Диссертация (786091), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Итак, считая известными эти соот(−)ношения и принимая за основную базовую внутреннюю базовую поверхность Sαслоя α, в силу определения (4.1.5) при β = α основными компонентами ЕТВР−qслоя α будут компоненты g −− , g − , gαpqαp−−pqα−и компоненты переноса g +− , g +q , играαpqαpющие важную роль в том смысле, что остальные компоненты и большинствогеометрических характеристик выражаются через них.Следует обратить внимание на компоненты g p̃· q̆· .
В частности, заслуживаαβ−−·qет внимания компоненты g + = rα+p · r при β = α + 1 ( gαβ p ·qβназываемые компонентами контакта ЕТВР.−·q+αα+1 p ·−= rα+p · r q ),α+12274.4Выражение различных семейств символов Кристоффеля данного слоя через основные компоненты ЕТВР того же слоя(∼)Ограничимся рассмотрением Sα (∼) -семейств символов Кристоффеля, ∼ ∈ {−, ∅, +},gα(−)а за основную базовую принимаем внутреннюю базовую поверхность Sα . Тогда, так как по определению (4.1.5) основными компонентами ЕТВР слоя α−−−−являются компоненты g −− , g −q , g p q и компоненты переноса g +− , g +q , то задачаαpαpqααpqαpзаключается в выражении символов Кристоффеля (1.1.28) через них.
С цельюразрешения этой задачи разобьем ее на две части:(`)1. Выразим Sα (`) -семейства символов Кристоффеля,`gα∈ {−, +}, через ос-новные компоненты ЕТВР слоя α.2. Выразим Sα g -семейства символов Кристоффеля через основные компоненαты ЕТВР слоя α.4.4.1Выражение семейств символов Кристоффеля относительно базисов, связанных с лицевыми поверхностями слоя α, через основные компоненты ЕТВР этого слоя(`)Аналогично (1.1.28) для Sα (`) -семейств символов Кристоффеля,gα`∈ {−, +},будем иметь= rαp̆ q̆ · rα ,Γαp̆ q̆,l̆k̆Γ= rαp̆ q̆ · rαk̆ = g k̆l̆ Γα p̆ q̆αl̆αp̆ q̆,l̆,`∈ {−, +}.(4.4.1)Заметим, чтоrα(−)P̆ q̆= ∂q ∂P rα , rαP̆ Q̆= rαQ̆P̆2, rαp̆ 3̆ = 0, rα3̆Q̸̆= 0, rαP̆ 3̸̆= rα ,3̆P̆2(x , x ),rα3̆ q̆ = ∂q rα3̆ = ∂q h(x , x ) = rα+q − rα−q , rα3̆ = rα3 = hαα11`∈ {−, +}.(4.4.2)Нетрудно заметить, чтоΓαp̆ q̆,l̆(∼ ΓαP̆ Q̆,L̆, ΓαP̆ Q̆,3̆,Γα3̆Q̆,l̆,Γαp̆ 3̆,l̆),`∈ {−, +},где ∼ — символ эквивалентности.На основании третьего и шестого соотношений (4.4.2) и (4.4.1) нетруднопоказать, чтоΓαp̆ 3̆,l̆= rαp̆ 3̆ · rα = 0, Γαl̆3̆Q̆,l̆= g+ − g− ,Ql̆`∈ {−, +}.Ql̆(4.4.3)Следует заметить, чтоΓαP̆ Q̆,L̆1= (−∂L g + ∂P g + ∂Q g ) = Γ̄,α P̆ Q̆,L̆α P̆ Q̆α Q̆L̆α L̆P̆2`∈ {−, +},(4.4.4)228(`)где, в силу соотношения первой строки (1.1.29) Γ̄αP̆ Q̆,L̆— Sα -семейства символовКристоффеля первого рода.Далее на основании (4.4.1), шестого и седьмого соотношений (4.4.2) имеемΓα= rαP̆ Q̆,3̆P̆ Q̆·h= ∂Q (rα · h) − rα · h= ∂Q gαααQP̆P̆α P̆ 3̆− g+ + g− ,α QP̆α QP̆`∈ {−, +}и отсюда, учитывая второе соотношение (4.4.2), получимΓαP̆ Q̆,3̆)1(=Γ∂ g + ∂Q g − g + − g + + g − + g −==α Q̆P̆ ,3̆α P̆ 3̆α P Q̆α QP̆α P Q̆α QP̆2 P αQ̆3̆= ∂Q g − g + + g − = ∂P g − g + + g − , ` ∈ {−, +}.α P̆ 3̆α QP̆α Q̆3̆α QP̆α P Q̆(4.4.5)α P Q̆Не представляет большого труда найти выражения и для символов Кристоффеля второго рода.
