Диссертация (786091), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Отметим также, что материал этой главы изложен в[304, 306].2114Глава. Применение метода ортогональных полиномов в теориимногослойных тонких конструкций4.1 Параметризация многослойной тонкой области трехмерного евклидова пространства с несколькими базовыми поверхностямиРассмотрим многослойную тонкую область евклидова пространства, состоящуюиз не более чем счетного числа слоев.
Пусть, слои пронумерованы по возрастанию, т. е., если, например, α — номер какого-нибудь слоя, то номером предыдущего слоя будет α − 1, а номером последующего — α + 1. Каждый слой имеетдве лицевые поверхности. Лицевую поверхность слоя α, находящуюся со стороны предыдущего слоя α − 1, назовем внутренней базовой поверхностью и(−)обозначим через Sα , а лицевую поверхность слоя α, находящуюся со стороныпоследующего слоя α + 1, назовем внешней базовой поверхностью и обозна(+)чим через Sα . Считаем, что лицевые поверхности каждого слоя — регулярныеповерхности и в случае ограниченного незамкнутого слоя боковая поверхностьявляется линейчатой поверхностью.4.1.1Векторное параметрическое уравнение слоя α и система векторных параметрических уравнений многослойной тонкой областиРадиус-вектор произвольной точки Mслоя α представляется в видеα(−)(−)(+)rα(x1 , x2 , x3 ) = rα (x1 , x2 ) + x3 h(x1 , x2 ) = (1 − x3 ) rα (x1 , x2 ) + x3 rα (x1 , x2 ),α(4.1.1)∀ α ∈ N, ∀ x3 ∈ [0, 1],где векторные соотношения(−)(−)(+)(+)rα = rα (x1 , x2 ), rα = rα (x1 , x2 ), ∀α(4.1.2)(−)(+)являются векторными уравнениями базовых поверхностей Sα и Sα соответственно, x1 , x2 — криволинейные (гауссовы) координаты на внутренней базовой по(−)верхности Sα , а N — множество натуральных чисел.Вектор(+)(−)h(x1 , x2 ) = rα (x1 , x2 ) − rα (x1 , x2 ), ∀α,α(4.1.3)(−)топологически отображающий внутреннюю базовую поверхность Sα на внеш(+)нюю Sα , вообще говоря, не является перпендикулярным к базовым поверхностям.
Причем конец каждого h(x1 , x2 ) является началом h (x1 , x2 ), ∀α, т. е.αα+1212имеет место соотношениеα+δ∑(+)12h=r(x,x)+h=νανν=αν=α+1[]α+δ∑(−)(+)(−)= rα (x1 , x2 ) +rν (x1 , x2 ) − rν (x1 , x2 ) =ν=α[]α+δ∑(+)(+)(−)= rα (x1 , x2 ) +rν (x1 , x2 ) − rν (x1 , x2 ) , ∀ α, δ.(+)(−)r (x1 , x2 ) = rα (x1 , x2 ) +α+δα+δ∑(4.1.4)ν=α+1Легко усмотреть, что из (4.1.1) следует (4.1.3), но не следует (4.1.4).Пусть многослойная область состоит из K слоев. Тогда, вводя обозначениеh=K∑ν=1h=ν[K∑]rν (x , x ) − rν (x , x ) ,(+)ν=11(−)212(4.1.5)будем иметь(+)(−)(−)K11r (x1 , x2 ) = r (x1 , x2 )+h(x1 , x2 ) = r (x1 , x2 )+K∑ν=1[](+)(−)rν (x1 , x2 )− rν (x1 , x2 ) .(4.1.6)Следует заметить, что (4.1.1) при фиксированном α — векторное параметрическое уравнение слоя α, а при изменении α нужное число раз и соблюденииусловий (4.1.4) представляет систему векторных параметрических уравнениймногослойной тонкой области.Нетрудно видеть, что (4.1.1) при ∀ x1 , x2 и x3 = 0 определяет внутреннюю(−)базовую поверхность Sα слоя α, при ∀ x1 , x2 и x3 = 1 — внешнюю базовую(+)поверхность Sα , а при ∀ x1 , x2 и x3 = const, где x3 ∈ (0, 1) — эквидистантную от(−)(+)базовых поверхностей Sα и Sα поверхность, обозначаемая через Sα .4.1.2Двухмерные семейства реперов (базисов) и порожденные имисемейства параметризаций поверхности слоя α(⋆)(⋆)Для производных от соотношений (4.1.1) и (4.1.2) по xP в точках ∀ M∈ Sα ,α⋆ ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, введем соответственно обозначения(⋆)(⋆)rαP ≡ ∂P rα ≡ ∂P rα/∂xP , rα ⋆ ≡ ∂P rα ≡ ∂ rα /∂xP , ⋆ ∈ {−, +}, ∀ αP(4.1.7)(⋆)(⋆)Двойки векторов rα ⋆ rα ⋆ , ⋆ ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, определенные в точках M∈ Sα ,α12⋆ ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, следовательно, образуют двумерные ковариантные поверх(⋆)r ⋆ r ⋆ , ⋆ ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, — двумерные ковариантные поностные базисы, а Mα α1 α2верхностные реперы, порождающие в свою очередь соответствующие им параметризации рассматриваемых поверхностей.
