Диссертация (786091), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Поэтому с целью сокращения письма на этом останавливаться не будем. Однако, в дальнейшем их будем считать известными.4.5.3Системы уравнений в моментах вектора перемещений относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева многослойных тонких тел с одним малым размеромВ данном случае получим системы уравнений нулевого и первого приближенийв моментах вектора перемещений. Система уравнений нулевого приближенияполучится указанным выше правилом из (3.3.67). В самом деле, будем иметь−−(k)−−−−−−(k)(k)′′′C I ·J · · ∇I ∇J u+ (C 3· I · + C I · 3· ) · ∇I u+ C 3· 3· · u−αααααααeeee−(k)− (k)(k)′∇I ϑ+bϑ ) + ρF=−(bαα αααI3α(k),ρ ∂t2 uαα(4.5.5)k ∈ N0 ,α = 0, K.232Учитывая формулы моментов k-го порядка первых (2.2.5), (2.7.10) и вторыхпроизводных (2.2.7), (2.7.12) вектора (компонент вектора, скалярной функции)относительно этих систем полиномов (см.
также (2.7.14), (2.8.13), (2.8.14)), из(4.5.5) получим искомые системы уравнений нулевого приближения в моментах.С целью сокращения письма выписывать их не будем.Аналогично (4.5.5) систему уравнений первого приближения можно вывестиуказанным выше правилом из (3.3.69). Нетрудно видеть, что получим−−−(k) ((k)− −)]}[ P− Q{ − −(k)PQ3 23∇∇M(x)u+∇∇M(xu)+B+BCM ·N · · g P− g Q− ∇P ∇Q u+ + P Q+ + P QααααM αN(2α)M N(1α)M Nαe(k)−−− −−−− −][ − (k)′(k)′ 33· 3·′′PP)∇M(xu)+C·u+−g+(g+(C 3·M · + CM · 3· ) · g P− ∇P u+−PααααααααMMMeee(4.5.6)(k)(k)(k)−−−[ −− (k)](k)P33′2PMP−bg− ∇P ϑ + (g − − g + )∇P M(x ϑ) − b ϑ ) + ρ F = ρ ∂t u , k ∈ N0 , α = 0, K,ααα αααααMαMααMαгде введены следующие обозначения:−−BPQ+ +(1α)M N−AP+(1α)M−−−−−−−−= (g P− − g P+ )g Q− + g P− (g Q− − g Q+ ),αM−αM αN−= g P− − g P+ ,αMαMαM αN−AP+(2α)MBαNPQ+ +−= A(2α)M N−−−−αNαNαMαM−Q+ g− + AP(2α)M α N−−P+AQ+(1α)M (1α)N−−+ g P− A Q+ ,α M (2α)N= (g P− − g P+ )(g N− − g N+ ).Следовательно, учитывая (2.2.8), (2.2.11) при i = j = 3, первые два соотношения (3.3.20) и (3.3.21), из (3.3.69) получим различные представленияуравнений движения первого приближения в моментах вектора перемещенийотносительно системы полиномов Лежандра.
Совершенно аналогично на основании (2.7.27) при s = 1 и s = 2, (2.7.11), (2.7.13) и (2.7.29) при s = 1 из (3.3.69)можно получить искомые уравнения движения в моментах вектора перемещений относительно системы полиномов Чебышева второго рода. Не представляеттруда выводить также уравнения движения первого приближения в моментахвектора перемещений относительно системы полиномов Чебышева первого рода. С целью сокращения письма выписать упомянутых в этом абзаце уравненийв моментах не будем.Следует заметить, что для замыкания систем (4.5.1) — (4.5.4) необходимок ним прибавить системы уравнений притока тепла, ОС, граничные, начальные условия физических и тепловых содержаний в моментах соответствующихприближений, а также межслойные контактные условия в зависимости от характера связей соседних (контактирующих) слоев.
Следовательно, для замыкания систем (4.5.5) и (4.5.6) надо к ним добавить все указанные в предыдущемпредложении соотношения за исключением ОС. Конечно, выписать упомянутыевыше недостающие соотношения не представляет труда. В связи с чем кромемежслойных контактных условий выписать их не будем.2334.5.4Межслойные контактные условияПри исследовании напряженно-деформированного состояния многослойных конструкций и композитных сред предполагается, как правило, что составляющиеслои (элементы, фазы) работают совместно, без проскальзывания.