В самом деле, нетрудно заметить, что)( −kk̆k̆k̆,Γ∼Γ,ΓΓp̆q̆α P̆ Q̆ α 3̆Q̆ α p̆3̆αи на основании (4.4.1) и (4.4.3)–(4.4.5) будем иметьk̆Γ= g k̆l̆ Γα P̆ Q̆αP̆ Q̆,l̆= g k̆3̆ (∂P gk̆Γ= g +k̆ − g −k̆ ,α 3̆Q̆k̆Γ= 0,α p̆ 3̆ααQ4.4.2αQαα Q̆3̆− g + + g − ) + g k̆L̆ Γ̄αα P Q̆α P Q̆αP̆ Q̆,L̆,(4.4.6)` ∈ {−, +}.Выражение семейства символов Кристоффеля относительносемейства базисов, связанного с эквидистантной поверхностьюслоя α через основные компоненты ЕТВРРассмотрим два способа нахождения выражений для Sα g -семейства символовαКристоффеля.
Первый из которых заключается в нахождении связи между Sα g α(`)и Sα (`) -семействами символов Кристоффеля таким образом, что Sα g -семействаgαα(`)символов оказались определенными посредством Sα (`) -семейств символов, а втоgαрой — в определении Sα g -семейств символов непосредственно через компонентыαпереноса ЕТВР слоя α.Нетрудно заметить, что в первом случае по более общим соотношениям(4.2.4) остается только лишь выписать искомые связи.
В самом деле, при ∼ =∅, β = α из (4.2.4) получаем())(m̆n̆n̆m̆ n̆∂g−gΓ,=gΓ=g∂g+gΓq pn̆q p̃pα p q,lαα α m̆ q̆,n̆αlα ln̆αα p̃ β m̆q̆))((sn̆m̆m̆ n̆sn̆sΓ=g∂g−gΓ+g=g∂gΓq pn̆q pn̆p α m̆ q̆,n̆ , ∼,p α m̆ q̆αp qαααααα`∈ {−, +}, ∀ α.(4.4.7)229Далее, учитывая (4.1.15) и (4.4.3) — (4.4.6) подходящим образом в (4.4.7),окончательно получим искомые выражения для Sα g -семейств символов Криαстоффеля, на выписывании которых останавливаться не будем.В случае второго способа нахождения выражения для Sα g -семейства симвоαлов Кристоффеля поступаем следующим образом: сперва выписываем представления Sα g -семейства символов Кристоффеля через Sα g -семейство компонентαЕТВР, а затем в силу (4.1.16) учитываем, что g rs =ααg rn̆ g sn̆ , `α α∈ {−, +}. В резуль-тате, например, для Sα g -семейства символов Кристоффеля первого рода будемαиметь) 1[()()()]1(− ∂l g pq +∂p g ql +∂q g lp = −∂l g pn̆ g qn̆ +∂p g qn̆ g ln̆ +∂q g ln̆ g pn̆ =αααα αα αα α22) n̆()()]1[ (= − ∂l g pn̆ g q −g pn̆ ∂l g qn̆ + ∂p g qn̆ g ln̆ +g qn̆ ∂p g ln̆ + ∂q g ln̆ g pn̆ +g ln̆ ∂q g pn̆ , ` ∈ {−, +}.αααααααααααα2Γ=α p q,l(4.4.8)Учитывая (4.1.15), из последнего соотношения получим искомое выражение.Однако с целью сокращения письма не для всех компонент переноса подставимвыражения по (4.1.15), а лишь для тех, которые стоят под операции дифференцирования.