По этим реперам (базисам), как213известно [68,210,337], можно построить соответствующие им контравариантные(⋆)⋆⋆12реперы Mr rα α α⋆⋆12(базисы rα rα ), ⋆ ∈ {−, ∅, +}, ∀ α. Естественно, ковариантныеи контравариантные базисы порождают свойственные порожденным порождающими реперами параметризациям геометрические характеристики.(⋆)Определяя в каждой в точке поверхностей Sα , ⋆ ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, реперы(базисы), получим соответствующие семейства (множества) реперов (базисов),порождающие в свою очередь соответствующие им параметризации.4.1.3Трехмерные семейства реперов (базисов) и порожденные имисемейства параметризации области слоя αУчитывая в первом соотношении (4.1.7) выражение радиус-вектора r (4.1.1) ивводя обозначение h≡ ∂h/∂xP ≡ ∂P h, получимαPα= (1 − x3 )rα − + x3 rα + , ∀ α.rαP = rα − + x3 hαPPP(4.1.8)PТеперь дифференцируя (4.1.1) по x3 , как легко убеждаемся, имеемrα3 ≡ ∂3 rα ≡ ∂rα/∂x3 = h(x1 , x2 ), ∀ x3 ∈ [0, 1], ∀ α.α(4.1.9)На основании (4.1.9) можно принять, чтоrα− ≡ rα3 ≡ rα+ ≡ ∂3 rα = h(x1 , x2 ), ∀ x3 ∈ [0, 1], ∀ α.α33(⋆)(4.1.10)(⋆)Соотношение (4.1.10) дает возможность в точках M∈ Sα , ⋆ ∈ {−, +}, ∀ α,αопределить пространственные ковариантные базисы rαp⋆ , ⋆ ∈ {−, +}, ∀ α, соответственно.
Таким образом, третий базисный вектор пространственных ковари(⋆)(⋆)антных базисов в точках M∈ Sα , ⋆ ∈ {−, ∅, +}, для каждого слоя α — один иα(x1 , x2 ).тот же вектор hαВвиду (4.1.10) соотношения (4.1.8) и (4.1.9) можно объединить и представитьв виде= (1 − x3 )rα−p + x3 rα+p , ∀ α.rαp = rα−p + x3 hαp(4.1.11)Тройки векторов rα ⋆ rα ⋆ rα ⋆ , ⋆ ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, определенные в рассматри1(⋆)23(⋆)ваемых точках M∈ Sα , ⋆ ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, следовательно, образуют трехмерα(⋆)ные ковариантные пространственные базисы, а Mr ⋆ r ⋆ r ⋆ , ⋆ ∈ {−, ∅, +}, ∀ αα α1 α2 α3— трехмерные ковариантные пространственные реперы, порождающие в своюочередь соответствующие им параметризации.
По этим реперам (базисам), как214известно [68, 210, 337], можно построить соответствующие им контравариант(⋆)⋆⋆⋆⋆⋆12123ные реперы Mr r r ⋆ (базисы rα rα rα ), ⋆ ∈ {−, ∅, +}, ∀ α. В самом деле, наα α α α3основании их определения [68, 210, 337] имеем1 (∼)k̃p̃q̃C r ×r ,2 α αp̃ αq̃rαk̃ =∈ {−, ∅, +}, ∀ α,∼(4.1.12)(∼)k̃ p̃q̃где C= (rαk̃ × rαp̃ ) · rαq̃ — контравариантные компоненты дискриминантногоα(∼)(∼)тензора [68] в рассматриваемых точках M∈ Sα слоя α соответственно (∼ ∈α{−, ∅, +}, ∀ α).Легко усмотреть, что (4.1.11) коротко представится в виде⋆⋆rαp = g pq rαq⋆ = g pq⋆ rα q , ⋆ ∈ {−, +}, ∀ α,α(4.1.13)αгде введены обозначенияgα p̆q̃= rαp̆ · rαq̃ , g p̆q̃ = rαp̆ · rα q̃ ,α`∈ {−, ∅ +},∼∈ {−, +}, ∀ α.(4.1.14)На основании (4.1.11) и (4.1.14) для g pq̃ и g pq̃ имеемααg pq̆ = rαp · rαq̆ = (1 − x3 )g −p q̆ + x3 g +p q̆ ,αg pq̆ααα= rαp · rα = (1 − x )g − + x g + ,q̆3q̆3 q̆αpαp`(4.1.15)∈ {−, +}, ∀ α.Нетрудно получить выражения и для g pq .
