Диссертация (786091), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

В самом деле, пустьAтензор первого ранга (вектор), относящийся к слою α, тогда его можно предαставить в видеp̃A=Ar =Arp̆ ,αα αp̃α p̆ α∼, `∈ {−, ∅, +}, ∀ α.(4.1.45)Дифференцируя первое равенство (4.1.45) по xn и учитывая первую из деривационных формул (4.1.34), будем иметьp̃p̃p̃p̃p̃ m̃m̃p̃ m̃∂n A= ∂n (Ar ) = (∂n A)r + Ar = (∂n A)r + AΓ r = (∂n A+AΓ )r ,αα αp̃α αp̃α αp̃ñα αp̃α αp̃ñ αm̃αα αp̃ñ αm̃∼∈ {−, ∅, +}, ∀ α.Аналогично предыдущему соотношению, дифференцируя A=Arp̃ по xn иαα p̆ αучитывая вторую из деривационных формул (4.1.34), получим∂n A= ∂n (Arp̆ ) = (∂n A−AΓp̆ )rm̆ ,αα p̃ αα m̆α m̆ αm̆n̆ α`∈ {−, ∅, +}, ∀ α.Таким образом,m̃∂n A= ∇n Ar = ∇n Arm̃ ,αα αm̃α m̃ α∼, `∈ {−, ∅, +}, ∀ α,где для ковариантных производных введены обозначенияm̃m̃p̃ m̃∇n A= ∂n A+AΓ ,ααα αp̃ñm̃∇n A= ∂n A−AΓp̆ ,αα m̆α m̆ αm̆n̆∼, `∈ {−, ∅, +}, ∀ α.(4.1.46)Теперь рассмотрим тензор второго ранга H, ∀ α, β и представим его в слеeαβдующем виде:H = H p̃· q̆· Rp̃· q̆· = H p̃· q̆· Rp̃· q̆· = H p̃· q̆· Rp̃· q̆· = H p̃· q̆· Rp̃· q̆· ,αβαβαβαβαβαβe αβ αβαβ∼, `∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β.(4.1.47)Дифференцируя, например, первое равенство (4.1.47) по xn и учитывая деривационную формулу (4.1.36), найдемp̃R · q̆ −∂n H = ∂n (H p̃· q̆· Rp̃· q̆· ) = (∂n H p̃· q̆· ) Rp̃· q̆· + H p̃· q̆· ∂n Rp̃· q̆· = (∂n H p̃· q̆· ) Rp̃· q̆· + H r̃· q̆· Γαr̃ ñ αβ p̃ ·αβαβαβαβαβαβαβαβαβeαβp̃s̆s̆)Rp̃· q̆· , ∼, ` ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β.− H p̃· s̆· ΓR · q̆ = (∂n H p̃· q̆· + H r̃· q̆· Γ−H p̃· s̆· Γαq̆ n̆αr̃ ñαq̆ n̆ p̃ ·αβαβαβαβαβαβТаким образом,∂n H = (∇n H p̃· q̆· ) Rp̃· q̆· ,αβαβeαβ∼, `∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β,223где для ковариантной производной введено обозначениеp̃s̆∇n H p̃· q̆· = ∂n H p̃· q̆· + H r̃· q̆· Γ− H p̃· s̆· Γ,αr̃ ñαq̆ n̆αβαβαβ∼, `αβ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β.(4.1.48)Как видно из формул (4.1.46) и (4.1.48), нахождение выражений ковариантных производных от компонент тензоров, представленных в разных семействах базисов, производится по обычному правилу [68,210,337] с тем отличием,что семейства символов Кристоффеля определяются семействами немых индексов.

Так, например, во втором слагаемом в правой части (4.1.48) немой индекс(∼)принадлежит к одному из g -семейств, ∼ ∈ {−, ∅, +}, ∀ α и поэтому семейα(∼)ство символов Кристоффеля соответственно является одним из Sα (∼) -семейств,gα∼∈ {−, ∅, +}, ∀ α.Теперь докажем следующееУтверждение 4.1.2. Ковариантная производная от компонент единичного тензора второго ранга равняется нулю.С целью доказательства этого утверждения опускаем индекс q̃ в (4.1.27) ипотом продифференцируем по xn .