Очевидно,такая модель не охватывает разнообразия способов соединений, используемыхв технике, не учитывает наличия межфазных дефектов, появляющихся в несовершенной связи контактирующих фаз. Дефекты такого типа часто оказываются неизбежными ввиду особенностей технологического характера [41, 185, 362].Итак, деформирование многослойных тонких тел может происходить безнарушения или с нарушением полного контакта слоев за счет отрыва другот друга в нормальном или касательном направлениях. Между слоями могутвозникать области контакта и области, свободные от контакта.
При этом границы этих областей могут меняться в процессе деформирования. Слои могутскользить друг относительно друга. Скольжение может сопровождаться трением и т.д. Все эти явления на лицевых поверхностях слоев в значительнойстепени могут влиять на механическое поведение тонкого тела, его напряженнодеформированное состояние. Следовательно, учет этих явлении при изучениинапряженно-деформированного состояния многослойных тонких тел необходим.
Использование лицевых поверхностей в качестве базовых при параметризации области многослойного тонкого тела позволяет легко учесть эти явления,чем при других параметризациях.При рассмотрении явлений, происходящих на лицевых поверхностях слоевпервостепенным является вопрос о моделировании поверхности раздела.
В данном направлении наметились два подхода. Первый — физический, связанныйс учетом тонких адгезионных прослоек посредством обобщенных условий спаяконтактирующих элементов. Впервые такой подход предложен для задач теплопроводности в работе [351]. В дальнейшем он был обобщен на задачи механики[355]. Второй — феноменологический основан на постулировании существования априори зон разрыва перемещений.С целью изучения этих вопросов предположим, что многослойная тонкая(+)(−)конструкция, состоит из K слоев.
Обозначим через Sα и Sα (α = 1, K) внешнююи внутреннюю поверхности слоя α (α = 1, K) соответственно и рассмотримнесколько с точки зрения практики важных случаев взаимоотношения соседних(+)(−)поверхностей Sα и S (α = 1, K − 1).α+14.5.5Условия спаянности (полного, идеального контакта)В этом случае неизвестными являются силы и моменты взаимодействия междуслоями α и α + 1 (α = 1, K − 1). Эти силы и моменты, конечно, равны по величине и противоположно направлены. Итак, дополнительно появляются шестьнеизвестных функций. Однако, в рассматриваемом случае имеем и шесть дополнительных условий, выражающих непрерывность векторов перемещений и234вращения точек спаянных поверхностей.
Другими словами, векторы перемещений и вращений точек контактирующих поверхностей равны соответственно.Обозначая силы и моменты взаимодействия контактирующих поверхностей(+)(+)(−)(−)(+)(−)Sα и S (α = 1, K − 1) через P, µ и P , µ (α = 1, K − 1) соответственно, аαα+1α+1 α+1α(+) (+)(−)(−)векторы перемещений и вращений точек этих поверхностей через u,φ и u, φααα+1 α+1(α = 1, K − 1), условия полного контакта в моментной теории многослойныхтонких тел можно представить в виде(+)(−)P=−P,αα+1(+)(−)αα+1(−)(+)(−)α+1αα+1(+)µ =−µ ,u= u,αφ = φ ,α = 1, K − 1.(4.5.7)Пренебрегая в (4.5.7) характеристиками моментной теории (вторым и четвертым соотношениями), получим условия идеального контакта для классической теории (первое и третье соотношения).4.5.6Условия при относительном перемещений точек контактирующих поверхностей слоевКак было сказано выше, в процессе деформирования многослойной конструк(+)(−)ции возможны относительные перемещения точек поверхностей Sα и S с одиα+112наковыми гауссовыми координатами (x , x ).