В самом деле, на основании (4.1.13)αи (4.1.15) имеем⋆g pq = rαp · rαq = g pn⋆ g qn = (1 − x3 )2 g −p −q + x3 (1 − x3 )(g −p +q + g +p −q ) + (x3 )2 g +p +q ,ααααααα(4.1.16)⋆ ∈ {−, +}, ∀ α.Найдем выражения дляполучаем√√11g = ϵIJ (rαI × rαJ ) · rα3 =α22∼ ∈ {−, +}, ∀ α,g = (rα1 × rα2 ) · rα3 . В силу первого равенства (8a12)α√√(∼)gϵIJαϵKL g IK̃ g JL̃α α=√(∼)g det(g pq̃ )ααгде ϵIJ , ϵKL — символы Леви-Чивиты, а√√(∼)g = (rα1̃ × rα2̃ ) · rα3̃ ,α∼∈ {−, +},√ g = g√(−)α=α x3 =0,(+)g =α(∼)g det(g PQ̃ ),αα√ gα x3 =1(4.1.17), ∀ α.Из (4.1.17) в свою очередь имеем√1(∼)ϑ≡ g g −1 = ϵIJ ϵKL g IK̃ g JL̃ = det(g PQ̃ ),αα αα αα2(∼)∼∈ {−, +}, ∀ α,(4.1.18)215Следует заметить, что аналогично (4.1.17) для более общего случая имеем√111g = ϵIJ (rαI˜ × rαJ˜) · rα3 = ϵIJ g ˜K̆ g L̆˜ (rα × rα ) · rα3 =L̆α22 αI αJ K̆2√√(`)(∼)= g det(g Q̆ ) =g det(g p̃q̆ ), ∼ ∈ {−, ∅, +}, ∀ α.(∼)αα P̃α√(`)g ϵIJ ϵKL g ˜K̆ g L̆˜ =αI αJααИтак,√√1g=α2(∼)√(`)g ϵIJ ϵKL g ˜K̆ g L̆˜ =αI αJα√(`)Q̆g det(g ) =αα P̃(∼)∼, `∈ {−, ∅, +}, ∀ α.(4.1.19)`, ∼∈ {−, ∅, +}, ∀ α.(4.1.20)g det(g p̃q̆ ),ααОтсюда нетрудно заметить, что`)(∼ϑ≡α√1g g −1 = ϵIJ ϵKL g I˜K̆ g JL̆˜ = det(g Q̆ ) = det(g p̃q̆ ),α αα αα P̃α2(∼)(`)Легко усмотреть, что при ∼ = ∅, ` ∈ {−, +} из (4.1.19) получаем (4.1.17), аиз (4.1.20) — (4.1.18).
Кроме того, из (4.1.20) имеем`)(∼(∼`)−1ϑ= ϑ, `, ∼ ∈ {−, +}, ∀ α;αα(≈)ϑ= 1,α∼∈ {−, +}, ∀ α.(4.1.21)С помощью (4.1.20) соотношения (4.1.18) можно записать в виде√(−)ϑ=α−(=)(−)(∓)g g −1 = (1 − x3 )2 ϑ+ x3 (1 − x3 )g +I + (x3 )2 ϑ,ααα ααI(+)√++(±)(+)−13 233 I3 2+ x (1 − x )g − + (x ) ϑ, ∀ α.ϑ= g g = (1 − x ) ϑααα(4.1.22)(+)α ααIНе представляет большого труда выражать rαk , ∀ α через векторы rαm̃ или rαm̃ ,∈ {−, +}, ∀ α.
