Диссертация (786091), страница 43
Текст из файла (страница 43)
На основании(3.7.32) надо найти выражения для U0 и Φ 0 . С этой целью найдем выражениядля(−)− −C 3· 3· ,e(+)+ +(−)C −′ − ,e 3· 3·3· 3·C (r),e(+)C′ − − ,e (r) 3· 3·C ⇒ D.(3.7.33)Нетрудно подсчитать, что в рассматриваемом случае)1(b3 3C3·3· = a(E + br3 r3 ), C′ − − = (C3·3· )−1 =E−rr;a e 1 + g 33 beee −e 3· 3·3 3· n·C3·3·= a(r) (E + b(r) r3 r3(r) ),(r) = g − Cn(r) eee ()b(r)13·3· −1′3 3C − − = (C(r) ) =E−rr,33b(r) (r)a(r) e 1 + g(r)e (r) 3· 3·e(3.7.34)где введены следующие обозначения:a = (µ + α)g 33 ,33g(r)=r ·3r3(r)=λ+µ−α,(µ + α)g 33b=−g 3− g 3n ,(r) ng 3−(r) n−=g −3n33a(r) = (µ + α)g(r),−−gP3g P− ,(r) ngP−(r) 3= 0,b(r) =λ+µ−α,33(µ + α)g(r)r3(r)g 3− rn .(r) n=(3.7.35)−(−)Заметим, что при новой параметризации области тонкого тела, когда h ⊥ S ,имеем−−−−−− −MNg 33 = g 3− g−3 g mn = cg 3 3 , c = 1 + g − gQ3 g P− g Q,−gm nP3M N−−−−−−(−)(−)g 33 x3 =0 = c g 3 3 = g 3 3 , c = cx3 =0 = 1, g 3 3 = h−2 ,+− −++−−− +(+)(+)MNg 3 3 = g 33 x3 =1 = c g 3 3 , c = cx3 =1 = 1 + g + − g +3 g P− g Q,−gP3 Q M N− −−−−(−)(+)33g(r)= c(r) g 3 3 , c(r) = 1+g − gQ3 g P− g Q− g M N , c (r) = c(r) x3 =0 = 1, c (r) = c(r) x3 =1 .P3(3.7.36)M (r)NУчитывая (3.7.34) – (3.7.36), нетрудно найти выражения для искомых величин (3.7.33).
В самом деле, после простых выкладок получим(−)(−)(−)−− (−)λ + µ −α(−)(−)333· 3·3·3· E + (−) (−) r− r 3 ,C= C x3 =0 = ( µ + α )g3eeeµ +α(−)(−)(−)(−)(−)1λ + µ −α′′C − − = C− − x3 =0 = (−) (−) g−− E − (−)r− r 3 ,(−)33 e3e 3· 3· e 3· 3·µ +αλ +2µ(+)(+)(+)−− (+ + )(+)+ +λ + µ −α(+)(+) (+)333· 3·3·3· 3E + (+) (+) (+) g−− r 3 r(r)C (r) = C(r) x3 =1 = ( µ + α ) c (r) g,33e ( µ + α ) c (r)ee(+)(+)(+)(+ + )(+)1λ + µ −α′′3C − − = C − − x3 =1 = (+) (+) (+) g−− E − (+)g−− r 3 r(r),(+) (+)33 e33e (r) 3· 3· e (r) 3· 3·( µ + α ) c (r)( λ + 2 µ ) c (r)(−)(+)(−)(−)(+)(+)λ = λ 3 , µ = µ 3 , α = α 3 , λ = λ 3 , µ = µ 3 , α = α(−)− −x =0C ⇒ D,λ ⇒ γ,x =0µ ⇒ δ,x =0α ⇒ β.x =1x =1(3.7.37)x3 =1,201Учитывая (3.7.26) и соответствующие соотношения (3.7.37), после простыхвыкладок из (3.7.30) получим выражения для значений на концах сегмента [0, 1]производных от корректирующих слагаемых по третьей координате в случаенеоднородной микрополярной изотропной среды в формеg−− (√−(∂3 U0 ) = − (−) (−)µ +α33−− (−)−(−)−−Ig33 P + P3I(r,N ))r− −I(+)g−−33(−)(−)(√ −− (−)− (−)−− )33g 3 3 P 3 + P (r,N) r− ,3λ +2µ[ − (+)++( λ + µ − α )g−− +− (+)++ ]3333 3I+I3J33(∂3 U0 ) = (+) (+) (+)g+ P 0(r)(r) − (+)g P 0(r)(r)r− +(+) (+)IJ( µ + α ) c (r)( λ + 2 µ ) c (r)g−−[ ((+)cg−−+33(+)(+) (+)( µ + α ) c (r)U(0) ⇒ Φ (0) ,P ⇒ µ,(+)(+)(3.7.38)]− (+)++− 1) λ + (2 c (r) − 1) µ + α (+)+3 +333JP 0(r)(r) + g+ P 0(r)(r) r− ,(+)(+) (+)3J( λ + 2 µ ) c (r)λ ⇒ γ, µ ⇒ δ, α ⇒ β.(+)(+)(+)(+)(r)где введены следующие обозначения:(+)++(+)++(+nn3·3n·· P 0(r)= r(r)P 0(r)(r)= r(r)+ (+) −(+)++(r)mλ ⇒ γ,++ (+)(+)+3·g 3 3 P − P (r,N)(+)++(+))√(+)++++ (+)+)n3n− P (r,N= g 3 3 P (r))(r) ,+ (+)+ −+(+)+(3.7.39)n3·3nn3mP (r,N)(r) = g − P (r,N ) = r(r) · P (r,N ) ,nn· P,= g n− P m = r(r)P (r)P ⇒ µ,√µ ⇒ δ,(r)mα ⇒ β.−+II(+)Если тело имеет постоянную толщину (g+3 = 0, g−3 = 0, c (r) = 1), то из(3.7.38) получим−g−− (√−− (−)−(−)−−)g−−(√ −− (−)− (−)−− )33g 3 3 P 3 + P (r,N) r− ,(∂3 U0 ) = − (−) (−)g33 P + Pr− − (−)(−)3Iµ +αλ+2µg−− (√ −− (+)− (+)−− )g−− (√ −− (+)− (+)−− )33+I3I3333(∂3 U0 ) = (+) (+)g P − P (r,N ) r− − (+) 3 3g 3 3 P 3 − P (r,N) r− ,(+)3I(µ + α)λ +2µU(0) ⇒ Φ (0) , P ⇒ µ , λ ⇒ γ, µ ⇒ δ, α ⇒ β.33I3I(r,N )33(3.7.40)Учитывая (3.7.38) и (3.7.40), в силу (3.7.30) из (3.7.32) найдем выражениядля корректирующих слагаемых U(0) Φ(0) в рассматриваемых случаях.
С цельюсокращения письма выписывать их не будем. Следует заметить, что, например, из первых двух соотношений (3.7.38) и (3.7.40) соответствующие формулы(−)(+)классической теории получаются при α = 0 и α = 0. Заметим также, что рассматривать различные случаи анизотропии и получить для них из выведенныхвыше общих соотношений соответствующие данной анизотропии формулы непредставляет труда. На получении этих соотношений также с целью сокращения письма останавливаться не будем.2023.7.2Определение корректирующих слагаемых при постановках задач относительно тензоров напряжений и моментных напряженийВ рассматриваемом случае решение задач приближения (r, N ) представляютсяв видеN (k)∑P(r,N ) (x′ )Û ∗k (x3 ),P(r,N ) (x′ , x3 ) =ek=0 eN (k)∑µ (r,N ) (x′ , x3 ) =µ (r,N ) (x′ )Û ∗k (x3 ).k=0 ee(3.7.41)Это решение удовлетворяет граничным условиям на боковой грани, но не удо(−)(+)влетворяет условиям на лицевых поверхностях S и S .1.
