Диссертация (786091), страница 51

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 51)

С этой целью умножимпервое из уравнений движения (5.1.3) на некоторый вектор w, а второе — навектор ψ . Затем интегрируем полученные соотношения по объему V , применяяпри этом формулу2∇ · (Q · a) = ∇ · Q · a + Q ⊗ ∇a,eee∀ Q, ae(5.1.8)и теорему Остроградского–Гаусса. Тогда в результате найдем следующие интегральные тождества:∫∫2n · P · wdV − P ⊗ ∇wdV ,eVVΣV e∫∫∫∫22ω · J · ψ dV = ρm · ψ dΣ + n · µ · ψ dV − (µµ ⊗ ∇ψψ−P⊗Cω̇· ψ )dV.ee ≃VVΣV eeρv̇ · wdV =∫ρF · wdV +∫(5.1.9)Складывая почленно соотношения (5.1.9), получим∫V∫∫ω · J · ψ )dV = ρ(F · w + m · ψ )dV + (P(n) · w + µ (n) · ψ )dΣ−(ρv̇ · w + ω̇eVΣ∫22ψ ]dV.− [P ⊗ (∇w − C· ψ ) + µ ⊗ ∇ψ≃V ee(5.1.10)Полагая, что w = v и ψ = ω , из (5.1.10) получим теорему живых сил (ТЖС)в виде∫d ∫ v2 1(ρ + ω · J · ω )dV = (ρF · v + ρm · ω )dV +dt V22eV∫∫22κ )dV,+ (P(n) · v + µ (n) · ω )dΣ − (P ⊗ γ̇γ + µ ⊗ κ̇ΣV ee e e(5.1.11)κ = ∇ωω.где γ̇γ = ∇v − C· ω , κ̇≃eВводяобозначения:e∫ v2 1E = (ρ + ω · J · ω )dV22eV(e)(5.1.12)(e)для кинетической энергии, δA(e) = δA1 + δA2 — для изменения работы внешних сил и моментов, состоящей из сумм изменений работ внешних массовых сили моментов∫(e)φ)dVδA1 = (ρF · du + ρm · dφV(5.1.13)242и внешних поверхностных сил и моментов∫(e)φ)dΣ,δA2 = (P(n) · du + µ (n) · dφ(5.1.14)Σа также∫22κ )dVδA(i) = − (P ⊗ dγγ + µ ⊗ dκeV ee e(5.1.15)для изменения работы внутренних сил и моментов, ТСЖ (5.1.10) можно записать в краткой формеdE = δA(e) + δA(i)(5.1.16)Теперь допустим, что w = u, ψ = φ .

Тогда, если используем граничныеусловия (5.1.1) и (5.1.4), из (5.1.10) будем иметь∫V∫∫ω · J · φ )dV = ρ(F · u + m · φ )dV + (P0 · u + µ 0 · φ )dΣ+(ρv̇ · u + ω̇eVΣ2∫∫22+ n · (P · u0 + µ · φ0 )dΣ − (P ⊗ γ + µ ⊗ κ )dV.eΣ1V eee e e(5.1.17)Далее предположим, что массовые и поверхностные силы и моменты, фигурирующие в (5.1.17) обладают потенциалом (или не зависят от векторов перемещений и вращений). Тогда первые два слагаемых в правой части (5.1.17)представляют собой работу внешних сил и моментов на перемещении u и вращении φ∫∫(e)(e)(e)(e)A(e) ≡ A1 + A2 , A1 ≡ (ρF · u + ρm · φ )dV, A2 ≡ (P0 · u + µ 0 · φ )dΣ.VΣ2(5.1.18)Третье слагаемое называется работой поверхностных сил и моментов на заданных перемещении u0 и вращении φ 0(i)AΣ1 ≡∫Σ1n · (P · u0 + µ · φ 0 )dΣ.ee(5.1.19)Последнее слагаемое в правой части (5.1.17) представляет собой работу внутренних сил и моментов∫22A(i) ≡ − (P ⊗ γ + µ ⊗ κ )dV,V ee e e(5.1.20)а интеграл в левой части — работа сил Д’Аламбера (или инерционных сил имоментов)∫ω · J · φ )dV .AE ≡ (ρv̇ · u + ω̇eV(5.1.21)Теперь допустим, что векторы w и φ , фигурирующие в (5.1.10), удовлетворяют условиямw|Σ1 = u0 ,ψ |Σ1 = φ 0 .(5.1.22)В частности, u0 и φ 0 могут быть равными нулю.

