Диссертация (786091), страница 55

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 55)

Поэтому ими пользоваться на практике не целесообразно. В этойсвязи следует редуцировать их к конечным рядам, которые будут содержатьконечное число переменных. Существуют различные методы редукции [69], изкоторых остановимся только на одном (упрощенном методе редукции). Этот метод редукции заключается в следующем: фиксируем некоторое неотрицатель(k)(k)ное целое число N и считаем, что все моменты u = 0 и φ = 0, если k > N . Втаком случае, конечно, векторы перемещений u и вращений φ представляютсяв видеuN =N (k)∑u(x′ )Pk (x3 ),k=0φN =N (k)∑φ (x′ )Pk (x3 ).k=0(5.2.26)264Следовательно, и для тензоров деформаций и изгиба-кручения, а также длятензоров напряжений и моментных напряжений в силу (5.2.26) будем иметьвыраженияN (k)N (k)∑∑κ (x′ )Pk (x3 ),γ (x′ )Pk (x3 ), κ N =γN =ek=0 ek=0 eeNN (k)(k)∑∑PN =P(x′ )Pk (x3 ), µ N =µ (x′ )Pk (x3 ),ek=0 ek=0 ee(k)(k)которые содержат только моменты u и φ , если k = 0, N .Тогда, например, вместо (5.2.19) будем иметьN∑(0)(N )(k) (k) (k) (k) (k) (k)(0)(N )Řk ( u, φ , γ , κ , P, µ ),Ř(uN , φ N ) ≡ Ř( u, ..., u , ..., µ , ..., µ ) =e ek=0ee(5.2.27)называемый оператором типа Рейсснера приближения порядка N .Следует заметить, что на основании (5.2.27) вариационный принцип типаРейснера приближения порядка N представится в виде(0)(N )(0)(N )DŘ(uN , φ N ) ≡ DŘ( u, ..., u , ..., µ , ..., µ ) ≡(N ) (0)e(N ) (0) e (N ) (0)(N ) (0)(N )(0)(N ) (0)≡ DŘ( u, ..., u , φ , ..., φ , γ , ..., γ , κ , ..., κ , P, ..., P , µ , ..., µ ) =e eeN e∑(k) (k) (k) (k) (k) (k)=DŘk ( u, φ , γ , κ , P, µ ).e ek=0Заметим также, что если f (x′ , x3 ) =(5.2.28)∞ (k)∑f Pk∗ (x3 ), то имеет место следующиеk=0равномерные оценки [66, 69]:(k)| f | ≤ Ck −3/2 ,|RN +1 | ≤ Ck −1/2 ,k ≥ 1,(5.2.29)где C — положительная постоянная, не зависящая от k, а RN +1 (x′ , x3 ) =(k)∑∞∗ 3k=N +1 f Pk (x ).Учитывая (5.2.29), аналогично классическому случаю [66] нетрудно доказать, что√|Ř(u, φ ) − ŘN (uN , φ N )| = O(1/ N ).(5.2.30)Итак, оператор Рейсснера Ř(u, φ ) приближаются операторами вида ŘN (uN , φ N ).Поэтому при достаточно больших N вариационный принцип (5.2.17) в силу(5.2.30) можно заменить на (5.2.28).

В случае классической теории упругих оболочек для функционалаэнергии аналогичноесоотношение, приведенное√ (5.2.30)()в [66] имеет вид U (u) − UN (uN ) = O(1/ N ) .Из изложенного выше видно, что при формулировке вариационных принципов для теории тонких тел в моментах относительно системы полиномовЛежандра основную роль играют соотношения (5.2.7), (5.2.10) и (5.2.15). Следовательно, при применении и других систем полиномов (например, системполиномов Чебышева первого и второго рода) аналогичные (5.2.7), (5.2.10) и(5.2.15) соотношения будут играть основную роль для изложения вариационных принципов в моментах относительно рассматриваемых систем полиномов.265В этой связи, не останавливаясь на подробном изложении материала при применении систем полиномов Чебышева, ограничимся выводом аналогичных (5.2.7),(5.2.10) и (5.2.15) соотношений для этих систем полиномов.В первую очередь заметим, что в силу рекуррентной формулы для системы∗′∗′смещенных полиномов Чебышева второго рода Un+1(t) = 4(n+1)Un∗ (t)+Un−1(t)или из определения этой системы полиномов имеемUn∗ (t) =11∗′∗′∗′[Un+1(t) − Un−1(t)] =Tn+1.4(n + 1)2(n + 1)Отсюда, очевидно, получим∫1Un∗ (t)dt =01[1 + (−1)n ],2(n + 1)∫1Ûn∗ (t)dt =0Û0∗[1 + (−1)n ],2(n + 1)(5.2.31)√где ||Un∗ ||−1 = Û0∗ = 2/ π.Далее, учитывая (см.