В результате получим)]}[ ()][ (1{ {− ∂l g −p n̆ + ∂l x3 g +p n̆ − g −p n̆ g pn̆ − g pn̆ ∂l x3 g +n̆ − g −n̆ +Γ=α p q,lαα{2[ 3()]}α n̆ α[α 3 ( n̆ α qn̆ )]}α q+ ∂p g −q n̆ + ∂p x g +q n̆ − g −q n̆ g l + g qn̆ ∂p x g + − g −+ααααααlαl}{[ ()]} n̆[ ()]}+ ∂q g − + ∂q x 3 g + − g −g p + g ln̆ ∂q x3 g +n̆ − g −n̆, ` ∈ {−, +}.α l n̆α l n̆α l n̆ααpα(4.4.9)αpВидно, что в связи с громоздкостью (4.4.9) предпочтительно пользоваться(4.4.7).Заметим, что в силу первого равенства первого соотношения (4.4.7) получаемΓα′p̆ q̆,l̆= Γα′q̆ p̆,l̆= g q̆3̆ Γαα3̆ p̆,l̆+Γαp̆ q̆,l̆= g p̆3̆ Γα3̆ q̆,l̆α+Γα)1 ( 3̆3̆g p̆ Γ+gΓ+Γ+Γ,α 3̆ q̆,l̆α p̆ q̆,l̆α q̆ p̆,l̆α q̆ α 3̆ p̆,l̆ 2 αΓ= Γα′ + + + . 3 = Γα′ − − − , Γα p q,l x =0α p q,l x3 =1=(`=−)p q, lq̆ p̆,l̆=` ∈ {−, +},p q, l(`=+)Отсюда в свою очередь заключаем, чтоΓα′4.5p̆ q̆,l̸̆= Γαp̆ q̆,l̆, Γα′P̆ Q̆,l̆=ΓαP̆ Q̆,l̆,` ∈ {−, +}.Системы уравнений движения в моментах многослойных тонкихтел с одним малым размеромЧтобы получить какое-нибудь соотношение (систему уравнений, ОС, граничныеи начальные условия) в моментах многослойных тонких тел при рассматриваемой параметризации области тонкого тела достаточно в соответствующем соотношении однослойного тонкого тела коренные буквы величин снабдить снизу230индексом α, который обозначает номер слоя α и придать этому индексу значения от 1 до K, где K — количество слоев.