Тогда нетрудно видеть, чтосоотношение (5.1.10) с учетом (5.1.4) и (5.1.22) можно записать в форме∫V22ψ )]dV =[P(u, φ ) ⊗ γ (w, ψ ) + µ (u, φ ) ⊗ κ (ψeeee∫= [ρ(F − ü) · w + (ρm − J · ω ) · ψ ]dV +eV∫∫+ n · (P · u0 + µ · φ 0 )dΣ + (P0 · w + µ 0 · ψ )dΣ.eΣ1Σ2e(5.1.23)243Отсюда без учета инерциальных членов получаем∫V∫22ψ )]dV = (ρF · w + ρm · ψ )dV +[P(u, φ ) ⊗ γ (w, ψ ) + µ (u, φ ) ⊗ κ (ψeVee∫ e∫+ n · (P · u0 + µ · φ 0 )dΣ + (P0 · w + µ 0 · ψ )dΣ,eΣ1Σ2e(5.1.24)а если при этом кинематические граничные условия представляются в видеu|Σ1 = 0,φ |Σ1 = 0,(5.1.25)т.е.

u0 = 0, φ0 = 0, то из (5.1.24) имеем∫V22ψ )]dV =[P(u, φ ) ⊗ γ (w, ψ ) + µ (u, φ ) ⊗ κ (ψeee∫ e∫= (ρF · w + ρm · ψ )dV + (P0 · w + µ 0 · ψ )dΣ.V(5.1.26)Σ2Заметим, что в соотношениях (5.1.23), (5.1.24) и (5.1.26), конечно, γ (w, ψ ) =eψ ) = ∇ψψ.∇w − C· ψ , κ (ψ≃eПредположим,что операторы F̌ и Ǧ потенциальные, т.е. существует потенe e которого тензоры напряжений и моциал деформации W̌ (γγ , κ ), посредствомe eментных напряжений определяютсяформулами (5.1.7). Тогда, пользуясь определением дифференциала оператора и функциональной производной [338], легко видеть, что будем иметьφ), γ (w, ψ ), κ (ψψ )) ≡ DW̌ (u, φ , w, ψ ) =DW̌ (γγ (u, φ ), κ (φee22eeψ ).= P(u, φ ) ⊗ γ (w, ψ ) + µ (u, φ ) ⊗ κ (ψeeee(5.1.27)Определяя оператор потенциальной энергии тензоров деформаций и изгибакручения Π̌(γγ , κ ) по формулеe e∫φ)) ≡ W̌ (γγ (u, φ ), κ (φφ))dV,Π̌(γγ (u, φ ), κ (φeeVee(5.1.28)соотношение (5.1.26) в силу (5.1.27) и (5.1.28) можно представить в краткойформеDΠ̌(u, φ , w, ψ ) − A(e) (w, ψ ) = 0.(5.1.29)Нетрудно видеть, что в рассматриваемом случае из (5.1.23) (с учетом инерциальных членов) вместо (5.1.29) будем иметьDΠ̌(u, φ, w, ψ ) − A(e) (w, ψ ) + AE (w, ψ ) = 0.(5.1.30)Заметим, что в формулах (5.1.29) и (5.1.30) введены следующие обозначения:∫∫A(e) (w, ψ ) = (ρF · w + ρm · ψ )dV + (P0 · w + µ 0 · ψ )dΣ,Σ2∫Vω · J · ψ )dV.AE (w, ψ ) = (ρv̇ · w + ω̇eV(5.1.31)Учитывая (5.1.5) и (5.1.6), из уравнений (5.1.3) получим уравнения равновесия и движения, представленные в векторах перемещений и вращений, которыесимволически запишем следующим образом:∇·P(u, φ ) + ρF = 0,e2µ(u, φ ) + C∇·µ⊗ P(u, φ ) + ρm = 0,≃e(5.1.32)244dv∇·P(u, φ ) + ρF = ρ ,dte2ωdωµ(u, φ ) + C∇·µ⊗ P(u, φ ) + ρm = J · .≃e dte(5.1.33)Видно, что с каждой задачей (5.1.32), (5.1.25) и (5.1.4) связано равенство(5.1.26) или (5.1.29) для произвольных дифференцируемых векторных полей wи ψ , удовлетворяющих условиямw|Σ1 = 0,ψ |Σ1 = 0.(5.1.34)Следует заметить, что в уравнения (5.1.32) входят вторые производные покоординатам векторов u и φ , поэтому решение задачи (5.1.32), (5.1.25) и (5.1.4)должно быть по крайней мере дважды дифференцируемым.