(2.6.7) при s = 0 и подходящем выборе индексов m иn)∗Ûn−p(t)Ûp∗ (t) = Û0∗ (t)p∑∗Ûn−2p+2s(t),s=0на основании второго соотношения (5.2.31) найдемAnp ≡∫1p∑1][1 + (−1)n ].2(n−2p+2s+1)s=0∗Ûn−p(t)Ûp∗ (t)dt = Û0∗2 [0(5.2.32)Аналогично (5.2.32) с помощью рекуррентного соотношения (см. (2.6.7))∗22s ts Ûm(t)Ûn∗ (t) = Û0∗ (t)m ∑2s∑q∗C2sÛn−m−s+2p+q(t)p=0 q=0и второй формулы (5.2.31) находимm ∑2s∫1∑∗Asmn = 22s ts Ûm(t)Ûn∗ (t)dt =Û0∗2q]C2s[1+(−1)n−m−s+q ].2(n−m−s+2p+q+1)p=0 q=00(5.2.33)В случае системы смещенных полиномов Чебышева первого рода, используярекуррентное соотношение (см. третью формулу (2.3.12))′′∗∗(t) − (n + 1)Tn−1(t),4(n2 − 1)Tn∗ (t) = (n − 1)Tn+1n ≥ 1,будем иметь∫10Tn∗ (t)dt 0,n = 1,1=[(−1)n+1 − 1],22(n − 1)n ̸= 1,n ≥ 0.(5.2.34)В силу рекуррентных соотношений∗∗(t), m ≥ n,(t) + Tn+m2Tm∗ (t)Tn∗ (t) = Tn−m2s∑p∗C2s(t), n − s ≥ 022s ts Tn∗ (t) =Tn+p−sp=0(5.2.35)266нетрудно доказать, что имеет место формула22s ts Tm∗ (t)Tn∗ (t) =2s 1∑p∗∗C2s[Tn−m+p−s(t) + Tn+m+p−s(t)].p=0 2(5.2.36)Применяя (5.2.34), из первой формулы (5.2.35) получим1 ∫1 ∗∗[Tn−m (t) + Tn+m(t)]dt =200 0, n = m + 1,=n 2 + m2 − 1[(−1)n+m+1 − 1],2[(n − m)2 − 1][(n + m)2 − 1]Bmn =∫1Tm∗ (t)Tn∗ (t)dt =(5.2.37)n ̸= m + 1,n ≥ m.Аналогично (5.2.37) в силу (5.2.34) находим1 ∫1 ∗sp∗Bmn=[T(t) + Tn+m+p−s(t)]dt =2 0 n−m+p−s0, n − m = 1 + s − p, n − m ≥ 0, s ≥ 0 (p = 0, 2s);n2 + m2 − 1 − (2n − s + p)(s − p)=[(−1)n+m+p−s+1 − 1],2 − 1][(n + m + p − s)2 − 1]2[(n−m+p−s)n − m + p − s ̸= 1, n ≥ m, s ≥ 0.(5.2.38)Учитывая (5.2.38), из (5.2.36) будем иметьsBmn=∫122s ts Tm∗ (t)Tn∗ (t)dt =2s∑pspC2sBmn.(5.2.39)p=00000Заметим, что Amn = A0mn , Bmn = Bmn= Bmn.Имея выведенные выше соотношения, получаемые с использованием системполиномов Чебышева, нетрудно получить аналогичные (5.2.7) и (5.2.10) формулы в случае применения этих систем полиномов.