Следовательно, для корректнойпостановки задач к уравнениям движения и граничным и начальным условиямв моментах, нужно добавить межслойные контактные условия. Ниже, пользуясь этим правилом, выпишем некоторые системы уравнений в моментах многослойных тонких тел, а также рассмотрим межслойные контактные условия приразличных условиях связи соседних поверхностей слоев.4.5.1Системы уравнений движения в моментах контравариантныхсоставляющих тензоров напряжений и моментных напряжений относительно систем полиномов Чебышева многослойныхтонких тел с одним малым размеромОграничимся получением систем уравнений движения приближений (0, N ) и(1, N ) в моментах. Пользуясь указанным выше правилом, искомые системыуравнений на основании (3.3.84) и (3.3.85) представляются соответственно ввиде{(∑N (p)− (k)− )]− [ (k)−(k)−I3III∇I P−gkP+2(k+1)P−P++αααααP{p=k](p)− }N[(k)∑(k)3+ρF= ρ∂t2 u+2(k + 1) 1− (−1)k+p P,ααα}2 (k)(k)(k)P⇒µ +C⊗P + ρm= J ·∂t2 φ ,≃αααααeeααp=kk = 0, N ,αα = 0, K;{ (k)− 1 ( −−)(k)−(k+1)− )((k−1)−IIJJII∇I P+g−g∇P+2P+P−ααα4 α−I α+I J α− )[N (p)−− { − [ (k)−(k)− )](k−1)−(∑1 ( −IJJJIJ−g +3 g −I k PP−Pg+2(k+1)+(k−1)P−− − g+ααααα I αJ4 αJ αJp=kN (p)− )]}(k)−(k+1)−(∑JJJ−4(k + 2)P−(k+3)P+8(k+1)P+ααα+2(k + 1)N[∑(1 − (−1)k+pp=k{}2 (k)(k)(k)P⇒µ +C⊗P + ρm= J ·∂t2 φ ,≃αααααeeα4.5.2k = 0, N ,(4.5.1)(p)−)Pα3]}(4.5.2)p=k(k)(k)+ρF= ρ ∂t2 u,ααααα = 0, K.Системы уравнений движения в моментах контравариантныхсоставляющих тензоров напряжений и моментных напряжений относительно систем полиномов Лежандра многослойныхтонких тел с одним малым размеромВ этом случае ограничимся выводом только систем уравнений движения приближений (0, N ) и (1, N ) в моментах с учетом граничных условий физическогосодержания на лицевых поверхностях, так как системы уравнений без учета граничных условий на лицевых поверхностях, которые можно вывести из (3.3.89)и (3.3.90) соответственно, будут иметь аналогичный (4.5.1) и (4.5.2) вид.
Итак,231в силу (3.3.91) и (3.3.92) искомые уравнения представляются в форме{ (k)−k (p)− ]k [− [ (k)−](p)−3∑∑I3IIk+p∇I P−gP1−(−1)P+−(2k+1)−(2k+1)+ kPαααααIp=0p=0√[√]}α{}2 (k)(k)(k)P⇒µ +C⊗P + ρm= J ·∂t2 φ ,≃αααααeeαk = 0, N ,(k)−− (−)++ (+)g33 P+ (−1)kα+(2k + 1)(k)+ ρF= ρ∂t2 u,ααg33 Pααα(4.5.3)αα = 0, K;{ (k)− 1 −(k) −(k) −(k+1) − )− (kk+1MIPMP)P++−gP+∇P M −∇I P(g∇∇+−P αααM2 αM2k − 1 P α2k + 3 P α(p)−k (p) − ]k− [ − [ (k) −∑∑MM33Pk+pP+−(2k+1)−g−(2k + 1) [1 − (−1) ] P+ g − kPααααP αMp=0−−+(g P− −g P+ )αMαMp=0(k) −−−k (p) − ]][ (k − 1)k (k−1)M∑(k + 1)(k + 2) (k+1)MMMP+kP−P−(2k+1)P+ααα2(2k − 1) α2(2k + 3)p=0√[√]}−− (−)++ (+)g33 P+ (−1)kα+(2k + 1)g33 Pααα{}2 (k)(k)2 (k)P⇒µ +C⊗P+ρm=J·∂φ,t≃αααααeeα(+)(+)(−)(−)αα+1α+1(k)(4.5.4)(k)+ ρF= ρ∂t2 u,αααk = 0, N ,αα = 0, K.Следует заметить, что P( µ ) и P ( µ ) (α = 1, K − 1) являются вектораαми напряжения (моментного напряжения) взаимодействия между слоями α и(+)(+)(−)(+)(−)1Kα + 1, действующими на поверхностях Sα и S соответственно, а P ( µ ) и Pα+11(−)( µ ) – заданными векторами напряжения (моментного напряжения) на лицевыхK(+)(−)поверхностях S и S соответственно.1KЗаметим также, что системы уравнений притока тепла (0, N ) и (1, N ) приближений многослойных тонких тел получаются совершенно аналогично (4.5.1)— (4.5.4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