Следовательно,можно отказаться от этого требования и понимать решение задачи (5.1.32),(5.1.25) и (5.1.4) в обобщенном смысле. В этой связи целесообразно ввести определение.Определение 5.1.5. Векторные поля u и φ называются обобщенными решениями задачи (5.1.32), (5.1.25) и (5.1.4), если для всяких дифференцируемыхвекторов w и ψ , удовлетворяющих условиям (5.1.34) справедливо тождество(5.1.26) или (5.1.29).Заметим, что от входных данных требуется только условие существованияинтегралов в правой части (5.1.26). Заметим также, что обобщенное решениебудет классическим, если векторные поля u и φ являются дважды непрерывнодифференцируемыми.Нетрудно показать, что в случае потенциальных операторов F̌ и Ǧ изменеeние работы внутренних сил и моментов (5.1.15) является полнымeдифференциалом и работа внутренних сил и моментов в силу (5.1.28) выражается формулойA(i) = −Π̌ = −∫W̌ dVV(5.1.35)Кроме того, легко видеть, что в случае потенциальных операторов F̌ и Ǧeи потенциальности массовых и поверхностных сил и моментов (F = ∂χe1 /∂u,φ, P(n) = ∂χ3 /∂u, µ (n) = ∂χ4 /∂φφ) ТЖС представляется в видеm = ∂χ2 /∂φdE = dA(e) + dA(i) ,откуда в свою очередь следует, чтоĽ = E − A(e) + Π̌ = const.(5.1.36)Оператор Ľ называется лагранжианом системы, а системы, для которых онимеет постоянное значение, — консервативными.Учитывая, что изменение сил Д’Аламбера, которое получается из (5.1.21),φ, совпадает с изменением кинетической энергииесли u и φ заменить на du и dφ(5.1.12)∫ω · J · dφφ)dV,dAE = dE = (ρv̇ · du + ω̇eV245операторы F̌ и Ǧ являются потенциальными, при этом W̌ (γγ , κ ) — однородныйe e m, из (5.1.17) следует так называемая теоремаe e о работе:оператор степени(i)AE = A(e) − mΠ̌ + AΣ1 .(5.1.37)Если силы и моменты инерции отсутствуют, кинематические граничныеусловия нулевые (5.1.25) и оператор W̌ (γγ , κ ) квадратичный, то из (5.1.37) следует теорема Клапейронаe eA(e) = 2Π̌ = 2∫VW̌ (γγ , κ )dV.e eТеперь рассмотрим статическую (квазистатическую) задачу (5.1.3), (5.1.5),(5.1.7), (5.1.25) и (5.1.4).

Построим лагранжиан для этой задачи:Ľ(u, φ ) = Π̌(u, φ ) − A(e) (u, φ ),(5.1.38)где первое слагаемое в правой части (5.1.38) определяется формулой (5.1.28),а второе – первой формулой (5.1.31), если в ней w и ψ заменить на u и φсоответственно.5.1.2Вариационный принцип Лагранжа (теорема Лагранжа)Теорема. Из всех кинематически допустимых систем действительная отличается тем, что для нее и только для нее лагранжиан имеет стационарное значение, т.е.φ) = 0,DĽ(u, φ , δu, δφ(5.1.39)или, учитывая определение дифференциала оператора и (5.1.7), равенство(5.1.39) можно представить в виде∫V∫∫22κ )dV = (ρF · δu + ρm · δφφ)dV + (P0 · δu + µ 0 · δφφ)dΣ,(P ⊗ δγγ + µ ⊗ δκeeVΣ2e e(5.1.40)где считаются справедливыми соотношенияφ,δγγ = ∇δu − C· δφ≃eκ = ∇δφφ.δκe(5.1.41)φ можно понимать разность между двумя кинематически допустиПод δu и δφφ = φ 2 − φ 1 ).мыми системами (δu = u2 − u1 , δφω = 0, w = δuДоказательство.