Нахождение корректирующих слагаемых в том случае, когда на лицевых поверхностях заданы векторы напряжения и моментного напряжения.Так как (3.7.41) не удовлетворяют граничным условиям на лицевых поверхностях, то нужно найти добавочные слагаемыеµ 0 = r3µ 0 ,eP0 = r3 P0 ,e(3.7.42)которые удовлетворяют условиям:1) поля тензоров напряжений P = P(r,N ) + P0 и моментных напряженийeeусловиямиe на лицевых поверхностях,µ = µ (r,N ) + µ 0 согласованы с краевымиee в данномeкоторыеслучае аналогично (3.5.11) представляются в виде−√(−)r ·P =−e√3−(−)r · µ =−e3−− (−)g33P,−− (−)g33 µ ,(−−+r − g+ g − r−)(+)√++ (+)· P = g 3 3 P,P Me√−)− +++ (+)( −3(+)3 M Mr − g+ g − r · µ = g 3 3 µ ,P Me33 M M(−)x′ ∈ S ,′(3.7.43)(−)x ∈ S,где введены следующие обозначения:(−)(−)P = P= P (r,N ) + P 0 ,ee x3 =0ee(−)(−)(−)µ = µ= µ (r,N ) + µ 0 ,ee x3 =0ee(−)(k)(+)(+)P = P= P (r,N ) + P 0 ,ee x3 =1ee(+)(+)(+)µ = µ= µ (r,N ) + µ 0 ;ee x3 =1ee(+)(3.7.44)(k)2) моменты P0 и µ 0 тензорных полей P0 и µ0 обращаются в нуль, еслиeeeek ≤ N;3) нормы тензорных полей P0 и µ 0 можно сделать сколь угодно малымивнутри области тонкого тела, т.е.e для eлюбого ε > 0 существует δ(ε) > 0, чтовыполняются условия(−)µ0 (x′ , x3 )|| < ε, 0 < δ < x3 < 1 − δ, x′ ∈ S .||P0 (x′ , x3 )|| < ε, ||µeeСуществование тензорных полей P0 и µ 0 доказывается аналогично сущеeствованию векторных полей u0 и φ 0 (3.7.9)–(3.7.12).Сперва найдем выражениеeдля векторного поля P0 , а затем по аналогии выпишем представление для µ 0 .Ищем P0 в виде∗∗(x3 ),(x3 ) + Bm+1 (x′ )Ûm+1P0 (x′ , x3 ) = Bm (x′ )Ûmm > N.(3.7.45)Итак, нужно определить Bm и Bm+1 так, что тензорное поле P = P(r,N ) +e УчитываяeP0 (P0 = r3 P0 ) удовлетворяло первым двум равенствам (3.7.43).e e203значения ортонормированных смещенных многочленов Чебышева второго родана концах сегмента (2.5.16), из (3.7.45) получим√(−)π(m + 1)Bm (x ) − (m + 2)Bm+1 (x ) =(−1)m P 0 ,√2 (+)πP 0.(m + 1)Bm (x′ ) + (m + 2)Bm+1 (x′ ) =2′′(3.7.46)Разрешая (3.7.46) относительно Bm и Bm+1 , а затем, учитывая, что на основании первых двух формул (3.7.43) и (3.7.44) имеем соотношения(−)P0 = −(√−− (−)g33P+(−)−3·P (r,N))√(+)+++ (+)3·P 0 = g 3 3 P − P (r,N),(+),найдем√√√(−)−−− (−)()]π [ +3 +3 (+) (+)+3·n3·Bn (x ) =g P − P (r,N ) −(−1)g 3 3 P + P (r,N) , n = m, m+1.4(n + 1)′(3.7.47)Подставляя (3.7.47) в (3.7.45), получим окончательное выражение для P0√√[√ ++ (+) (+)+(−)−−− (−)()] ∗ 3π′33·m+13·3333P0 (x , x ) =g P − P (r,N ) +(−1)g P + P (r,N ) Û m (x )+4(m + 1)√√√(+)+(−)−++ (+)−− (−)()] ∗π [3·m3·3333g P − P (r,N ) +(−1)g P + P (r,N ) Û m+1 (x3 ), m > N.+4(m + 2)(3.7.48)Если используем стандартизованные смещенные полиномы Лежандра {Pk∗ }∞k=0 ,то аналогично (3.7.48) (см.