В самом деле, учитывая первое равенство (4.1.13), из (4.1.12)при ∼ = ∅ получим∼1 (∼)−1 kpq1 kpq m̃ ñ1 kpqñ l̃=×rr×r=Cggrϑ ϵ ϵlmn g m̃rαk = Cpqpqp gq r ,ñm̃ααα α α2α α2α α α α2α∼∈ {−, +}, ∀ α.Таким образом,rα k =1 (∼)−1 kpqñ l̃ϑϵ ϵlmn g m̃,p gq rαα α α2∼∈ {−, +}, ∀ α.(4.1.23)где ϵkpq , ϵlmn — символы Леви-Чивиты.В силу (4.1.23) можно вводить обозначения1 (∼)−1 kpqñϑ ϵ ϵlmn g m̃p gq ,α αα2α1 (∼)−1 kpqñ s̃l̃g kl̃ = rαk · rαl̃ = ϑϵ ϵsmn g m̃p gq g ,αα α α2αg kl̃ = rαk · rαl̃ =(4.1.24)∼∈ {−, +}, ∀ α,216с помощью которых соотношение (4.1.23) представится в искомом видеrαp = g pq̃ rαq̃ = g pq̃ rαq̃ ,αα∼∈ {−, +}, ∀ α.(4.1.25)Легко усмотреть, что из первого соотношения (4.1.24) имеем(∼)gKα K̃=−1 I˜ϑgI ,αα⇒(∼`)`)(∼−1 I= ϑg˘ = ϑgI ,αα ˘g K̆α K̃˜αI˜αI∼∈ {−, +}, ∀ α,(4.1.26)Заметим, что при написании второго соотношения (4.1.26) были учтены (4.1.20)и (4.1.21).Введем в рассмотрение еще следующие объекты (матрицы):g p̆· q̃· = rαp̆ · rq̃ ,`, ∼βαβ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β(4.1.27)и объекты, получаемые из (4.1.27) жонглированием индексами.
Нетрудно подсчитать, что число таких объектов при фиксированных α и β равно 36.Легко усмотреть, что при α = β (4.1.27) содержит (4.1.14), (4.1.16) и (4.1.24).В самом деле, из (4.1.27) имеемg q̃p̆ = g p̆· q̃· = rαp̆ · rαq̃ ,ααα`, ∼∈ {−, ∅, +}, ∀ α(4.1.28)и, жонглируя индексами, очевидно, получим рассмотренные выше объекты иеще g pq = rαp · rαq , ∀ α, т. е. и в этом случае число введенных величин равно 36.αНетрудно заметить, что на основании (4.1.27) и (4.1.28) связи между различными семействами базисов представляются в видеrαp̃ = g n̆p̃ rαn̆ = g p̃· n̆· rn̆ ,αβαβ`, ∼∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β,(4.1.29)сохраняющие силу при жонглировании немыми и свободными индексами.В силу (4.1.29) легко показать, что имеет место соотношения⋆g p̃· q̆· = g p̃· n· g ⋆· q̆ ,αβ`, ∼,δβ n ·αδ⋆ ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, β, δ.(4.1.30)Дифференцируя (4.1.4)–(4.1.6) по xI и учитывая (4.1.29), получимr+α+β I= rα− +Iα+β∑[ν=α∂I h(x1 , x2 ) =N∑ν=1α+β−]−−]∑ [ −kg + − g −k rν − ,g +k − g −k rν − = rα+ +νIνIIk∂I h(x1 , x2 ) =νN∑[ν=1=ν=α+1νIνIk]rν + (x1 , x2 ) − rν − (x1 , x2 ) =IN∑ν=1I[ −]−g +k (x1 , x2 ) − g −k (x1 , x2 ) rν − (x1 , x2 ),νIνI]−N [ −∑1212k12k12r + (x , x ) = r− (x , x ) +g + (x , x ) − g − (x , x ) rν − (x1 , x2 ).NI1Iν=1νIνIkk(4.1.31)217Естественно, построенные выше пространственные ковариантные и контравариантные базисы порождают свойственные порожденным порождающимиреперами параметризациям геометрические характеристики.(⋆)Определяя в каждой точке поверхностей Sα , ⋆ ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, пространственные реперы (базисы), получим соответствующие семейства пространственных реперов (базисов), порождающие в свою очередь соответствующие им семейства параметризаций.(∼)Отметим еще раз, что структура построенных выше нами Sα (∼) -семействgαреперов (базисов), ∼ ∈ {−, ∅, +}, ∀ α, такова, что третьи базисные векторыrα3̃ = h(x1 , x2 ), ∼ ∈ {−, ∅, +}, ∀ α в общем случае не являются перпендикулярα(∼)ным к соответствующим базовым поверхностям Sα ,∼∈ {−, ∅, +}, ∀ α.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
