`∈ {−, +}, ∀ α, β.(4.1.42)Учитывая (4.1.15), получим[][]ñ3m̆3 m̆3ñ3 ñg m̆gg=(1−x)g+xg(1−x)g+xg−+−+ g m̆ñ =p qα β αβ m̆ñαpαpβqβ q αβ[()]ñ33m̆ ññ m̆3 2 m̆ ñ= (1 − x3 )2 g m̆g+x(1−x)gg+gg+(x)gg=−−−+− +++ gαp βqαp βqα p β q αβ m̆ñβ qβ p()= (1 − x3 )2 g −p −q + x3 (1 − x3 ) g −p +q + g +p −q + (x3 )2 g +p +q , `, ∼ ∈ {−, +}, ∀ α, β.αβαβαβαβ(4.1.43)221Сравнивая (4.1.42) и (4.1.43), найдем искомое представлениеgαβpq()= (1 − x3 )2 g −p −q + x3 (1 − x3 ) g −p +q + g +p −q + (x3 )2 g +p +q , ∀ α, β.αβαβαβαβОтсюда при α = β имеем (4.1.16).Теорема 4.1.1.
(Фундаментальная теорема для многослойной тонкой области в R3 при ее новой параметризации) Наличие единичного тензора второгоранга, представленного в видеE = g n̆p̃ rαp̃ rαn̆ = g n̆p̃ rp̃ rn̆ = g ·p̃ n̆· rαp̃ rn̆ ,βe αβ β βαβ∼, `∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β,необходимо и достаточно для существования, и притом единственной, сточностью до движения в R3 некоторой регулярной многослойной тонкойобласти при ее новой параметризации. При этом число независимых основных компонент ЕТВР зависит от типа семейства параметризации и числаслоев.4.1.7Представление изотропных тензоров четвертого рангаЭти тензоры занимают особое место в механике деформируемого твердого тела.В частности, ими пользуются, например, при записи различных соотношенийМДТТ.
Поэтому целесообразно иметь их представление и в предлагаемом варианте теории. Нетрудно выписать эти представления. В самом деле, как легкоусмотреть, при полном сокращении индексов к мультипликативным базисам,составленным из четного числа базисных векторов, при условии, что каждая(∼)пара зацепленных индексов принадлежит, например, к одному из g -семействαиндексов, ∼ ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, из них получим изотропные тензоры.Обнаружив такую природу мультипликативных базисов, очевидно, при полном сокращении индексов к мультипликативному базису из четырех базисныхвекторов должны ожидать, что получим все изотропные тензоры четвертогоранга.
Так как число изомеров мультипликативного базиса из четырех базисных векторов равно 24, то нетрудно показать, что при полном сокращении индексов ко всем изомерам указанным выше способом несводимыми друг к другуокажутся только следующие три:C I = R m̃· m̃· n̆· n̆· = rαm̃ rαm̃ rn̆ rn̆ = EE = EE, C II = R m̃· ·n̆ m̃· n̆· = rαm̃ rn̆ rαm̃ rn̆ ,βββ βαβαβαeeeeeeβαβαβm̃m̃· · m̃ n̆C III = R n̆ m̃ · · = rαm̃ Erα = rαm̃ Erα , ∼, ` ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β.αβeeβeαβ(4.1.44)Так как в силу, например, (4.1.41) rαn̆ rαn̆ = rp̃ rp̃ , поэтому имеемβ βCI = CI = C I ,αeeαβeCII = CII = C II ,αeeαβeCIII = CIII = C III , ∀ α, β.αeeαβeОпуская индексы α, β и ∼, `, тензоры (4.1.44) полностью совпадут с изотропными тензорами четвертого ранга, рассмотренными в [210], как и ожидалось.2224.1.8О ковариантной производной от компонент тензоровТак как выписанные ниже формулы для ковариантных производных от компонент тензоров первого и второго рангов легко обобщаются на компонентытензоров более высокого ранга, поэтому ограничимся нахождением ковариантных производных от компонент тензоров первого и второго рангов.Зная деривационные формулы для мультипликативных базисов, легко определить ковариантную производную от компонент тензоров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