Имеем··∂n g p̆q̃= ∂n (rαp̆ · rαq̃ ) = rαp̆n̆ · rαq̃ + rαp̆ · rαq̃ñ ,∼, `∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β.αβОтсюда в силу первого соотношения деривационных формул (4.1.34) получаем··· · r̆· · r̃∂n g p̆q̃ = g r̆q̃ Γ+ g p̆r̃ Γq̃ñ ,α p̆n̆αβαββαβ∼, `∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β.(4.1.49)Перенося члены, находящиеся в правой части (4.1.49), в левую и вводя обозначение для ковариантной производной, будем иметь····r̆· · r̃∇n g p̆q̃= ∂n g p̆q̃− g r̆·q̃· Γ− g p̆r̃Γq̃ñ = 0,α p̆n̆αβαβαβαββ∼, `∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β.(4.1.50)Заметим, что, если мы исходили бы из (4.1.27) при любом другом расположении индексов p̆ и q̃, конечно, во всех случаях аналогично (4.1.50) доказалибы справедливость утверждения. Таким образом,··= 0,∇n g p̆q̃αβ∇n g p̆· q̃· = 0,αβ∇n gαβp̆ ·· q̃= 0,∇n gαβp̆q̃··= 0,∼, `∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β.(4.1.51)Равенства (4.1.51) полностью доказывают утверждение.Из утверждения 4.1.2 непосредственно вытекаетСледствие.

Ковариантная производная от компонент изотропных и демитропных тензоров равняется нулю.Заметим, что компоненты демитропных тензоров, которые являются тензорами нечетного ранга, меняют знак при несобственном ортогональном преобразовании, тогда как компоненты изотропных тензоров остаются неизменными224при любом ортогональном преобразовании. Кроме того, единственным демитропным тензором третьего ранга является дискриминантный тензор (тензорЛеви-Чивиты) [210]. Поэтому, вводя в рассмотрение в предлагаемом вариантетеории, например, трехточечный дискриминантный тензорC= C≃αβγ· · · p̃ q̆ n̂···r r , C p̃q̆n̂p̃q̆n̂ rα β γαβγ= (rαp̃ × rq̆ ) · rγ n̂ ,∼ , `,β∧∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β, γ,(4.1.52)в силу следствия утверждения 4.1.2 будем иметь соотношения∇m Cαβγ∼ , `,···p̃q̆n̂∧= ∂m Cαβγ···p̃q̆n̂− Cαβγ· · · r̃r̃q̆n̂ Γαp̃m̃− Cαβγ· · · r̆p̃r̆n̂ Γq̆ m̆β− Cαβγ· · · r̂p̃q̆r̂ Γγ n̂m̂= 0,∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β, γ,(4.1.53)сохраняющие силу при жонглировании индексами.Следует заметить, что (4.1.53) можно получить еще, продифференцироваввторое соотношение (4.1.52) по xm и учитывая деривационные формулы.4.2Связи между различными семействами параметризаций многослойной тонкой областиВведем следующееОпределение 4.2.1.

Будем говорить, что связь между двумя семействами параметризаций многослойной области тонкого тела осуществлена, если найденысвязи между порождающими эти семейства параметризаций семействами базисов и, вообще, между порожденными порождающими семействами базисовлюбыми семействами соответствующих геометрических характеристик, сопровождающими связываемые параметризации.Очевидно, зная связь между двумя порождающими рассматриваемые семейства параметризаций семействами базисов, легко найти связь, например, между порожденными ими семействами символов Кристоффеля и, вообще, между порожденными ими любыми семействами соответствующих геометрическиххарактеристик. Мы ограничимся нахождением связей между некоторыми семействами соответствующих геометрических характеристик, сопровождающими эти параметризации.4.2.1Связи между различными семействами мультипликативныхбазисов(∼)(`)Как видно, из (4.1.29) связи между Sα (∼) - и S (`) -семействами базисов,gαβ gβ∼, `∈{−, ∅, +}, ∀ α, β, осуществляются соотношениемrαp̃ = g p̃· n̆· rn̆ ,αββ∼, `∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β,(4.2.1)конечно, сохраняющим силу при жонглировании индексами.В силу (4.2.1) легко найти связи между многоточечными мультипликативными базисами.

В самом деле, нетрудно видеть, что связи, например, междудвуточечными мультипликативными базисами будут иметь видRp̃· q̆· = g p̃· m̂· g q̆· ň· Rm̂· ň· ,αβαγβδγδ∼ , `,,∨∧∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β, γ, δ,(4.2.2)225сохраняющие силу при жонглировании индексами.Следует заметить, что обобщение (4.2.2) на мультипликативные базисы более высокого порядка не представляет большого труда и поэтому с целью сокращения письма на этом останавливаться не будем, а в случае надобности поаналогии (4.2.2) выпишем нужные соотношения.4.2.2Связи между различными семействами символов Кристоффеля,(`)(∼)Найдем связи между Sα (∼) -, и S (`) -семействами символов Кристоффеля2 , ∼,β gβgα`∈{−, ∅, +}, ∀ α, β.

Дифференцируя (4.2.1) по xq и пользуясь определениями символов Кристоффеля (1.1.28), получим(rαp̃q̃ = ∂q rαp = ∂q g(= ∂q g)· n̆rp̃ · β n̆αβТаким образом,)· n̆rp̃ · β n̆αβ+ gαβαβ· n̆rp̃ · β n̆q̆αβ· n̆p̃ ·=(= ∂q g· m̆ n̆Γ rp̃ · βm̆q̆ β n̆(rαp̃q̃ = ∂q g∼, `+ gαβ+ gαβ· m̆ n̆Γp̃ · βm̆q̆)· n̆p̃ ·+ gαβ· m̆ n̆Γp̃ · βm̆q̆(rn̆ = ∂q gβαβ··p̃n̆)rn̆ ,β∼, `∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β.)· m̆r n̆ ,Γp̃ · βm̆q̆,n̆ βαβ− g(4.2.3)∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β,где второе равенство получается аналогично первому.˜˜Умножая (4.2.3) почленно на rα˜= g ˜· k̆ r и rαl = g l · r k̆ и учитывая определеlαβ l · β k̆αβ · k̆ βния символов Кристоффеля (1.1.28), найдем искомые связи в виде··l̃n̆αβ(Γ= gαp̃q̃,l̃l̃Γ= gαp̃q̃αβ∼, `l̃ ·· n̆(∂q gαβ∂q gαβ· n̆p̃ ·· n̆p̃ ·+ gαβ+ gαβ· m̆ n̆Γp̃ · βm̆q̆· m̆ n̆Γp̃ · βm̆q̆)· n̆l̃αβ ·(= g)= gαβl̃ n̆··(∂q gαβ∂q gαβ··p̃n̆··p̃n̆− gαβ− gαβ· m̆Γp̃ · βm̆q̆,n̆(`)· m̆Γp̃ · β m̆q̆,n̆),),(4.2.4)∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β.Следует заметить, что, при α = β, из (4.2.4) получаются соотношения, осуществляющие связи между различными семействами символов Кристоффелярассматриваемого слоя, которые полностью совпадут с аналогичными соотношениями из работ [235, 251] (см.

также выше первую главу).4.2.3Связи между компонентами и ковариантными производнымиот компонент многоточечного тензораПредполагается, что рассматриваемый тензор представлен в различных семействах мультипликативных базисов. Ограничимся рассмотрением тензора второго ранга H, представления которого имеют видe· q̆ p̃ ·· ňm̂·H = H p̃ · R · q̆ = H · ň Rm̂· ,γδγδe αβ αβ2∼ , `,,∨∧∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β, γ, δ,Классификация символов Кристоффеля подробнее рассмотрена в [235, 251].(4.2.5)226сохраняющие силу при жонглировании индексами.В силу (4.2.2) из (4.2.5) легко получаемp̃ ·m̂·H p̃· q̆· Rp̃· q̆· = g p̃· m̂· g q̆ň· · H · ň R · q̆ ,αβαβαγβδγδ∼, `,αβ,∨∧∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β, γ, δ.Отсюда, учитывая линейную независимость мультипликативных базисов Rp̃· q̆· ,αβ∼, `виде∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β, искомые связи между компонентами представятся вm̂·H p̃· q̆· = g p̃· m̂· g q̆ň· · H · ň ,αβαγβδ∼, `,γδ,∨∧∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β, γ, δ,(4.2.6)сохраняющие силу при жонглировании индексами.Нетрудно найти связи и между ковариантными производными от компоненттензора H.

В самом деле, в силу утверждения 1.2 и правила нахождения ковариантнойeпроизводной от суммы и произведения компонент тензоров из (4.2.6)имеемm̂···q̆ňm̂···q̆ňm̂···q̆ňm̂·∇s H p̃· q̆· = ∇s ( g p̃· m̂· g q̆ň· · H · ň ) = ∇s ( g p̃m̂ g · · )H · ň + g p̃m̂ g · · ∇s H · ň = g p̃m̂ g · · ∇s H · ň ,αβ∼, `,αγ,∨∧βδγδαγγδβδαγβδγδαγγδβδ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β, γ, δ.Таким образом, искомые связи имеют видm̂·∇s H p̃· q̆· = g p̃· m̂· g q̆ň· · ∇s H · ň ,αβαγγδβδ∼ , `,,∨∧∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β, γ, δ.(4.2.7)сохраняющие силу при жонглировании индексами за исключением индекса s.Заметим, что обобщение (4.2.6) и (4.2.7) на компоненты тензоров более высокого ранга не представляет никакого труда.4.3О компонентах ЕТВРКак было сказано выше, не будем выписывать все соотношения этого раздела,так как для рассматриваемого слоя можно их получить из соответствующих соотношений первой главы, если коренные буквы в этих соотношениях снабдитьснизу индексом, обозначающем номер слоя.

Характеристики

Список файлов диссертации