Рассмотрим различные варианты.Прежде всего заметим, что существуют ограниченные предельные интенсивности сил сцепления α и α + 1 (α = 1, K − 1) слоев в нормальном и касательномнаправлениях. Обозначим нормальную и касательную составляющие предельной силы, с которой слой α действует на слой α + 1 через(−)(−)(−)∗(x1 , x2 ) n ,(n)α+1α+1P ∗(n) = Pα+1(−)(−)(−)(−)∗(x1 , x2 , s ) s ,(s)α+1 α+1α+1P ∗(s) = Pα+1(−)(−)α+1α+1α = 1, K − 1(4.5.8)соответственно. Здесь, конечно, n и s — единичные векторы внешней норма(−)ли и касательной к поверхности S . Заметим, что во втором равенстве (4.5.8)α+1предусмотрена возможность зависимости предельной касательной силы, препятствующей взаимному проскальзыванию слоев, от направления в касательной плоскости (анизотропия предельной касательной силы).4.5.6.1Условия при относительном перемещений точек идеальных(гладких) контактирующих поверхностей слоевВ этом случае в процессе деформирования многослойного тонкого тела можетпроисходить свободное скольжение слоев друг относительно друга.
Принятаяпараметризация и в рассматриваемом случае оставляет все соотношения теориитонких тел справедливыми, изменяются только искомые и заданные функции.235При спаянности слоев, очевидно, имеют место равенства◦(+)(+)(+)◦(+)11(+)2rα (x , x ) = r (x , x ),◦(+)(−)1(−)21(+)2(−)α = 1, K − 1,rα (x , x ) = r (x , x ) ( u= u ),αα+1(+)(−)rα (x1 , x2 ) = rα (x1 , x2 ) + u(x1 , x2 ), α = 1, K,α(4.5.9)◦(−)2◦(−)(−)rα (x1 , x2 ) = rα (x1 , x2 ) + u(x1 , x2 ),αα+1α+1◦(−)(+)◦(+)(−)◦(−)где rα ( rα ) и rα ( rα ) — радиусы-векторы точек поверхностей Sα ( Sα ) и Sα ( Sα ) соответственно в деформированном (недеформированном) состоянии многослойного тонкого тела. Нетрудно заметить, что в данном случае (при проскальзыванииабсолютно гладких контактирующих поверхностей) вместо (4.5.9) будем иметьсоотношения(+)1◦(+)21(+)21(−)2◦(+)◦(−)◦(−)(+)2(−)rα (x , x ) = rα (x1 , x2 ) + u(x1 , x2 ), α = 1, K,αrα (x , x ) = rα (x , x ) + u(x , x ),α1(−)(+)(−)rα (x1 , x2 ) ̸= r (x1 , x2 ) ( u(x1 , x2 ) ̸= u (x1 , x2 )),αrα (x1 , x2 ) = r (x1 , x2 ),α+1α+1(−)(+)v(x1 , x2 ) = u (x1 , x2 ) − u(x1 , x2 ),αα(4.5.10)α+1α = 1, K − 1,α+1Очевидно, v(x1 , x2 ) — вектор относительного перемещения соответствующихα(+)(−)точек контактирующих поверхностей Sα и Sα (α = 1, K − 1), являющийся неизвестным в рассматриваемом случае.Отсутствие трения между слоями позволяет написать следующие дополнительные соотношения(−)(+)u= u (n) (v (n) = 0),(n)α+1ααα = 1, K − 1,(+)(−)′(+)(−)P (s) = 0,P (s) = 0,α(+)(+)ααα+1(+)(−)αα+1P (n) = − P (n) ,(4.5.11)x ∈ S ⊂ S,0(+)(−)где P( P (s) ) и P( P (n) ) — касательная и нормальная составляющиеα (s)α (n)α+1α+1(+)(−)( P ), т.е.вектора напряжения (интенсивности силы взаимодействия) Pαα+1(+)(+)(+)P=P+P,αα (s)α (n)(−)(−)(−)α = 1, K − 1.P = P (s) + P (n) ,α+1α+1α+1Нетрудно усмотреть, что на основании (4.5.11) будем иметь следующие соотношения:(+)(−)u(n)α+1(+)(+)= u (n) (v (n) = 0),αα(+)(+)(−)(−)(−)(−)(+)(+)(+)n · P ( u , ϑ ) · s = 0, n · P (u, ϑ) · s = 0,α+1 α+1ααα α αe α+1 α+1 α+1e(+)n · P (u, ϑ) · n = n · P ( u , ϑ ) · n ,ααα α+1α α αee α+1 α+1 αα = 1, K − 1,′(+)(+)(4.5.12)x ∈ S ⊂ S.α0αСоотношения (4.5.12) в рассматриваемом случае замыкают систему уравненийклассической теории многослойных тонких тел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