также (3.7.10)) получим√[√ ++ (+) (+)+(−)−−− (−)()] ∗ 31′33·m+13·3333P0 (x , x ) =g P − P (r,N ) +(−1)g P + P (r,N ) Pm (x )+2√√(+)+(−)−++ (+)−− (−)()] ∗1[3·m33 3 P + P 3·+g 3 3 P − P (r,N+(−1)gm > N.)(r,N ) Pm+1 (x ),2(3.7.49)Нетрудно видеть, что выражения для µ 0 аналогично (3.7.48) и (3.7.49) будутиметь вид√√++ (+)−− (−)()] ∗ 3(+)+(−)−π [3·m+13·µ 0 (x , x ) =g 3 3 µ − µ (r,N ) +(−1)g 3 3 µ + µ (r,N) Û m (x )+4(m + 1)√√√++ (+)−− (−)()] ∗(+)+(−)−π [33·m3·+g 3 3 µ − µ (r,N ) +(−1)g 3 3 µ + µ (r,N) Û m+1 (x ), m > N.4(m + 2)√√++ (+)−− (−)()] ∗ 3(+)+(−)−1[′33·m+13·33µ 0 (x , x ) =g µ − µ (r,N ) +(−1)g 3 3 µ + µ (r,N) Pm (x )+2√√++ (+)−− (−)()] ∗(+)+(−)−1[33·m3 3 µ + µ 3·m > N.+g 3 3 µ − µ (r,N+(−1)g)(r,N ) Pm+1 (x ),2√′3(3.7.50)(3.7.51)Не представляет труда проверить, что получаемые из (3.7.42) с учетом (3.7.48)–(3.7.51) корректирующие слагаемые удовлетворяют всем вышеуказанным требованиям.
Таким образом, найдены их явные выражения, чем и доказано ихсуществование.2. Если на лицевых поверхностях заданы векторы перемещения и вращения,то сформулировать граничные условия в тензорах напряжений и моментных напряжений в общем виде невозможно. Например, в случае классической теории204упругости эти условия будут содержать некоторые криволинейные интегралыот компонент тензора напряжений и их производных, которые получатся, если в формулах Чезаро учесть выражения для компонент тензора деформацийчерез компоненты тензора напряжений по закону Гука. Аналогичная картинаимеет место и в случае микрополярной теории.
Следует отметить, что в плоской задаче теории упругости в некоторых частных случаях соответствующиесоотношения удается довести до конца.3.8О способе В.В.Понятовского удовлетворения граничных условий на лицевых поверхностях тонкого тела при применении систем ортогональных полиномовПри этом способе компоненты тензоров напряжений и моментных напряжений, которые не участвуют в граничных условиях на лицевых поверхностях,разлагаются в ряды по рассматриваемой системе ортогональных полиномов, аостальные компоненты определяются через них из уравнений равновесия такимобразом, чтобы они удовлетворяли указанным выше граничным условиям.Следует заметить, что этот способ при построении классической теории (однослойных и многослойных) пластин постоянной толщины в случае отсутствияобъемных сил и касательных напряжений на лицевых поверхностях применялВ.В.Понятовский в своих замечательных работах [356–360].Ниже рассмотрен этот способ удовлетворения граничных условий на лицевых поверхностях при построении классической теории призматических тонкихтел с одним малым размером постоянной толщины при классической параметризации области тонкого тела с учетом объемных сил и непрерывно распределенных напряжений на лицевых поверхностях.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