В самом деле, на основании(5.2.32) аналогичное (5.2.7) равенство в случае применения системы ортонормированных полиномов Чебышева второго рода представляется в видеtV∞ ∑2k∞ ∑2k(2k−p) 2 (p) (−)(2k−p) 2 (p)(−)ss2∑∑A2kp h(x′ ) Q ∗ ⊗ a d S ,A2kp h(x′ ) Q ⊗ a ∗ d S =Q ⊗adV =eek=0 p=0k=0 p=0(−)(−)eee eS(5.2.40)Sа при применении системы полиномов Чебышева первого рода в силу (5.2.37)будем иметьtV∞ ∑k(2k−p) 2 (p)(−)s2∑Q ⊗adV =(Bk−pp − Bk−pp δpk−p+1 ) h(x′ ) Q ⊗ a ∗ d S =ek=0 p=0(−)e eeS∞ ∑k(2k−p) 2 (p) (−)s∑=(Bk−pp − Bk−pp δpk−p+1 ) h(x′ ) Q ∗ ⊗ a d S ,ek=0 p=0(−)e(5.2.41)SНетрудно показать, что подобное (5.2.10) соотношение при использованиисистемы ортонормированных полиномов Чебышева второго рода представляется следующим образом:sΣ∞ ∑2k(p)(2k−p)∫∑(−)(−)m · Q · bdΣ =A2kp h(x′ ) m − (x′ ) M (QI ) · b ∗ d s =Ik=0 p=0(−)eL=∞ ∑2k∑k=0 p=0A2kp∫(−)L′(−)′(2k−p) (−)(p)(5.2.42)(−)h(x ) m − (x ) M ( ϑ Q ) · bd s ,II267а в случае применения системы полиномов Чебышева первого рода получимsΣ∞ ∑k(p)(k−p)∫∑(−)(−)m · Q · bdΣ =(Bk−pp − Bk−pp δpk−p+1 ) h(x′ ) m − (x′ ) M (QI ) · b ∗ d s =Ik=0 p=0(−)e=∞∑k∑L(Bk−pp − Bk−pp δpk−p+1 )k=0 p=0∫(−)′(−)−′(k−p) (−)(p)(5.2.43)(−)h(x ) m (x ) M ( ϑ Q ) · bd s .IILЗаметим, что в более общем случае следует использовать формулы (5.2.33)и (5.2.39).√Далее если учтем значения на концах сегмента [0,1] Ûk∗ (0) = (−1)k (2/ π)(k+√1) и Ûk∗ (1) = (2/ π)(k +√1) и в правых частях (5.2.15) после знака суммы поместить коэффициент (2/ π)(k + 1) и полагать, что моменты рассматриваютсяотносительно этой системы полиномов, то получим аналогичные (5.2.15) соотношения при применении системы ортонормированных смещенных полиномовЧебышева второго рода.Так как Tk∗ (0) = (−1)k и Tk∗ (1) = 1, то при использовании системы смещенных полиномов Чебышева первого рода соотношения (5.2.15) останутся темиже, при условии, что моменты следует рассматривать относительно только-чтоупомянутой выше системы полиномов.Таким образом, в виде (5.2.40) – (5.2.43) и соотношений, о выводах которыхбыло сказано в предыдущем абзаце, получены все обещанные выше соотношения.

Остаются только выписать вариационные принципы при применении этихсистем полиномов. Их с целью сокращения письма выписывать не будем. Следует отметить, что при необходимости совершенно аналогично можно получитьвариационные принципы в моментах относительно систем полиномов Лежандра и Чебышева и при других, отличных от новой, параметризациях областитонкого тела.

На этих вопросах также останавливаться не будем.5.3О некоторых вариационных принципах в микрополярной теориимногослойных тонких телРассматривая новую [253, 256, 283, 295, 296, 305] (или какую-нибудь) параметризацию многослойных тонких тел и имея вариационные принципы для однослойных тонких тел с одним малым размером, а также межслойные контактныеусловия при различных контактных условиях соседних слоев, не представляеттруда выводить вариационные принципы и для многослойных тонких тел. Всамом деле, чтобы получить какой-нибудь вариационный принцип, например,при новой параметризации области многослойного тонкого тела достаточно всоответствующем вариационном принципе однослойного тонкого тела корневыебуквы величин снабдить снизу индексом α, придать этому индексу значения от1 до K, где K — число слоев, а затем просуммировать почленно полученныесоотношения, учитывая при этом межслойные контактные условия, а такжеграничные условия на боковых гранях слоев и лицевых поверхностях.

Нижеполучены обобщенные вариационные принципы типа Рейсснера для микрополярной теории многослойных тонких тел с одним малым размером как при268полном контакте слоев, так и при наличии зон ослабленной адгезии (ослабленного контакта).5.3.1Обобщенный вариационный принцип типа Рейсснера в микрополярной теории многослойных тонких тел с одним малымразмером при полном контакте слоевРассмотрим многослойную трехмерную тонкую область, состоящую из K слоев,параметризация которой осуществляется так же, как в работах [253, 256, 283,295, 296], т.е. применяется новая параметризация.

Пусть слои пронумерованыпо возрастанию, т.е. если, например, α (1 < α < K) — номер какого-нибудьслоя, то номером предыдущего слоя будет α − 1, а номером последующего —α + 1. Считаем, что каждый слой имеет две лицевые поверхности. Лицевуюповерхность слоя α (2 < α < K − 1) находящуюся со стороны предыдущего(−)слоя α − 1, назовем внутренней базовой поверхностью и обозначим через Sα , алицевую поверхность слоя α, находящуюся со стороны последующего слоя α+1,(+)назовем внешней базовой поверхностью и обозначим через Sα . Заметим, чтопри α = 1 (α = K) внутренняя (внешняя) базовая поверхность обозначается(−)(+)(−)(+)через S ( S ). Поверхности S и S называются еще лицевыми поверхностями11KKмногослойного тонкого тела.

Характеристики

Список файлов диссертации