Необходимость. Полагая ρv̇ = 0, J · ω̇eφ, из (5.1.10) сразу следует необходимость теоремы, т.е. (5.1.39) илии ψ = δφ(5.1.40).Достаточность. Учитывая (5.1.41), (5.1.8) и используя теорему ОстроградскогоГаусса, в силу (5.1.25) из (5.1.40) получим∫V2φ]dV =[(∇ · P + ρF) · δu + (∇ · µ + C⊗ P + ρm) · δφ≃eee∫φ]dΣ.= [(n · P − P0 ) · δu + (n · µ − µ 0 ) · δφeΣ2eφ из (5.1.42) следует (5.1.3) и (5.1.4).В силу произвольности δu и δφ(5.1.42)246Таким образом, при формулировке вариационного принципа Лагранжа требуем выполнения кинематических соотношений (5.1.5) и кинематических граничных условий (5.1.25), а из условия стационарности (5.1.39) лагранжиана(5.1.38) следуют уравнения равновесия (5.1.3) и статические граничные условия (5.1.4).Теперь прежде чем сформулировать вариационный принцип Кастильяно,введем понятие обобщенного преобразования Лежандра для операторов и приведем условия совместности в микрополярной теории.

С этой целью вспомним,что обычное преобразование Лежандра дифференцируемой функции f (x), гдеdf = Xdx,X=dfdxставит в соответствие функцию F (X), такую чтоdF = xdX,x=dF.dXПри этом, как нетрудно показать, справедливо тождествоf (x) + F (X) − xX = const(5.1.43)Аналогично можно ввести понятие преобразования Лежандра для функциймногих переменных. В самом деле, если функции f (x1 , x2 , . . . , xn ) ставится всоответствия функция F (X1 , X2 , . . . , Xn ), гдеn∑∂f, k = 1, n,∂xkk=1n∑∂FdF =xk dXk , xk =, k = 1, n.∂Xkk=1nnn∑∑∑d(f + F ) =(Xk dxk + xk dXk ) =d(Xk xk ) ⇒ d(f + F −Xk xk ) = 0 ⇒df =Xk dxk ,k=1f (x) + F (X) −Xk =n∑k=1Xk xk = const,k=1∂fXk =,∂xk∂Fxk =.∂Xkk=1Тогда аналогично (5.1.43) будем иметь тождествоf (x1 , x2 , . . .

, xn ) + F (X1 , X2 , . . . , Xn ) −n∑xk Xk = const.(5.1.44)k=1Обобщение преобразования Лежандра на операторы заключается в заменеобычной производной функциональной. Пусть задан скалярный оператор W̌ (γγ , κ ),гдеe e22κ ) = P ⊗ δγγ + µ ⊗ δκκ,DW̌ (γγ , κ , δγγ , δκeee e e ee e∂ W̌P=,∂γγe∂ W̌µ=.κ∂κeТогда преобразование Лежандра оператору W̌ (γγ , κ ), т.е. потенциалу тенe eзоров деформаций и изгиба-кручения ставит в соответствиеоператор w̌(P, µ ),e eназываемый потенциалом напряжений и моментных напряжений, такой, что22µ) = γ ⊗ δP + κ ⊗ δµµ,Dw̌(P, µ , δP, δµe e e ee eee∂ w̌,γ=e ∂Pe∂ w̌κ=.µ∂µee(5.1.45)247При этом подобно (5.1.44) справедливо тождество22W̌ (γγ , κ ) + w̌(P, µ) − P ⊗ γ − µ ⊗ κ = const.e ee e e ee e(5.1.46)Заметим, что если W̌ (0, 0) = 0 и w̌(0, 0) = 0, то константа в правой части(5.1.46) равна нулю.Таким образом, преобразование Лежандра ставит в соответствие потенциалу деформации и изгиба-кручения потенциал напряжений и моментных напряжений. Очевидно, аналогично оператору потенциальной энергии тензоровдеформаций и изгиба-кручения (5.1.28) можно ввести и оператор потенциальной энергии тензоров напряжений и моментных напряжений π̌, т.е.π̌ =∫w̌dV,V∫22µ) = (γγ ⊗ δP + κ ⊗ δµµ)dV.Dπ̌(P, µ , δP, δµe e e ee eV ee(5.1.47)Следует заметить, что второе и третье соотношение (5.1.45) предполагают разрешимость соотношений (5.1.6) в видеγ = J̌(P, µ ),e e e eκ = Ȟ(P, µ )ee e e(5.1.48)и, кроме того, потенциальность операторов J̌ и Ȟ, т.е.e e∂ w̌γ = J̌(P, µ ) =,∂Pe e e ee5.1.3∂ w̌.κ = Ȟ(P, µ ) =µ∂µee e ee(5.1.49)Об условиях совместности в линейной микрополярной теорииЭти условия для односвязной области, состоящие из 18 уравнений и которыевпервые, по-видимому, были получены в [22, 186] (см.

Характеристики

Список файлов диссертации